概率论与数理统计复习指导与深化训练.pdf

普通高等学校工科类、经管类数学深化训练与考研辅导丛书 概率论与数理统计概率论与数理统计 复习指导与深化训练复习指导与深化训练 刘 强 郭文英 孙 阳 编著 内 容 简 介 本书是作者在多年本科教学和考研辅导经验的基础上编写而成的。全书共分为 8 章，每章包括 5个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练。本书编写的主要目的有两个：一是帮助学有余力的在校学生更好地学习“概率论与数理统计”课程，开阔学习视野，拓展解题思路；二是满足学生报考研究生的需要。本书编写紧扣“数学一”和“数学三”考研大纲，贴近考试实际，做到分门别类、详略得当，帮助考生在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提高综合分析问题、解决问题的能力，以达到融会贯通、举一反三的学习效果。本书既可以作为普通高等学校工科类、经管类本科生学习“概率论与数理统计”课程的深化训练用书，也可以作为全国硕士研究生统一入学考试的辅导用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 概率论与数理统计复习指导与深化训练/刘强，郭文英，孙阳编著北京：电子工业出版社，2016.6 ISBN 978-7-121-28868-5 I概 II刘 郭 孙 III概率论高等学校习题集 数理统计高等学校习题集 IVO21-44 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2016)第 109766 号 策划编辑：徐 颢 责任编辑：徐 颢 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：13.75 字数：352 千字 版 次：2016 年 6 月第 1 版 印 次：2016 年 6 月第 1 次印刷 定 价：36.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254103。前 言 为了更好地帮助普通高等学校工科类、经管类本科生学好大学数学，同时为了满足众多考生考研的需要，我们结合多年的考研辅导经验，编写了“普通高等学校工科类、经管类数学深化训练与考研辅导丛书”，该丛书包括微积分、高等数学、线性代数和概率论与数理统计四门数学课程的辅导用书，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编。本书为概率论与数理统计分册，内容涵盖了考研“数学一”和“数学三”的全部考点。本书编写的主要目的有两个：一是帮助学有余力的在校学生更好地学习“概率论与数理统计”课程，以开阔学习视野，拓展解题思路；二是满足学生报考研究生的需要。本书编写紧扣“数学一”和“数学三”考研大纲，贴近考试实际，做到分门别类、详略得当，使考生能在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，综合分析问题、解决问题的能力得到有效提升，达到融会贯通、举一反三的学习效果。全书共分为 8 章，每章包括 5 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练。具体模块内容介绍如下。一、知识要点：本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容。二、典型例题分析：作者在多年来考研辅导经验的基础上，创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的考研真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧。三、深化训练：本模块精心选编了部分具有代表性的习题以及历年的考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通和举一反三。四、深化训练详解：本模块对深化训练习题给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维。五、综合提高训练：本模块的例题综合性较强，有较高的难度和较强的灵活性，通过本模块的学习，有效提升读者的综合能力和应变能力。为了便于读者阅读本书，书中的“数学一”要求、“数学三”不要求的内容将用“*”标出，有一定难度的结论、例题和综合练习题等将用“*”标出。另外为了方便读者查阅，本书在考研真题后面加上了标志，例如【2010（1）】表示该题是 2010 年硕士研究生入学考试“数学一”考题，【2010（1，3）】表示该题是 2010 年“数学一”和“数学三”考题，其余类推。本丛书在编写过程中，得到了北京工业大学李高荣教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授，昆明理工大学吴刘仓教授，北京化工大学李志强副教授，以及同事们的大力支持，电子工业出版社的徐颢编辑和高教分社的谭海平社长也为丛书的出版付出了大量努力，在此表示诚挚的感谢。IV本书既可以作为普通高等学校工科类、经管类本科生学习“概率论与数理统计”课程的深化训练用书，也可以作为全国硕士研究生统一入学考试的辅导用书。由于作者水平有限，书中仍可能存在不妥甚至错漏之处，恳请读者和同行们不吝指正。邮件地址为：。