工科数学练习册（上、下）.pdf

普通高等教育教学改革规划教材 工科数学练习册（上）主 编 杨 新 肖成英 副主编 安世勇 王艳华 内 容 简 介 本练习册与教材配套使用，主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、微分方程初步、行列式、矩阵各章节的练习题，还包括单元小测验。本练习册以教材的形式出现，一方面比较规范合理，列出重难点，将各章节习题分为基础型和提高型，便于学生练习；另一方面减轻了学生抄作业题的负担，同时也便于作业本的保留。本练习册适合于应用型本科、高职高专院校理工类各专业使用，也可作为自学的参考书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 工科数学练习册：全 2 册/杨新等主编.北京：电子工业出版社，2016.8 ISBN 978-7-121-29792-2.工 .杨 .高等数学高等学校习题集 .O13-44 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2016）第 205206 号 策划编辑：王艳萍 责任编辑：王艳萍 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871092 1/16 印张：15 字数：384 千字 版 次：2016 年 8 月第 1 版 印 次：2016 年 8 月第 1 次印刷 定 价：38.00 元（上、下册）凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：。本书是工科数学配套的辅导练习教材，全书贯彻“以应用为目的，以培养学生严谨的数学思维为宗旨”，为学生提供专业学习所必需的数学基础。本书按教材的章节顺序编排内容以便与教学同步，包含：函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、微分方程初步、行列式、矩阵。在编写过程中，考虑到读者的不同需求，本书具有以下特点：（1）本书包括上、下两册，每册各章节均提纲式地归纳了每章的概念、公式、方法、要点、难点。（2）按照每一章教学内容的顺序，编写了 A、B 两组习题，A 组习题是与教材内容相配合的基本题，B 组习题是有一定难度的题型和综合题，学生根据不同学习需求可以选做 A组或 B 组。（3）上、下两册均配备了三套自测题，方便学生检测自身学习效果。本书由四川工商学院数理教研室编写，由杨新、肖成英主编，安世勇、王艳华副主编，张泽麟、陈勇、陈凯、罗琳、钱贺斌、沈艳霞、周艳红、吴艳南、吴国胜等参与编写，由于水平有限，书中难免有不妥、错误之处，请读者不吝指正。编 者 2016 年 7 月 V 第 1 次作业 函数（1）第 2 次作业 极限（4）第 3 次作业 极限的运算（6）第 4 次作业 函数的连续性（9）第 5 次作业 导数的概念（12）第 6 次作业 初等函数的导数（15）第 7 次作业 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数（19）第 8 次作业 微分及其应用（20）第 9 次作业 不定积分的概念与性质（22）第 10 次作业 换元积分法（25）第 11 次作业 分部积分法（29）第 12 次作业 定积分（31）第 13 次作业 无限区间的广义积分（34）第 14 次作业 函数的单调性（35）第 15 次作业 函数的极值（37）第 16 次作业 最值应用问题（39）第 17 次作业 曲线的凸向与拐点（41）第 18 次作业 定积分的几何应用（43）第 19 次作业 定积分的物理应用（45）工科数学（上）自测题一（46）工科数学（上）自测题二（49）工科数学（上）自测题三（52）.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）1 第 1 次作业 函数 要点：1六类基本初等函数：常数函数 yC；幂函数yx；指数函数xya；对数函数logxay；三角函数sincostancotseccscyxyxyxyxyxyx，；反三角函数arcsinarccosarctanarccotyxyxyxyx，。2基本初等函数的定义域、图像、性质以及初等函数。难点：掌握反函数、复合函数、隐函数的定义和求法。A 组 A 组 1求下列函数的定义域。（1）214yx （2）1sin1yxx （3）21ln(1)1yxx （4）arcsin(1)yx 2设2220()003 04xxf xxxx，作出函数图像，并求(1)(2)ff、。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）2 3指出下列各函数是由哪些简单函数复合而成的。（1）10(25)yx （2）3(1)2logxy 4求axbycxd的反函数，并讨论反函数的定义域。5求2()1xf xx的定义域及值域。6证明：函数2()1f xx是偶函数，且在0,上是单增的。7如果函数2()2(1)2f xxax在区间,4上是减少的，求实数a的取值范围。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）3 B 组 B 组 1设010()01212xf xxxxx，()(12)F xfx，求()F x的表达式。2已知2()exf x，()1fxx，且()0 x，求()x，并写出其定义域。3设2(2)23f xxx，求(2)f x。4 设()f x是0,上的单减函数，证明对任何满足1的正数、及0,x有下列不等式成立：()()()f xfxfx。5设2211fxxxx，求()f x。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）4 第 2 次作业 极限 要点：1常见的数列极限。1lim0(0)lim1(0)lim1nnnnnann，0(1)(1)1lim,lim 1e1(1)(1)nnnnqqqnqq 不存在 2函数极限包括：000(,)(,)xxxxx xxxx；-+。难点：0lim()xxf x存在00lim()lim()xxxxf xf x 对于分段函数在分段点的极限要用左右极限讨论。1写出下列函数的极限。（1）1limxx_；（2）1limxx _；（3）1limnxx_（nN）；（4）0limxxx _；（5）0limnxxx _（nN）；（6）limc _（c为常数）。