高等数学（上册）教材分册.pdf

普通高等教育“十三五”规划教材 高 等 数 学（上册）教材分册 主 编 张 瑶 副主编 汪永娟 段宏博 II 内 容 简 介 本书根据应用型本科院校学生实际情况编写，分为上、下两册。上册内容包括函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分和定积分的应用。本书知识编排遵循“够用、管用、会用”的原则。借用实例引入定义、定理，使学生了解高等数学的应用性。例题编排主要针对基础知识和基本的运算能力训练，浅显易懂；每节后开设“加油站”，加入一些综合性或技能性较强的题目，供学有余力的学生为进一步提高数学水平而选用；各章节之后配备了足量的各种类型的习题供学生练习，以提高学生的运算能力和思维能力。本书可作为应用型本科院校工科专业教材，也可作为高等数学课程学习的参考用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 高等数学（上册）教材分册/张瑶主编.北京：电子工业出版社，2017.8 ISBN 978-7-121-32066-8.高 .张 .高等数学高等学校教材 .O13 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2017）第 151438 号 策划编辑：朱干支 责任编辑：李 蕊 印 刷：北京市顺义兴华印刷厂 装 订：三河市双峰印刷装订有限公司 出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7871092 1/16 印张：15 字数：384 千字 版 次：2017 年 8 月第 1 版 印 次：2017 年 8 月第 1 次印刷 定 价：39.50 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254573，。III 前 言 高等数学是理工科各专业的重要基础课，它既为后续课程准备必要的数学知识与方法，又对学生科学思维的训练起着重要的作用。目前普通本科院校有多部优秀的高等数学教材可供选择，高职类院校也有成型的教材，但对应用型本科院校来说符合其实际情况的教材很少。有些应用型本科院校选择使用普通本科院校的高等数学教材，老师在讲授时删减一些内容，这种做法使得知识无法融会贯通，给学生学习带来了很大的困扰；还有些院校选用专科教材，这些教材内容过于简单，无法满足考研学生的需求。本书是为应用型本科院校工科专业编写的高等数学教材，充分考虑了应用型本科院校以培养具有实践能力和创新能力的应用型人才为宗旨，力求贯彻“够用、管用、会用”的三用原则。在编写过程中，进行了以下几个方面的努力。1文字通俗易懂，语言力求准确。2有些定理只给出直观的原理解释或进行部分证明，以适应本书的既定任务。3书中例题和习题的编排主要针对基础知识和基本的运算能力训练。4在每节后增设了“加油站”，增加了综合性或技能性较强的题目，以适应不同层次学生的需求。5每章末尾都设有小结，对本章知识进行归纳总结，使知识条理化、系统化。为了方便使用，本书配有习题答案（电子版），请有此需要的读者登录华信教育资源网（）免费下载。本书由张瑶担任主编并对全书进行统稿，由汪永娟、段宏博担任副主编，由张春志、付吉丽担任主审。编写分工如下：张瑶编写第1章与第2章；汪永娟编写第3章与第4章；段宏博编写第5章与第6章。本书得到了哈尔滨石油学院领导的大力支持，得到了曾昭英教授、朱志范教授的悉心指导，也得到了教研室同事高剑、金宝胜、王晓春、武斌4位老师在收集材料、提供习题、校稿等方面的大力帮助，在此一并表示衷心的感谢。我们致力于编写一本适用于应用型本科院校的较高水平的优秀教材，编者做了大量工作，但由于编者的水平有限，书中难免会存在诸多错误与不足，敬请读者不吝指正，编者在此不胜感激。编 者 2017年5月 IV 目 录 第 1 章 函数与极限.1 1.1 函数.1 1.1.1 集合的概念.1 1.1.2 区间与邻域.2 1.1.3 函数.3 1.1.4 函数的表示法.4 1.1.5 常用函数.5 习题 1.1.9 1.2 函数的性质.10 1.2.1 有界性.10 1.2.2 单调性.11 1.2.3 周期性.11 1.2.4 奇偶性.11 习题 1.2.15 1.3 数列的极限.16 1.3.1 数列极限.16 1.3.2 收敛数列的性质.19 习题 1.3.20 1.4 函数的极限.22 1.4.1 函数极限.22 1.4.2 函数极限的性质.23 习题 1.4.27 1.5 无穷小与无穷大.28 1.5.1 无穷小.28 1.5.2 无穷小的阶的比较.29 1.5.3 无穷大.30 习题 1.5.32 1.6 两个重要极限.33 习题 1.6.39 1.7 函数的连续性.41 1.7.1 连续函数的概念与性质.41 1.7.2 函数的间断点.43 1.7.3 闭区间上连续函数的性质.44 习题 1.7.47 本章小结.48 VI 复习题 1.50 第 2 章 导数与微分.53 2.1 导数.53 2.1.1 问题的提出.53 2.1.2 导数的概念.54 习题 2.1.57 2.2 求导法则与基本公式.59 2.2.1 基本公式.59 2.2.2 导数的四则运算法则.59 习题 2.2.61 2.3 复合函数求导法则.62 习题 2.3.66 2.4 隐函数求导及其他.67 2.4.1 隐函数的导数.67 2.4.2 参数式函数求导.68 2.4.3 反函数的求导法则.68 2.4.4 相关变化率.69 习题 2.4.71 2.5 高阶导数.72 习题 2.5.77 2.6 微分.78 2.6.1 微分的概念.78 2.6.2 微分的几何意义.80 2.6.3 微分法则与基本初等函数的微分公式.80 2.6.4 微分在近似计算中的应用.82 习题 2.6.86 本章小结.87 复习题 2.90 第 3 章 中值定理与导数的应用.93 3.1 微分中值定理.93 3.1.1 费马（Fermat）定理.93 3.1.2 罗尔定理.93 3.