高等数学（同济第七版 上册）习题辅导书.pdf

普通高等教育“十一五”国家级规划教材辅导教材 普通高等院校大学数学“十三五”规划教材 高等院校精品教材系列 高等数学（同济第七版 上册）习题辅导书 主 编 常桂娟 副主编 姜德民 孙宝山 赵 静 吴春妹 参 编 姜兆英 孙春薇 吴 伟 王述香 曹秀梅 内 容 简 介 高等数学（同济第七版 上册）包括七章内容，因此高等数学（同济第七版 上册）习题辅导书相应地包含七章的习题及其解答，每章内容包括基本内容、基本要求和习题解答。此外，书中还提供历年考研部分试题及解答、高等数学（上册）期末考试试卷选编及参考答案。全书习题丰富，解答详细完整，图表清晰，是学好高等数学课程的首选练习册和优秀的考研指导书。本书可作为高等学校工科学生高等数学课程的复习指导和练习册，也可作为考研人员的参考书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 高等数学（同济第七版）习题辅导书上册/常桂娟主编.北京：电子工业出版社，2015.7 ISBN 978-7-121-26304-0 I高 II常 III高等数学高等学校题解 IVO13-44 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2015)第 127825 号 策划编辑：王羽佳 责任编辑：王羽佳 特约编辑：王 崧 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7871092 1/16 印张：20 字数：512 千字 版 次：2015 年 7 月第 1 版 印 次：2015 年 7 月第 1 次印刷 定 价：45.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：(010)88258888。前 言 3前 言 本书是与同济大学数学系编写的教材高等数学（第七版）相配套的辅导教材.同济大学数学系编写的高等数学是本科生学习高等数学的经典之作。因此，本书也力求成为更适合大学生学习高等数学的指导书,可作为报考硕士研究生入学考试的复习参考书,还可为高等数学教师批改作业或备课提供参考.为方便读者使用,本书在内容上严格按照同济大学高等数学（第七版）的各章顺序对应编写,其内容包括三篇.第一篇是高等数学（上册）习题解答,内容包括：基本内容,列出各章节的基本理论知识;基本要求,提出学生对各章节知识点需要掌握的程度;习题解答,给出高等数学（上册）教材各章节习题、总习题的解答.第二篇是历年考研部分试题及解答,内容涵盖函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程,并给出了每道试题的年份及类别,学生可以根据自己的具体情况进行选做.第三篇是高等数学（上册）试卷选编及参考答案.本书由青岛农业大学理学与信息科学学院数学教师编写.其中,第一篇的第 1 章由吴春妹编写;第 2 章由孙宝山编写;第 3 章由孙春薇编写;第 4 章由曹秀梅编写;第 5 章由赵静编写;第 6 章由王述香编写;第 7 章的第 1 节至第 4 节由姜兆英编写,第 5 节至第 10 节由吴伟编写.第二篇历年考研部分试题及解答由姜德民编写;第三篇及最终的统稿、定稿由常桂娟完成.由于时间仓促,在编写上难免会有错误,敬请同行、专家、读者批评指正.编 者 2015 年 4 月 目 录 5目 录 第一篇 高等数学（上册）习题解答 第 1 章 函数与极限 2 一、基本内容 2 二、基本要求 3 三、习题解答 3 总习题一 38 第 2 章 导数与微分 45 一、基本内容 45 二、基本要求 46 三、习题解答 46 总习题二 81 第 3 章 微分中值定理与导数的应用 89 一、基本内容 89 二、基本要求 90 三、习题解答 90 总习题三 121 第 4 章 不定积分 129 一、基本内容 129 二、基本要求 129 三、习题解答 129 总习题四 153 第 5 章 定积分 164 一、基本内容 164 二、基本要求 164 三、习题解答 164 总习题五 183 第 6 章 定积分的应用 193 一、基本内容 193 二、基本要求 193 三、习题解答 193 总习题六 211 6 高等数学（同济第七版 上册）习题辅导书 第 7 章 微分方程 217 一、基本内容 217 二、基本要求 218 三、习题解答 218 总习题七 264 第二篇 历年考研部分试题及解答 第一部分 函数 极限 连续 276 第二部分 一元函数微分学 284 第三部分 一元函数积分学 292 第四部分 常微分方程 300 第三篇 高等数学（上册）期末考试试卷选编及参考答案 高等数学（上）期末考试试卷（一）308 高等数学（上）期末考试试卷（二）311 参考文献 314 第 一 篇 高等数学（上册）习题解答 2 高等数学（同济第七版 上册）习题辅导书 第 1 章 函数与极限 一、基 本 内 容 1.映射与函数 (1)映射:映射概念、逆映射与复合映射;(2)函数.函数概念;函数的几种特性:有界性、单调性、奇偶性、周期性;反函数与复合函数;函数的运算:和、差、积、商;初等函数.2.数列的极限 (1)数列极限的定义;(2)收敛数列的性质:极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性、收敛数列与其子数列间的关系.3.函数的极限 (1)函数极限的定义.自变量趋于有限值时函数的极限;自变量趋于无穷大时函数的极限.(2)函数极限的性质:函数极限的唯一性、函数极限的局部有界性、函数极限的局部保号性、*函数极限与数列极限的关系.4.无穷小与无穷大 5.极限运算法则 (1)极限的四则运算法则;(2)复合函数的极限运算法则.6.极限存在准则与两个重要极限 (1)夹逼准则、单调有界准则;(2)两个重要极限.7.无穷小的比较 8.函数的连续性与间断点 (1)函数的连续性;第 1章 函数与极限 3 (2)函数的间断点.第一类间断点:可去间断点、跳跃间断点;第二类间断点:无穷间断点、振荡间断点.9.