编 者 2016 年 4 月 目 录 第 1 章 概率论的基本概念 1 1.1 知识要点 1 1.1.1 随机试验与随机事件 1 1.1.2 事件的关系与运算 1 1.1.3 频率的定义及性质 2 1.1.4 概率的公理化定义及性质 2 1.1.5 条件概率的定义及性质 3 1.1.6 事件的独立性 4 1.1.7 概率模型 4 1.2 典型例题分析 5 1.2.1 题型一：事件的运算及事件概率的求解问题 5 1.2.2 题型二：古典概型、几何概型的计算 8 1.2.3 题型三：条件概率问题 11 1.2.4 题型四：独立性与伯努利概型问题 15 1.3 深化训练 16 1.4 深化训练详解 19 1.5 综合提高训练 22 第 2 章 随机变量及其分布 24 2.1 知识要点 24 2.1.1 随机变量 24 2.1.2 随机变量的分布函数及性质 24 2.1.3 离散型随机变量及其分布律 24 2.1.4 常见的离散型随机变量 25 2.1.5 连续型随机变量 26 2.1.6 常见的连续型随机变量及性质 26 2.1.7 随机变量函数的分布 28 2.1.8 分位点 28 2.2 典型例题分析 28 2.2.1 题型一：随机变量分布的有关问题 28 2.2.2 题型二：随机变量分布的求解及用分布计算概率 30 2.2.3 题型三：正态随机变量的计算 34 2.2.4 题型四：求解随机变量函数的分布 35 2.3 深化训练 39 2.4 深化训练详解 41 VI2.5 综合提高训练 46 第 3 章 多维随机变量及其分布 50 3.1 知识要点 50 3.1.1 联合分布函数的概念性质 50 3.1.2 二维离散型随机变量 50 3.1.3 二维连续型随机变量 51 3.1.4 随机变量的独立性 52 3.1.5 随机变量函数的分布 53 3.1.6 常见的二维分布 54 3.2 典型例题分析 54 3.2.1 题型一：二维离散型随机变量的相关问题 54 3.2.2 题型二：二维连续型随机变量的相关问题 59 3.2.3 题型三：二维随机变量的证明问题 65 3.3 深化训练 67 3.4 深化训练详解 72 3.5 综合提高训练 90 第 4 章 随机变量的数字特征 96 4.1 知识要点 96 4.1.1 随机变量的数学期望 96 4.1.2 随机变量的方差 97 4.1.3 协方差 97 4.1.4 相关系数 98 4.1.5 随机变量的矩 98 4.1.6 协方差阵 98 4.1.7 几个常见分布的数字特征 98 4.2 典型例题分析 99 4.2.1 题型一：一维离散型随机变量的数字特征问题 99 4.2.2 题型二：一维连续型随机变量的数字特征问题 100 4.2.3 题型三：二维离散型随机变量的数字特征问题 102 4.2.4 题型四：二维连续型随机变量的数字特征问题 104 4.2.5 题型五：随机变量函数的数字特征问题 106 4.2.6 题型六：随机变量数字特征的应用 108 4.3 深化训练 109 4.4 深化训练详解 115 4.5 综合提高训练 134 第 5 章 大数定律与中心极限定理 139 5.1 知识要点 139 5.1.1 切比雪夫（Chebyshev）不等式 139 VII5.1.2 依概率收敛 139 5.1.3 常见的大数定律 139 5.1.4 常见的中心极限定理 139 5.2 典型例题分析 140 5.2.1 题型一：利用切比雪夫不等式估计事件的概率 140 5.2.2 题型二：大数定律的应用 141 5.2.3 题型三：中心极限定理的应用 143 5.3 深化训练 145 5.4 深化训练详解 147 5.5 综合提高训练 152 第 6 章 数理统计的基本概念 154 6.1 知识要点 154 6.1.1 总体与样本 154 6.1.2 统计量与抽样分布 154 6.1.3 一些常用的统计量 154 6.1.4 经验分布函数 154*6.1.5 顺序统计量 155 6.1.6 2分布 155 6.1.7 t 分布 156 6.1.8 F 分布 156 6.1.9 上 分位点 157 6.1.10 正态总体的样本均值与样本方差的分布 157 6.1.11 几个常用的结论 158 6.2 典型例题分析 158 6.2.1 题型一：统计量与抽样分布问题 158 6.2.2 题型二：概率的计算问题 160 6.2.3 题型三：随机变量的数字特征问题 160 6.2.4 题型四：常数的求解问题 161 6.2.5 题型五：经验分布函数的求解 162 6.2.6 题型六：样本容量问题 162 6.3 深化训练 162 6.4 深化训练详解 164 6.5 综合提高训练 166 第 7 章 参数估计 170 7.1 知识要点 170 7.1.1 参数与参数估计 170 7.1.2 点估计 170 7.1.3 矩估计法 170 7.1.4 最大（极大）似然估计法 170 VIII7.1.5 估计量的评选标准 171*7.1.6 区间估计 171*7.1.7 正态总体均值与方差的区间估计公式 172 7.2 典型例题分析 172 7.2.1 题型一：矩估计与最大似然估计 172 7.2.2 题型二：估计量的评选标准问题 174*7.2.3 题型三：区间估计问题 175*7.2.4 题型四：非正态总体的区间估计问题 176 7.3 深化训练 178 7.4 深化训练详解 179 7.5 综合提高训练 182*第 8 章 假设检验 187 8.1 知识要点 187 8.1.1 假设检验的相关概念 187 8.1.2 两类错误 187 8.1.3 假设检验的步骤 188 8.1.4 正态总体均值与方差的检验 188 8.2 典型例题分析 189 8.2.1 题型一：单个正态总体的假设检验问题 189 8.2.2 题型二：两个正态总体的假设检验问题 190 8.2.3 题型三：两类错误问题 190 8.3 深化训练 191 8.4 深化训练详解 192 8.5 综合提高训练 194 2013 年考研试题概率论与数理统计考题 196 2014 年考研试题概率论与数理统计考题 200 2015 年考研试题概率论与数理统计考题 205 2016 年考研试题概率论与数理统计考题 208 第 1 章 概率论的基本概念 1.1 知知 识识 要要 点点 1.1.1 随机试验与随机事件随机试验与随机事件 所谓随机试验随机试验指的是具有以下性质的试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验可能出现的结果不止一个，且在试验之前知道所有可能的结果；（3）试验前不能确定具体哪一个结果会出现 通常用字母 E 表示随机试验（以后简称试验试验）随机试验的全部可能结果组成的集合称为随机试验的样本空间样本空间，记为S，S中的元素