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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 普通高等教育电路设计系列规划教材 广义函数简史 李 斐 王 昌 编著 内 容 简 介 本书论述了广义函数理论创建的背景、过程、原因，以及这一理论对线性偏微分方程理论发展的影响。这不仅有助于人们理解泛函分析发展的历程，而且为数学家的科研工作提供了一种富有启发性的模板和案例，具有理论和现实意义。本书以“为什么数学”为切入点，从主、客观两个方面论述了施瓦兹能够成功创建广义函数理论、有幸成为广义函数理论奠基者的原因，以便使人们更全面地理解和看待数学理论的发展，更深入地理解这一理论。本书可作为高等院校相关专业的高年级本科生和研究生的参考教材，也可供从事近现代数学史研究的工作者、广义函数和泛函分析的工作者以及教授广义函数和泛函分析课程的教师阅读参考。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 广义函数简史/李斐，王昌编著.北京：电子工业出版社，2018.6 ISBN 978-7-121-34239-4 I广 II李 王 III广义函数研究 IVO177.4 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2018)第 106126 号 策划编辑：冯小贝 责任编辑：冯小贝 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：787980 1/16 印张：9.5 字数：155 千字 版 次：2018 年 6 月第 1 版 印 次：2018 年 6 月第 1 次印刷 定 价：39.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：。前 言 20 世纪 40 年代末，法国数学家施瓦兹在前人研究工作的基础上建立的广义函数理论(他称其为“分布理论”)是泛函分析的一个重要发展。这一理论因数学与物理学的发展需要而产生。这一理论的建立不仅丰富了泛函分析，而且促进了 20 世纪以及未来数学和物理学的发展，如加快了偏微分方程理论发展的步伐、奠定了量子力学研究的基础等。广义函数概念的引入标志着函数概念进入了新的发展阶段，施瓦兹分布理论一书的出版，标志着广义函数理论作为新分析学分支的诞生。对广义函数理论创建的过程、原因、影响以及相关历史问题进行研究具有重要意义。首先，这一研究是泛函分析史的重要组成部分，有助于我们更全面地理解整个泛函分析的历史发展进程。其次，有助于我们理解施瓦兹的思想，进而为数学家的科研工作提供一种可借鉴的思路或方法，同时也为理解近现代数学思想的传承演变提供重要的参考资料。最后，历史是教学的指南，通过研究广义函数理论的历史，为泛函分析和广义函数理论的教学提供更全面的历史背景，有助于相关专业的学习者更加深刻地理解其思想脉络。这本广义函数简史是在已有研究成果的基础上，通过研读海维赛德、狄拉克、索伯列夫、施瓦兹、马尔格朗日和赫尔曼德尔等物理学家、数学家的原始文献及其相关研究文献，从“是什么”“如何做”和“为什么”这三个逐渐递进的数学史研究角度，对广义函数建立的过程、形成的原因等问题进行详细论述而完成的。书后详细列出了相关参考文献，以便感兴趣的读者进行查阅，同时对文献作者表示诚挚的敬意和感谢。本书力图全面、合理地描绘并呈现出广义函数理论建立的历史过程和原因。首先探究施瓦兹在什么问题的刺激下，以什么为灵感，如何引入分布概念的。接着对施瓦兹的相关原始文献进行剖析，探析蕴含在其工作之中的深刻思想和方法，展示他在这种思想和方法的指导下做出的具体工作。继而从数学背景、时代背景、数学传统以及科研目标等主、客观方面，探讨施瓦兹能够成功创建 IV分布理论的原因；分析了虽然索伯列夫先于施瓦兹近十年之久引入了广义函数的泛函定义、发展了相关运算，但是广义函数理论的奠基者却是施瓦兹而不是索伯列夫的历史必然性。