高等数学（上册）同步辅导分册.pdf

普通高等教育“十三五”规划教材 高 等 数 学（上册）同步辅导分册 主 编 汪永娟王晓春 副主编 付吉丽 高剑 内 容 简 介 本书共分 6 章，每章又分若干节，各节主要内容由 5 部分组成：一、基本要求；二、考点知识概述；三、常用解题技巧；四、典型题解；五、测试题。本书以“够用、管用、会用”为指导思想，将数学训练和实际问题相结合。每章都配有不同难度的测试题，对本章的学习情况进行检验。测试题是从各类考试题中精选出的大量有代表性的题目，可以满足不同基础、不同要求的学生使用。本书可作为应用型本科院校及高职高专理工、经管类各专业学生的高等数学课程参考用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 高等数学（上册）同步辅导分册/汪永娟主编.北京：电子工业出版社，2017.8 ISBN 978-7-121-32069-9.高 .汪 .高等数学高等学校教学参考资料 .O13 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2017）第 154031 号 策划编辑：朱干支 责任编辑：李 蕊 印 刷：北京市顺义兴华印刷厂 装 订：三河市双峰印刷装订有限公司 出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7871 092 1/16 印张：6.75 字数：172.8 千字 版 次：2017 年 8 月第 1 版 印 次：2017 年 8 月第 1 次印刷 定 价：22.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254573，。前 言 高等数学是理工科各专业的重要基础课，它既为后续课程准备必要的数学知识与方法，又对学生科学思维的训练起着重要的作用。本书是为学习高等数学而编写的辅导用书，充分考虑了应用型本科院校以培养具有实践能力和创新能力的应用型人才为宗旨，力求贯彻“够用、管用、会用”的“三用原则”，旨在帮助、指导广大读者理解基本概念，掌握基本知识，学会基本解题方法与技巧，提高应试能力和数学思维水平。在内容的取舍方面，在巩固基础、强化理解基本概念的前提下，将一些典型应用型例题及解题方法与技巧融入书中，突出应用型本科院校学生培养特色。本书体现了数学教学循序渐进、由浅入深的特点，同时，体现了近几年考研命题的新动向。本书将会成为读者学习高等数学的良师益友。为了方便使用，本书配有习题答案（电子版），请有此需要的读者登录华信教育资源网（）免费注册后下载。本书由汪永娟担任主编，由付吉丽、高剑担任副主编，由曾昭英教授担任主审。编写分工如下：付吉丽编写第1章和第2章；汪永娟编写第3章和第4章；高剑编写第5章和第6章。本书得到了哈尔滨石油学院领导的大力支持，得到了张春志教授的悉心指导，并得到教研室同事张瑶、金宝胜、段宏博、武斌、王晓春老师在收集材料和校稿方面的大力帮助，在此一并表示衷心的感谢。本书是与教学同步的学习辅导书，也是阶段复习的指导书。我们真诚地希望编出一本能够帮助读者学好高等数学的辅导书，但由于编者的水平有限，书中难免存在诸多错误与不足，敬请读者不吝指正，编者在此不胜感激。编 者 2017年5月 目 录 第 1 章 函数与极限.1 1.1 函数.1 1.2 函数的性质.3 1.3 数列的极限.4 1.4 函数的极限.7 1.5 无穷大与无穷小.10 1.6 两个重要极限.13 1.7 函数的连续性.16 测试题.18 第 2 章 导数与微分.24 2.1 导数.24 2.2 求导法则与基本公式.27 2.3 复合函数求导法则.28 2.4 隐函数求导及其他.30 2.5 高阶导数.32 2.6 微分.34 测试题 A.37 测试题 B.39 第 3 章 中值定理与导数的应用.41 3.1 微分中值定理.41 3.2 洛必达法则.46 3.3 函数的单调性及极值.49 3.4 曲线的凸凹性、拐点及函数作图.53 3.5 曲率.56 测试题.57 第 4 章 不定积分.59 4.1 不定积分的概念与性质.59 4.2 第一换元法.62 4.3 第二换元法.65 4.4 分部积分法.67 VI 4.5 有理函数与三角函数有理式的积分.71 测试题 A.73 测试题 B.75 第 5 章 定积分.77 5.1 定积分的概念与性质.77 5.2 微积分基本定理.81 5.3 定积分的换元法与分部积分法.83 5.4 反常积分.86 测试题.90 第 6 章 定积分的应用.93 6.1 平面图形的面积.93 6.2 体积与曲线的弧长.96 6.3 定积分在物理上的应用.99 测试题.101 第 1 章 函数与极限 1.1 函 数 一、基本要求（1）理解邻域的概念，函数的基本概念.（2）掌握函数的表示方法，基本初等函数，初等函数，分段函数.二、考点知识概述 1邻域 0 xx，即开区间00,xx称为点0 x的邻域，记作0,U x或0U x.把0 x去掉，即00 xx，称为去心邻域，记作o0,U x或o0U x.2函数 设有两个变量x与y，变量x的变化范围为实数集合D，如果存在一个确定的法则（或对应规则）f，使得对于每个xD都有唯一的一个实数y与之对应，则称y是x的函数，记作 yf x，x称为自变量，y称为因变量，f表示x与y之间的对应规则.3函数的表示方法（1）解析法：显函数，隐函数，参数方程，复合函数，反函数.（2）表格法.（3）图像法.4常用函数（1）基本初等函数：常数函数yc（c常数）.幂函数yx（为常数）.指数函数xya01.aa（且）对数函数logayx01.aa（且）三角函数sinyx、cosyx、tanyx、cotyx、secyx、cscyx.注：自变量x一律采用弧度.反三角函数arcsinyx、arccosyx、arctanyx、arccotyx.