高等数学（下册）.pdf

高 等 数 学 下 册 主 编 戚永委 曾 钰 韩晓艳 副主编 姜翠萍 鹿泉育 占 飞 编 委 韩淑芹 邓 臻 郑素华 陈红艳 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 高等数学.下册/戚永委,曾钰,韩晓艳主编.北京:电子工业出版社，2017.1 ISBN 978-7-121-30636-5 .高.戚 曾 韩.高等数学高等学校教材 .O13 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2016)第 305962 号 策划编辑：郝国栋 责任编辑：马 杰 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7201000 1/16 印张：12.5 字数：193 千字 版 次：2017 年 1 月第 1 版 印 次：2017 年 1 月第 1 次印刷 定 价：28.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（0532）83712386，邮箱： 前 言?本书是为适应经济类、管理类各专业对数学要求不断提高的趋势，在编者多年教学实践经验和吸收众多国内外教材成果的基础上编写的，其主要特点是把微积分和经济学的有关内容进行了有机的结合。本书总的编写原则是：教学内容的深广度与经济类、管理类各专业微积分课程的教学基本要求相当，与教育部最新颁布的研究生入学考试数学三和数学四的微积分的内容相衔接，注重适当渗透现代数学思想，加强对学生应用数学方法解决经济问题的能力的培养，以适应新时代对经济、管理人才的培养要求。全书分为上、下两册，上册内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分；下册内容包括定积分、微分方程初步、多元函数微分学、二重积分、级数；各章、节配有适量的习题。本书由戚永委主编，具体参与编写本书的老师有戚永委,负责第一、二、十、十一章；曾钰，负责第四、五、六、九章；韩晓艳，负责三、七、八章。他们都是具有多年教学实践的一线老师，为本书编写付出了艰苦的劳动。赵克友教授认真审阅了全书，提出了宝贵意见，对此，我们表示衷心的感谢。本书可作为高等院校经管类各专业通用教材或高等院校教师的教学参考书，还可供经济管理人员参考。?编 者 2016 年 7 月 V?目 录 第 6 章 定积分及其应用 /1 第 1 节 定积分的概念 /1 第 2 节 定积分的性质 /8 第 3 节 微积分基本定理 /12 第 4 节 定积分的换元积分法 /18 第 5 节 定积分的分部积分法 /23 第 6 节 广义积分 /24 第 7 节 定积分的应用 /31 习题 6 /41 第 7 章 空间解析几何简介 /44 第 1 节 空间直角坐标系 /44 第 2 节 曲面及其方程 /47 第 3 节 空间曲线及其在坐标面上的投影 /53 习题 7 /56 第 8 章 多元函数微分学 /58 第 1 节 多元函数的基本概念 /58 第 2 节 二元函数的极限与连续 /61 第 3 节 偏导数 /65 第 4 节 全微分 /70 VI 第 5 节 多元复合函数微分法与隐函数微分法 /74 第 6 节 多元函数的极值与最值 /82 第 7 节 偏导数的经济应用 /88 习题 8 /93 第 9 章 二重积分 /97 第 1 节 二重积分的概念与性质 /97 第 2 节 二重积分的计算 /103 第 3 节 二重积分的应用 /116 习题 9 /119 第 10 章 微分方程初步 /122 第 1 节 微分方程的基本概念 /122 第 2 节 一阶微分方程 /125 第 3 节 可降阶的二阶微分方程 /132 第 4 节 二阶线性微分方程 /135 第 5 节 二阶常系数齐次线性微分方程 /137*第 6 节 二阶常系数非齐次线性微分方程 /140 习题 10 /144 第 11 章 无穷级数 /146 第 1 节 常数项级数的概念与性质 /146 第 2 节 正项级数及其敛散性判别法 /151 第 3 节 一般项级数 /158 第 4 节 幂级数 /162 第 5 节 函数展开成幂级数 /169 习题 11 /175 附录 习题参考答案或提示 /179 第 6 章 定积分及其应用 1 第6章 定积分及其应用 本章我们将讨论积分学中的另一个基本问题 定积分.它的实际背景非常丰富，例如，求平面图形的面积，求变速直线运动的路程等，它在几何学、力学、经济学等领域中也有广泛的应用，本章将从实例出发引入定积分的概念，然后讨论它的性质，并介绍它的计算方法.不定积分和定积分是两个完全不相同的概念，牛顿和莱布尼茨先后发现了它们之间通过原函数存在内在联系。正是由于这种联系，才使得定积分的计算得以简化，从而使得积分成为解决实际问题的有力工具.第 1 节 定积分的概念 一、问题引入 1.曲边梯形的面积问题 设=()y f x 是区间0 1，上非负连续函数，则由直线=0 x ax b y,与曲线=()y f x 所围成的平面图形称为曲边梯形，见图 6-1.图 6-1 高等数学(下册)2【例 1】如图 6-2 所示，由2=0=1y xyx,所围的平面图形称为曲边三角形，2=y x称为曲边，求这个曲边三角形的面积.图 6-2 【分析】曲边三角形是一种不规则图形,它的面积不能直接用公式来计算.考虑到2=y x在 0 1，上是连续函数，即在 0 1，的一个很小的子区间上，2x的变化并不大，在这样的子区间上，曲边梯形接近于矩形.我们考虑用极限的思想来求曲边三角形的面积，具体步骤为 分割 近似 求和 取极限 (1)分割 在区间 0 1，内任意插入n-1 个分点121nxxx-,，把区间 0 1，分成 n等分.每个小区间长为1=xn，=iixn(1 2in=,)，设0=0 x，=1nx.(2)近似 过每个分点ix(1 2in=,)作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形.