连续函数的运算与初等函数的连续性 (1)连续函数的和、差、积、商的连续性;(2)反函数与复合函数的连续性;(3)初等函数的连续性.10.闭区间上连续函数的性质 (1)有界性与最大值和最小值定理;(2)零点定理与介值定理;*(3)一致连续性.二、基 本 要 求 1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法.2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及图形.5.会建立简单应用问题中的函数关系.6.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,及极限存在与左、右极限之间的关系.7.掌握极限的性质及四则运算法则.8.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.9.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.10.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型.11.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质.三、习 题 解 答 习题 1-1 1.求下列函数的自然定义域.(1)32yx=+;(2)211yx=;(3)211yxx=;(4)214yx=;(5)sinyx=;(6)tan(1)yx=+;(7)arcsin(3)yx=;(8)13arctanyxx=+;(9)ln(1)yx=+;(10)1e.xy=解 分析:在此类题目中,所给出的函数一般由一些简单函数组合而成,因此函数自然定义域 4 高等数学（同济第七版 上册）习题辅导书 的求解步骤一般为:首先求出各个简单函数的定义域,然后确定这些定义域的交集,这个交集就是函数的自然定义域.定义域的表示方法一般有两种:描述法或区间.在考查中常用到的函数及其定义域如下:()()A xyB x=,()0 x B x;2nyx=,0 x x;logayx=,0 x x;tanyx=,2x xkkZ+;cotyx=,x xkkZ;arcsinyx=,1xx;arccosyx=,1xx.(1)要使得算式有意义,则x需要满足条件23203xx+,从而函数的自然定义域为 23x x或2,3+.(2)要使得算式有意义,则x需要满足条件2101xx,从而函数的自然定义域为 1x x 或(,1)(1,1)(1,)+.(3)要使得算式有意义,则x需要满足条件2010 xx,即201xx,又即011xx,从而函数的自然定义域为110 xxx且或 1,0)(0,1.(4)要使得算式有意义,则x需要满足条件2240422xxxx 2,从而函数的自然定义域为22xx ,从而函数的自然定义域为1x x 或(1,)+.(10)要使得算式有意义,则x需要满足条件0 x,从而函数的自然定义域为0 x x 或(,0)(0,)+.第 1章 函数与极限 52.下列各题中,函数()f x和()g x是否相同?为什么?(1)2()lg,()2lg;f xxg xx=(2)()2(),;f xxg xx=(3)4333(),()1;f xxxg xx x=(4)22()1,()sectan.f xg xxx=解 分析:函数f是从实数集到实数集的映射,因此构成函数的要素是:定义域fD及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.(1)不相同,因为定义域不同,其中0fDx x=,而0gDx x=.(2)不相同.因为对应法则不同,(),0,0 xxg xxx=.(3)相同,因为定义域和对应法则都相同.(4)不相同,因为定义域不相同,其中fDR=,而,2gDx xkkZ=+.3.设()sin,30,3xxxx=求(),2644,并作出函数()yx=的图形.解 11sin6622=;22sin4422=;22sin4422=;()20=.函数()yx=的图形如图 1-1 所示.4.试证下列函数在指定区间内的单调性.(1),(,1)1xyx=;(2)ln,(0,)yxx=+.证明 分析:任意给定定义域内的两点12xx,若恒有12()()f xf x,则函数为单调递减函数.(1)设(),(,1)1xf xyx=.任意给定121xx,即21()()f xf x,所以1xyx=在区间(,1)内是单调递增的.(2)设()ln,(0,)f xyxx=+.任意给定120 xx,即 图 1-1 6 高等数学（同济第七版 上册）习题辅导书 21()()f xf x,所以lnyxx=+在区间(0,)+内是单调递增的.5.设()f x为定义在(,)l l内的奇函数,若()f x在(0,)l内单调增加,证明()f x在(,0)l内也单调增加.证明 任意给定两点120lxx,有210 xxl ,即有21()()0f xf x,从而()f x在(,0)l内也单调增加.6.设下面所考虑的函数都定义在区间(,)l l上.证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设1()f x和1()g x均为定义在区间(,)l l上的偶函数,111()()()F xf xg x=+,则有 111111()()()()()()Fxfxgxf xg xF x=+=+=,即1()F x为偶函数.设2()fx和2()gx均为定义在区间(,)l l上的奇函数,222()()()F xfxgx=+,则有 222222()()()()()()FxfxgxfxgxF x=+=,即2()F x为奇函数.(2)设1()f x和1()g x均为定义在区间(,)l l上的偶函数,111()()()F xf xg x=,则有 111111()()()()()()Fxfxgxf xg xF x=,即1()F x为偶函数.设2()fx和2()gx均为定义