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理.94 3.1.4 柯西（Canchy）中值定理.96 习题 3.1.98 3.2 洛必达法则.100 习题 3.2.106 3.3 函数的单调性及极值.107 3.3.1 函数的单调性.107 VII 3.3.2 函数的极值.109 3.3.3 函数的最值.110 3.3.4 应用.111 习题 3.3.115 3.4 曲线的凸凹性、拐点及函数作图.117 3.4.1 曲线的凸凹性.117 3.4.2 曲线的渐近线.119 3.4.3 函数作图.121 习题 3.4.124 3.5 曲率.125 3.5.1 曲率的概念.125 3.5.2 曲率公式.126 习题 3.5.128 本章小结.128 复习题 3.131 第 4 章 不定积分.134 4.1 不定积分的概念与性质.134 4.1.1 原函数与不定积分的概念.134 4.1.2 不定积分的性质.135 4.1.3 基本公式.136 习题 4.1.139 4.2 第一换元法.141 习题 4.2.148 4.3 第二换元法.150 习题 4.3.155 4.4 分部积分法.157 4.4.1 幂三角（或指数）dx.157 4.4.2 幂对（或反三角）dx.158 4.4.3 三角指数 dx.158 习题 4.4.162*4.5 有理函数与三角函数有理式的积分.163 本章小结.168 复习题 4.171 第 5 章 定积分.173 5.1 定积分的概念与性质.173 5.1.1 问题的提出.173 5.1.2 定积分的定义.175 5.1.3 定积分的性质.176 VIII 习题 5.1.180 5.2 微积分基本定理.182 5.2.1 变限积分与原函数.182 5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式.183 习题 5.2.188 5.3 定积分的换元法与分部积分法.190 5.3.1 定积分的换元法.190 5.3.2 定积分的分部积分法.194 习题 5.3.200 5.4 反常积分.201 5.4.1 无穷限的反常积分.201 5.4.2 无界函数的反常积分.204 5.4.3 函数.206 习题 5.4.209 本章小结.210 复习题 5.211 第 6 章 定积分的应用.214 6.1 平面图形的面积.214 6.1.1 定积分的微元法.214 6.1.2 平面图形的面积.215 习题 6.1.219 6.2 体积与曲线的弧长.219 6.2.1 旋转体的体积.219 6.2.2 已知平行截面面积的立体体积.222 6.2.3 平面曲线的弧长.223 习题 6.2.225 6.3 定积分在物理学上的应用.226 6.3.1 变力沿直线所做的功.226 6.3.2 水压力.227 习题 6.3.229 本章小结.230 复习题 6.230 第 1 章 函数与极限 初等数学的研究对象是不变的量，使用的工具多是函数；高等数学研究的对象都是变动的量，也就是函数，使用的工具是极限极限理论是高等数学的基石本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念和它们的一些性质 1.1 函 数 1.1.1 集合的概念 1集合 集合是数学中的一个最基本的概念 一般地，具有某种特定性质的事物的总体称为集合（简称集）组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）例如，一间教室里的学生构成一个集合，其中每一个学生为该集合的一个元素；偶数的全体组成偶数集合，每个偶数是它的元素 通常用大写的英文字母 A，B，C，表示集合；用小写的英文字母 a，b，c，表示集合的元素若 a 是集合 A 的元素，则称 a 属于 A，记作 aA；否则称 a 不属于 A，记作 aA（或aA）含有有限个元素的集合称为有限集；由无限个元素组成的集合称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，用表示例如，不超过 10 的正偶数全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程210 x 的实根组成的集合是空集 2集合的表示方法：列举法和描述法 列举法是将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内 例如，所有正整数组成的集合可以表示为1,2,nN 描述法是指集合元素所具有的性质，即将具有某种性质特征的元素 x 所组成的集合 A记作 Ax x具有某种性质特征 例如，12Axx 实数的集合可表示成 x xR为实数 而集合 22,Ax y xyx y+=1,为实数 表示 xOy 平面内单位圆上点的集合 注意：集合具有确定性、互异性、无序性 2 高等数学（上册）教材分册 设 A，B 是两个集合，若 A 的每个元素都是 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作AB（或 BA），读作 A 包含于 B（或 B 包含 A）；若AB，且有元素aB，但aA，则说A是B的真子集，记作AB例如，全体自然数的集合是全体整数集合的真子集 注：规定空集为任意集合的子集，即对任意集合A，有A 3集合的运算 若AB，且AB，则称集合A与B相等，记作AB例如，设1,2A，2320Bx xx，则AB 由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作AB，即 ABx xAxB或 由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作AB，即 ABx xAxB且 由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作AB，即 A Bx xAxB但 两个集合的并集、交集、差集分别如图 1.1 中的阴影部分所示 图1.1 在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集X的任何子集A关于X的差集XA常称为A的补集（或余集），记作XA 以后用到的集合主要是数集，即集合中的元素都是数如果没有特别声明，以后提到的数都是实数 定理 1.1 设A，B，C为三个集合，则（1）AB=BA，AB=BA（交换律）（2）(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)（结合律）