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初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数 A 除以整数B(B0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被 B 整除.0 能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除 数能被整除的数的特征2 或 5 末位数能被2 或 5 整除4 或 25 末两位数能被4 或 25 整除8 或 125 末三位数能被8 或 125 整除3 或 9 各位上的数字和被3 或 9 整除(如 771，54324)11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11 整除(如 143,1859,1287,908270 等)7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被 7 或 11 或 13 整除.(如 1001，22743，17567，21281 等)能被 7 整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数的2 倍其差能被7 整除。如1001100298（能被 7 整除）又如 7007700 14686，681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11 整除如1001100 199（能 11 整除）又如 10285102851023102399（能 11 整除）二、倍数.约数1 两个整数A 和 B（B0），如果 B 能整除 A（记作 BA），那么 A 叫做 B 的倍数，B 叫做 A 的约数。例如315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。2 因为 0 除以非 0 的任何数都得0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非0 整数的倍数，非0 整数都是0 的约数。如0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3 整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，,都是 A 的倍数，例如5 的倍数有 5，10，,。4 整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和 A。例如 6 的约数是 1，2，3，6。5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6 公约数只有1 的两个正整数叫做互质数（例如15 与 28 互质）。7 在有余数的除法中，被除数除数商数余数若用字母表示可记作：ABQR，当 A，B，Q，R 都是整数且B0 时，AR 能被 B 整除例如 23372则 23 2 能被 3 整除。三、质数.合数1 正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2 根椐质数定义可知质数只有 1 和本身两个正约数，质数中只有一个偶数2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3 任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。四、零的特性一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1，零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0 米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0 元。2，零是判定正、负数的界限。若 a 0 则 a 是正数，反过来也成立，若a 是正数，则a0 记作a0 a是正数读作 a0 等价于 a 是正数bb 时,a-b0；当 ab 时,a-b0.三，在近似数中，当0 作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如近似数 1.6 米与 1.60 米不同，前者表示精确到0.1 米（即 1 分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01 米（即 1 厘米），误差不超过5 毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数 1.61.651.595?近似数1.601605五、an的个位数.1.整数 a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n 次幂的个位数字相同。例如 20023与 23的个位数字都是8。2.0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。3.2，3，7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,底数2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4,3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9,7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9,其规律是：2 的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6 四个数字循环出现，即24k+1与 21，24K2与 22，24K3与 23，24K4与 24的个位数是相同的（K 是正整数）。3 和 7 也有类似的性质。4.4，8，9 的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用422，823，932转化为以2、3 为底的幂。5.综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4Km与 am的个位数相同(k,m 都是正整数)六、数学符号数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1,元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示园和三角形等。2,关系符号：如等号，不等号，相似，全等，平行，垂直等。3,运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4,逻辑符号：略5,约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和 b 中，如果a 除以 b的商的整数部份记作 Z（ba），而它的余数记作R（ba），那么Z（310）3，R（310）1；又如设x表示不大于x 的最大整数，那么2.5 5，2.5 6，320，3 3。正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。七、用字母表示数1，用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。2，用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。例如写出数a的倒数用字母表示一切偶数解：当a0 时，a 的倒数是a1设 n 为整数，2n 可表示所有偶数。3，命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。例题化简：x 3（x3）|x+5|解：x3,x30，x3（x3）x3 当 x?5 时，x5 x5，当 x 0，b0，那么a+b0，不可逆绝对值性质如果 a0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a则 a?0)7，有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。例 1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？解：不同的五位数可从最大五位数99999 减去最小五位数10000 前的所有正整数，即99999-9999=90000.推广到 n 位正整数，则要观察其规律一位正整数,从 1 到 9 共 9 个，记作 91 二位正整数从10 到 99 共 90 个，记作 910三位正整数从100 到 999 共 900 个，记作 9102 四位正整数从1000 到 9999 共 9000 个，记作 9103(指数 3=4-1),n 位正整数共9 10 n-1个例 2 _ A C D E B 在线段 AB 上加了 3 个点 C、D、E 后，图中共有几条线段？加 n 点呢？解：以 A 为一端的线段有：AC、AD、AE、AB 共 4 条以 C 为一端的线段有：(除 CA 外)CD、CE、CB 共 3 条以 D 为一端的线段有：(除 DC、DA 外)DE、DB 共 2 条以 E 为一端的线段有：(除 ED、EC、EA 外)EB 共 1 条共有线段1+2+3+4=10(条)注意：3 个点时，是从1 加到 4，因此如果是 n个点，则共有线段1+2+3+,+n+1=nn211=2)2(nn条八、抽屉原则1，4 个苹果放进3 个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2 个（即等于或多于2 个）；如果 7 个苹果放进3 个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于 3 个（即的等于或多于3 个），这就是抽屉原则的例子。2，如果用nm表示不小于nm的最小整数，例如37 3，236。那么抽屉原则可定义为：m 个元素分成n 个集合（m、n 为正整数mn）,则至少有一个集合里元素不少于nm个。3，根据nm的定义，己知m、n可求nm；己知nm，则可求nm的范围，例如己知nm 3，那么 2nm?3；己知3x 2，则 13x?2，即 3x?6，x 有最小整数值4 九、一元一次方程解的讨论1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x 60，x（x-1）=0,|x|=6,0 x=0,0 x=2 的解分别是：x=3,x=0 或 x=1,x=6,所有的数，无解。2，关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a0 时，有唯一的解x=ab；当 a=0 且 b0 时，无解；当 a=0 且 b0 时，有无数多解。（不论x 取什么值，0 x0 都成立）3,求方程 ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当 a b 时，方程有整数解；当 a b，且 a、b 同号时，方程有正整数解；当 a、b 同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 十、二元一次方程的整数解1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b实为它们的绝对值。2，二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1 的整数解解：x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数），则 y=1-5k(2),把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2 原方程所有的整数解是kykx51211（k 是整数）方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）3，求二元一次方程的正整数解：出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值用观察法直接写出。十一、二元一次方程组解的讨论1 二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（两个方程等效）当212121ccbbaa时，方程组无解。（两个方程是矛盾的）当2121bbaa（即 a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解：1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得）2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。十二、用交集解题1 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6 的正约数集合记作 6 的正约数1，2，3，6，它有4 个元素 1，2，3，6；除以3 余 1的正整数集合是个无限集，记作除以3 余 1 的正整数1，4，7，10,，它的个元素有无数多个。2 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如 6 的正约数集合A 1，2，3，6，