最后简要论述了广义函数理论产生的影响及其进一步发展，着重论述这一理论对线性偏微分方程理论的影响。本书对广义函数的发展历程及施瓦兹等人为此做出的贡献和产生的重大意义给予了详细阐述，对学习泛函分析、研究泛函分析史有很大帮助，值得相关专业的高年级本科生、研究生以及数学史工作者和爱好者阅读。感谢家人的支持，让我安心完成书稿；感谢恩师曲安京教授的指导和帮助；感谢电子工业出版社谭海平先生和冯小贝编辑的帮助以及珍贵意见；感谢国家自然科学基金(11726019)以及西北大学科学史学科建设经费的资助。基于作者水平有限，书中难免有不足之处，感谢读者给予批评指正(E-mail：)。李斐 王昌 2018 年 1 月于西安 目 录 第 1 章 狄拉克与函数1 1.1 海维赛德的算子演算 2 1.1.1 电磁学的贡献，算子演算的源泉3 1.1.2 符号运算法则与函数6 1.2 狄拉克函数的引进 11 第 2 章 傅里叶变换和微分方程解的推广17 2.1 傅里叶变换的推广 17 2.1.1 傅里叶与热理论17 2.1.2 傅里叶变换的推广21 2.2 微分方程的广义解 24 第 3 章 索伯列夫与广义函数31 3.1 索伯列夫：苏联伟大的数学家、民族英雄31 3.2 索伯列夫的广义函数工作 35 3.3 索伯列夫留下的独立创作空间40 3.3.1 研讨偏微分方程是兴趣40 3.3.2 索伯列夫与圣彼得堡数学学派44 3.3.3 时代背景赋予的科研使命47 第 4 章 施瓦兹的广义函数概念51 4.1 必要数学工具的出现 51 4.1.1 拉东测度和卷积51 4.1.2 拓扑向量空间的对偶理论53 4.2 施瓦兹的广义函数 56 4.2.1 施瓦兹的卷积算子56 4.2.2 分布概念的提出62 4.2.3 分布概念的优越性66 VI第 5 章 施瓦兹与广义函数理论 69 5.1 施瓦兹与布尔巴基学派 69 5.1.1 布尔巴基学派：法国的秘密数学团体 69 5.1.2 布尔巴基学派的数学观念 75 5.1.3 布尔巴基学派对施瓦兹的影响 79 5.2 施瓦兹广义函数理论的基本内容 84 5.2.1 分布的导数与积分 85 5.2.2 分布空间的代数结构 90 5.2.3 分布空间的拓扑结构 95 5.3 卷积方程的激励 98 5.3.1 卷积方程的求解策略 98 5.3.2 求解策略中存在的问题 102 5.4 缓增分布与傅里叶变换 105 5.4.1 施瓦兹空间和球形分布 106 5.4.2 球形分布的傅里叶变换 111 5.4.3 分布傅里叶变换的应用 115 5.5 广义函数的拉普拉斯变换 116 第 6 章 广义函数理论的应用与发展 120 6.1 广义函数理论的应用 120 6.1.1 对线性偏微分方程的影响 120 6.1.2 其他应用 126 6.2 广义函数理论的发展 127 6.2.1 广义函数的基本函数序列定义 127 6.2.2 由形式导数定义的广义函数 130 6.2.3 分布理论的发展 131 参考文献 134 人名索引 142 第 1 章 狄拉克与函数 数学与物理学之间是相互促进、相互发展的。自牛顿(I.Newton，16431727)时代起，物理学家就借助广泛的数学工具来研究物理现象的数学模型数学物理问题。反过来，数学物理的研究亦刺激了数学的发展，尤其是理论物理学的不断发展要求“更高的数学”作为其理论基础，这就为数学科学提供了强大的发展动力。17 世纪，英国数学家、物理学家牛顿和莱布尼茨(G.W.Leibniz，16461716)在前人数学思想的积累与指导下创立了微积分。这一数学分支的建立是科学技术发展史上的大事件，被誉为人类文明史上的划时代事件。人们利用这一卓有成效的数学工具描述了许多新的自然现象，取得了前所未有的成就。那时，人们普遍认为描述自然现象的函数总是足够光滑的，函数的光滑性似乎是大自然的和谐反映。然而，随着数学的进一步发展，人们逐渐意识到不光滑函数的存在。