2求下图所示的函数()f x的极限，如果极限不存在，说明理由。（1）2lim()xf x （2）1lim()xf x （3）0lim()xf x .专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）5 3设41()211xxf xxx，求(1)(1)ff、，问1lim()xf x是否存在？40 x，函数()xf xx是否有极限？5求下列极限。（1）2100lim1nn （2）222121limnnnnn （3）11(2)3lim(2)3nnnnn （4）221lim(1)nnnn .专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）6 第 3 次作业 极限的运算 要点：1 无穷小、无穷大的概念，无穷小、无穷大的关系：若()f x为无穷小且()0f x，则1()f x为无穷大；若()f x为无穷大，则1()f x为无穷小。2极限的四则运算，两个重要极限：0sinlim1xxx，1lim 1exxx。难点：010、型极限的计算。A 组 A 组 1计算下列极限。（1）sin0lim(12)xxxx （2）1lim sinxxx （3）22sin(2)lim4xxx （4）2239lim6xxxx （5）cot0lim(1tan)xxx （6）lim(21)xnnn .专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）7（7）221lim21xxxx （8）21lim 1xxx （9）312lim 23xxx （10）2112lim11xxx 2计算下列极限。（1）221lim3xxx （2）321lim3xxx （3）2221lim3xxx （4）111lim1 44 7(32)(31)nnn .专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）8 B 组 B 组 1已知322()2axbxcxdf xxx，满足（1）lim()1xf x，（2）1lim()0 xf x。试确定常数a、b、c、d的值。2求极限12lim2!3!(1)!nnn。3已知2lim01xxaxbx，求a、b。4求极限11sin1limxxxx。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）9 第 4 次作业 函数的连续性 要点：1函数在点0 x连续的三个等价定义：000lim()()lim000 xxxf xf xy ，当0 xx时，恒有0()()f xf x。00000lim()()lim()lim()()xxxxxxf xf xf xf xf x。2函数在区间I连续。3间断点及其分类。（1）()f x在0 x处无定义；（2）()f x在0 x处有定义，但0lim()xxf x不存在；（3）()f x在0 x处有定义，但0lim()xxf x存在，但00lim()()xxf xf x。4闭区间上连续函数的性质：零点定理、介质定理。A 组 A 组 1设函数()f x的图像如下图，指出下列点处()f x是连续还是间断的，并说明理由。（1）2x （2）1x （3）0 x （4）1x .专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）10 2函数e20()0 xxf xkx，在0 x处连续，求k的值。3求下列极限。（1）21lim 325xxx （2）0limlncosxx （3）011limxxx （4）21sin(1)lim1xxx （5）11limexxx （6）0ln(1)limxxx *（7）0e1limxxx（提示：令e1xt）4证明方程32xx至少有一个小于1的正根。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）11 B 组 B 组 1设20()sin0abxxf xbxxx，在0 x 处连续，则常数a、b应满足什么关系？2求下列极限。（1）0e1limxxxx （2）22limxxxxx （3）1lim11xxx 3设函数()f x在0,1上非负连续，且(0)(1)0ff，则对任意的实数(01)aa，必有实数00(01)xx，使00()()f xaf x。4一个登山运动员从早上7：00开始攀登某座山峰，在下午7：00到达山顶，第二天早上7：00再从山顶开始沿着上山的路下山，下午7：00到达山脚，试利用介值定理说明：这个运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）12 第 5 次作业 导数的概念 要点：1函数在点0 x可导的三个等价形式。00000()()()limlimxxxf xf xyfxxxx000()()limxf xxf xx 2左右导数：左导数0000()()()limxxf xf xfxxx；右导数0000()()()limxxf xf xfxxx。3导数的几何意义：函数在0 x的导数在几何上表示为曲线()yf x在点（0 x，0()f x）处的切线的斜率。4函数在区间I可导。难点：1根据已知条件，利用三种不同定义形式求导数。2分段函数在分段点0 x处的导数需讨论在该点的左右导数。00000()()()()limxxf xf xfxfxxx0000()()()limxxf xf xfxxx A 组 A 组 1设函数2()21f xx，用定义计算(1)f，并求函数()f x在1x处的切线方程。2已知()f x在a处可导，求0()()limxf axf axx。3设ln1()e1xaxbxf xx，在1x处可导，求ab、的值。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）13 4已知sin0()0 xxf xxx，求()fx。5一物体的运动规律为3()stm，求这物体在2()ts时的速度。6用定义求()logxaf x 的导数。.专业 姓名 学号 .工科数学练习册（上）14 B 组 B 组 1设()f x可导，求220(3)()limxfxxfxxx。2设()f x对任意实数xy、均有()()()f xyf xf y，且(0)1f，试求()fx。思考：（1）若0 x为一定值，0()fx与0