把每个小曲边梯形近似地看作矩形.如果取每个小区间的左端点对应的函数值为矩形的高，小区间的长度为矩形的底，它们的面积依次为 222333312310nnnnn（-），如果取每个小区间的右端点对应的函数值为矩形的高，小区间的长度为矩形的底，它们的面积依次为 2223333123nnnnn，(3)求和 把各个小矩形的面积加起来，所得之和作为曲边三角形面积S的近似值.即 第 6 章 定积分及其应用 3 222133331231=0nSnnnn+-（）2312+1=nn+22（-）321211 21=66nnnnnnn（-）（-）（-（）-）222223333312312+=nnSnnnnn+22 321211 21=66nnnnnnn（+）（+）（+）（+）(4)取极限 随着对区间0 1，划分的不断加细，第3 步所得曲边三角形面积S的精确度将不断提高，并不断逼近曲边三角形面积的精确值.当n时，两个面积的近似值都趋近于13.于是可以认定这个曲边三角形的面积就是13.(实际上12SSS.)下面把上述过程推广应用到一般的曲边梯形，即推广到由连续曲线=()()0y f xf xyxa xb=0,所围成的平面图形情况(见图 6-3).图 6-3(1)分割 如图 6-3 所示，在区间a b，中任意插入若干个分点：0121=nna xxxxxb 把a b，分成n个小区间01121nnxxxxxx,，第 i 个小区间的长度为1=iiixxx(1 2)in=,.(2)近似 在1iixx,上任取一点i(1 2)in=,，以1iixx,为底、()if为高的窄矩形面积近似替代第i 个窄曲边梯形的面积，即得=()iiiA fx 1 2in=,(3)求和 把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即得 高等数学(下册)4 11221()()()=()nnniiiAfxfxfxfx=+(4)取极限 取12=maxnxxx,，则当0时(这时分段数 n 无限增多，即n )，取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积：01=lim()niiiAfx=2.变速直线运动的路程 【例 2】设某物体作变速直线运动，在时刻t的速度=()v v t是时间间隔12TT,上的连续函数，且()v t0，计算在这段时间内物体所经过的路程S.【分析】对于匀速直线运动，其路程=速度时间，但现在讨论的问题中，速度不是常量而是随时间变化的变量，所求路程S不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算，同样可以考虑用极限的思想来求.具体步骤如下：(1)分割 在时间间隔12TT,内任意插入若干个分点：101212=nnTtttttT 把12TT,分成n个小时段01121 nntttttt,.(2)近似 在时间间隔1iitt，内任取一个时刻1()iiiitt，以i时的速度()iv作为1iitt，上的速度的近似值，得到路程iS的近似值，即()iiiSvt 1 2in=,(3)求和 把每段时间内物体经过的路程的近似值加起来，得到全路程的近似值，即有 1()niiiSvt=(4)取极限 记12=maxnttt,，当0时，取上述和式的极限，就得到变速直线运动的路程：01=lim()niiiSvt=以上两个问题的实际意义虽然不相同，但从数学的角度来看，其解决问题的思想和方法是相同的.它们都归结为具有相同结构的求和式的极限问题.把这一方法加以概括抽象，就得到了定积分的定义 第 6 章 定积分及其应用 5 二、定积分的定义 定义 1 设函数()f x在a b，上有界.在a b，中任意插入n-1个分点 0121=nna xxxxxb 把区间a b，分成n个小区间 01121 nnxxxxxx,，每个小区间的长度依次为 1102211=nnnxxxxxxxxx，在每个小区间1iixx，上任取一点1()iiiixx，作乘积()iifx 1 2in=，作和式 1()niiifx=记2=maxnxxx,，作极限 01lim()niiifx=如果对a b，的任意分法以及在小区间1iixx，上i的任意取法，极限01lim()niiifx=总趋近于同一个定数I，则称函数()f x在区间a b，上可积，其极限值称为()f x在a b，上的定积分(简称积分)，记作()dbaf xx，即 00()dlim()nbiiaif xxfx=其中()f x称为被积函数，()df xx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a b，称为积分区间.利用定积分的定义，前面所讨论的两个具体问题可用定积分表示如下：由直线0 xaxby=,及曲线()yf x=()0)f x所围成的曲边梯形的面积为()dbaAf xx=物体以变速()()0)vv tv t=作直线运动，从1T时刻到2T时刻经过的路程为 21()dTTSv tt=关于定积分的概念，需要注意下面几个问题：高等数学(下册)6 定积分()dbaf xx是一个确定的数值，而不定积分()df xx却表示由()f x的全体原函数构成的集合，因而定积分与不定积分是完全不相同的两个概念.()dbaf xx与闭区间a b，的分法和i的取法均无关，只与被积函数及积分区间有关.()dbaf xx的值与积分变量用什么字母表示无关，即()d()d()dbbbaaaf xxf ttf uu=对于定积分，自然有这样一个问题：函数()f x在a b，上满足怎样的条件才可积？本教材对这个问题不作深入讨论，只是不加证明地给出以下两个充分条件.定理 1 设()f x在区间a b，上连续，则()f x在a b，上可积.定理2 设()f x在区间a b，上有界，且只有有限个间断点，则()f x在a b，上可积.三、定积分的几何意义 若连续函数()f x在a b，上非负，即()0f x，则定积分()dbaf xx