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高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1.元素与集合的关系 UxAxC A,UxC AxA.2.德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B.3.包含关系 ABAABBUUABC BC A UAC BUC ABR 4.容斥原理()()card ABcardAcardBcard AB()()card ABCcardAcardBcardCcard AB()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC.5 集合12,na aa的子集个数共有2n 个；真子集有2n1 个；非空子集有2n 1个；非空的真子集有2n2 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.7.解连不等式()Nf xM常有以下转化形式()Nf xM()()0f xMf xN|()|22MNMNf x()0()f xNMf x 11()f xNMN.8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122kabkk.9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若qpabx,2，则m i nm a xm a x()(),()(),()2bfxffxf p fqa；qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，minmin()(),()f xf pf q.(2)当a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f xaf x()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.30.分数指数幂 (1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.31根式的性质 （1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.32有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsr saaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.36.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广 若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx (1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.，(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logm pmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.38.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).40.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad 211()22dnad n.41.等比数列的通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q 或11,11,1nnaa qqqsna q.42.等比差数列 na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为 1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbn nd qsdqdbn qqqq.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).44常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.45.同角三角函数的基本关系式 22sincos1，tan=cossin，tan1cot.46.正弦、余弦的诱导公式 212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 212(1)s,s()2(1)s i n,nnconco 47.和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);22cos()cos()cossin.sincosab=22sin()ab(辅助 角所 在 象 限由 点(,)a b的 象 限 决定,tanba).48.二倍角公式 sin2sincos.2222cos2cossin2cos1 1 2sin .22tantan21 tan.49.三倍角公式 3sin33sin4sin4sinsin()sin()33.3cos34cos3cos4cos cos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1 3tan33.50.三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T.(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)51.正弦定理 2sinsinsinabcRABC.52.余弦定理 2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.53.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(|)()2OABSOAOBOA OB .54.三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCAB 222CAB222()CAB.55.简单的三角方程的通解 sin(1)arcsin(,|1)kxaxka kZ a.s2arccos(,|1)co xaxka kZ a.tanarctan(,)xaxka kZ aR.特别地,有 sinsin(1)()kkkZ.scos2()cokkZ.tantan()kkZ.56.最简单的三角不等式及其解集 sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ.sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ.cos(|1)(2arccos,2arccos),xa axkaka kZ.cos(|1)(2arccos,22arccos),xa axkaka kZ.tan()(arctan,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan),2xa aRxkka kZ.57.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么(1)结合律：(a a)=()a a;(2)第一分配律：(+)a a=a a+a;a;(3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b.58.向量的数量积的运算律：(1)a ab=bb=ba a （交换律）;(2)（a a）b=b=（a ab b）=a ab b=a a（b b）;(3)（a a+b b）c=c=a a c+bc+bc.c.59.平面向量基本定理 如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=a=1e e1+2e e2 不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60向量平行的坐标表示 设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，且 b b0 0，则 a ab(bb(b0)0)12210 x yx y.53.a a与 b b 的数量积(或内积)a ab b=|a a|b b|cos 61.ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 62.平面向量的坐标运算(1)设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，则 a+b=a+b=1212(,)xxyy.(2)设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，则 a a-b=b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy .(4)设 a a=(,),x yR，则a=a=(,)xy.(5)设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，则 a ab=b=1212()x xy y.63.两向量的夹角公式公式 121222221122cosx xy yxyxy(a a=11(,)x y,b b=22(,)xy).64.平面两点间的距离公式 ,A Bd=|ABAB AB 222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).65.向量的平行与垂直 设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，且 b b0 0，则 A A|b bb b=a a 12210 x yx y.a ab(ab(a0)0)a ab b=012120 x xy y.66.线段的定比分公式 设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则 121211xxxyyy121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP（11t）.67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则ABC 的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.68.点的平移公式 xxhxxhyykyykOPOPPP .注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为(,)P x y，且PP的坐标为(,)h k.69.“按向量平移”的几个结论 （1）点(,)P x y按向量 a a=(,)h k平移后得到点(,)P xh yk.(2)函数()yf x的图象C按向量 a a=(,)h k平移后得到图象C,则C的函数解析式为()yf xhk.(3)图象C按向量 a a=(,)h k平移后得到图象C,若C的解析式()yf x,则C的函数解析式为()yf