1861 年，德国数学家魏尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass，18151897)给出了一个处处连续、处处不可微的函数0()cos()nnnf xba x=。19世纪中期，人们已经知道并不是任意一个函数都能进行微分、积分运算，许多运算只能在特定的条件下进行。诚然，随着古典分析学的不断发展，我们不得不承认其直观性减弱了，作为描述自然现象的工具其灵活性也降低了，这便迫使数学家不得不考虑推广已有函数概念的范围。也就是说，已有函数概念已经无法适应数学科学自身的发展，数学家需要思考如何对其进行推广，甚或是引入新的数学对象。另一方面，经典函数概念已经无法满足物理学的发展，尤其是量子场理论，这便使物理学家开始寻求新的数学对象来开展学术研究。19世纪末，英国电子工程师海维赛德(O.Heaviside，18501925)在“数学物理中的算子”一文中大胆引进并使用了没有得到数学证实的算子演算法则，其中要求对在原点处不连续的海维赛德函数进行求导，该函数的导数即为狄拉广义函数简史 2 克函数()x。20多年之后，英国物理学家狄拉克(P.A.M.Dirac，19021984)在量子力学研究过程中直接引入了函数。很快，数学家便从纯粹的数学角度指出狄拉克函数是毫无意义的。事实上，狄拉克自己也很清楚函数在经典函数定义下并不是一个函数，但是用它的确能够有效地处理物理学问题这暴露出了经典函数概念的局限性。1.1 海维赛德的算子演算 海维赛德(见图1.1)是自学成才的英国电气工程师、物理学家和数学家。他的兴趣广泛，极度地享受阅读并对学术研究饱含着争辩和任性的风格。他是哥廷根大学的荣誉博士，是第一位获得法拉第奖的物理学家，并且是英国皇家学会的会员。图 1.1 海维赛德(O.Heaviside，18501925)海维赛德的主要科学贡献在于发展并重新形成了英国物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell，18311879)的电动力学，他的数学思想正是在这一物理研究活第1章 狄拉克与函数 3 动的背景下产生的。他引入了求解微分方程的数学方法(等价于拉普拉斯变换)，根据电磁力和能量流重述了麦克斯韦场方程，发表了很多电磁学文章。微分算子满足结合律和分配律，故莱布尼茨的微分记号使数学家可以把微分算子看作不依赖所作用的函数的代数量，这一思想为海维赛德发展其符号运算法则提供了基本保障。另外，海维赛德在发展他的算子演算之前，已经从英国数学家布尔(G.Boole，18151864)的著作微分方程讲义中获得了用抽象代数方法处理运算微积分的知识。正是在这些思想的基础上，海维赛德于19世纪末提出了他的符号运算法则，引进了海维赛德函数和单位阶跃函数。1.1.1 电磁学的贡献，算子演算的源泉 海维赛德出生于英国伦敦卡姆登镇普伦德街。孩提时患过猩红热，损伤了听力，这导致他与同学的关系不够融洽，童年并不快乐。然而，他的学习成绩却相当不错，1865年时位于学校500名学生中的第5名。遗憾的是，出于家庭的原因，16岁之后他就再也没有接受过正规的学校教育。即便如此，基于对知识的渴望，他自学了莫尔斯电报密码学、电学，以及丹麦语和德语。青年时，海维赛德想成为一名电报员，并幸运地得到了叔叔惠斯通 (C.Wheatstone，18021875)的帮助。惠斯通是位英国物理学家，是电报和电磁学领域的知名专家，是19世纪30年代中期第一台商业电报机的发明者之一。1867年，惠斯通介绍海维赛德与他的哥哥亚瑟(Arthur)一起工作，亚瑟那时正在经营惠斯通位于英格兰纽卡斯尔的一家电报公司。第二年，海维赛德便到丹麦从事电报员工作，因在工作中的飞速进步而于1871年来到英格兰纽卡斯尔大北电报公司工作，当时该公司正在通过英国承包商铺设从纽卡斯尔到丹麦的电缆。尽管海维赛德的听力越来越糟糕并且依旧坚守在电报员的岗位上，但是他却在工作之余进行电学研究，同时发表电学文章。22岁那年，他在知名杂志上发表了一篇学术论文，文中提出了使用电流计和电池测量电阻的最佳惠斯通电桥方法，这一方法赢得了包括