（2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合，并用一个式子表2 高等数学（上册）同步辅导分册 示的函数称为初等函数。（3）分段函数.如 10 xf xx，为有理数，为无理数.三、常用解题技巧 求函数的定义域：（1）若函数式含有分式，则分母不为0.（2）若函数式含有开偶次方根式，则被开方数非负.（3）若函数式含有对数，则真数大于0，底大于0且不等于1.（4）若函数式含有反正弦或反余弦，则反正弦或反余弦符号下式子的绝对值要不大于1.（5）若函数式含有正切符号，则正切符号下的式子的值不能为2K；若函数式含有余切符号，则余切符号下的式子的值不为K（K 为整数）.（6）函数具有实际意义时，除了考虑上述要求外，还要根据实际意义来确认其定义域，如正方形边长为x，面积为y，则2yx,0,x.四、典型题解【例 1】下列各题中，函数()f x与()g x是否相同？（1）22()(),()f xxg xx.（2）22()1,()sincosf xg xxx.解（1）不相同，因为定义域不同，0,),(,)fgDD .（2）相同，因为定义域都是R，且对应法则也相同.【例 2】确定下列函数的定义域.（1）24lg(1)yxx；（2）lg(12cos)yx.解（1）由24010 xx，有221xx，所以定义域为|12xx.（2）由1 2cos0 x，知52,2 0,1,2,33xkkk，从而函数的定义域为5|(2,2),0,1,2,33x xkkk .【例 3】若2211()f xxxx，求()f x.解 由222111()()2f xxxxxx，可知2()2f xx.【例 4】11f xx，求1f x及 ff x.解 11111f xxx 第1章 函数与极限 3 11111211xff xf xxx【例 5】设2,0()1,0 xxf xxx，求()ff x.解 当0 x 时，2()0f xx，故2()1ff xx.当0 x时，()110f xx，故()1(1)2ff xxx.所以21,0()2,0 xxf xxx.【例 6】设()zxyf xy，且当0y 时，2zx，求z的表达式.解 0y，2zx，将0y代入()zxyf xy，得()zxf x，即可得2()f xxx，2()()()f xyxyxy，所以22()()()()2zxyf xyxyxyxyxyy.1.2 函数的性质 一、基本要求 掌握函数的四个基本性质：有界性、单调性、周期性、奇偶性.二、考点知识概述（1）有界性：如果存在一个正常数M，对任何xD，都有 f xM，则称 f x在D上有界；否则称 f x在D上无界.（2）单调性：yf x在D上有定义，任取两点12,x xD，且12xx时，总有12()()f xf x，则称 f x在D上是单调增加的；当12xx时，总有12()()f xf x，则称 f x在D上是单调减少的.（3）周期性：yf x在D上有定义，如果存在一个非零常数T及任意xD，且xTD，总有 f xTf x，则称 f x是周期函数，如果存在最小正数T，则称T为周期函数的最小正周期.（4）奇偶性：设函数 yf x的定义域D关于原点对称，如果对于任意xD，总有 fxf x成立，则称 f x为偶函数；如果对于任意xD，总有 fxf x 成立，则称 f x为奇函数；否则称 f x为非奇非偶函数.三、常用解题技巧 1单调性（1）两个增函数之和是增函数（两个减函数之和是减函数）.（2）两个正增函数之积为增函数（两个正减函数之积为减函数）.（3）f g x的增减性：同增异减，即 f x增，g x减，则 f g x为减函数.2奇偶性（1）若 0f xfx，则 f x为奇函数；若 0f xfx，则 f x为偶函数；4 高等数学（上册）同步辅导分册 若 1fxf x，则 f x为奇函数；若 1fxf x，则 f x为偶函数.（2）若 f x在R上有定义，则 h xf xfx一定是奇函数，g xf xfx一定是偶函数.（3）奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数+偶函数=非奇非偶 奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数（4）f x是偶函数，g x是奇函数，则 f g x是偶函数，g g x为奇函数.1.3 数列的极限 一、基本要求（1）理解数列极限的概念.（2）掌握数列极限的性质和运算.二、考点知识概述 1数列极限 定义：数列 na，当n无限增大时，如果其通项na与一个常数a无限接近，即naa趋于0，则称数列 na收敛于a，或称数列 na以a为极限，记作limnnaa或者naa（n ）；否则称 na发散或没有极限.2运算性质 设limnnaa，limnnbb，c常数，则：（1）limlimnnnncacaca；（2）limlimlimnnnnnnnababab；（3）limlimlimnnnnnnna babab；（4）0b，limlimlimnnnnnnnaaabbb.3重要公式 00101101lim0kkkmmnmakmba na nakmb nbnbkm，（a0b0 0）4收敛数列性质 定理 1.3.1 （极限的唯一性）如果数列 na收敛，那么它的极限是唯一的.第 1 章 函数与极限 5 定理 1.3.2 收敛数列一定有界（反之未必）.定理 1.3.3 （收敛数列的保号性）如果limnnaa，且0a（或0a），那么存在正整数0N，当nN时，都有0na（或0na）.定理 1.3.4 limnnaa的充要条件是2limnnaa且21limnnaa.定理 1.3.5 limnnaa的充要条件是limn knaa.k N（）三、常用解题技巧（1）公式法：01001101,lim,0,kkkmmnmakmba na nakmb nb nbkm（a0b0 0）【例 1】已知22lim321nnanbn，求a、b的值.解 原式2222222122limlim32121nnnanab nbanab nbnn 由公式可知：1210221