半群O_n-([l,m])的格林（星）关系及富足性_张心茹.pdf

常熟理工学院学报（自然科学）Journal of Changshu Institute of Technology（Natural Sciences）第 37 卷第 2 期2023 年 3 月Vol.37 No.2Mar.,2023半群O l，m 的格林（星）关系及富足性 张心茹，罗永贵（贵州师范大学 数学科学学院，贵阳 550025）摘要：设On是有限链Xn上的保序变换半群，对任意1lmn，令 ，易证半群mxlXxOOnnmln=,:,是 On的子半群，刻画了半群mxlXxOOnnmln=,:,的格林关系和正则元的特征，进一步获得了半群mxlXxOOnnmln=,:,的星格林关系及非正则富足性关键词：变换半群；保序；格林（星）关系；富足性中图分类号：O152.7 文献标志码：A 文章编号：1008-2794（2023）02-0109-06收稿日期：2022-06-08基金项目：贵州师范大学学术基金项目“F-型（变换）半群及子半群的若干研究”（黔师新苗 2021 B08 号）通信作者：罗永贵，副教授,硕士生导师，研究方向：半群代数理论，E-mail：0 引言与准备设 S 是一个半群，若半群 S 有单位元 e，使得对任意的 aS 有 ea=ae=a，则称 S 是一个幺半群，常用 1 表示单位元 设 S 是半群，记 S1=S1，若 S 有单位元，则 S1=S 若 S 没有单位元，在 S1中补充定义运算：对任意的 aS1，a1=1a=a，则 S1是幺半群，1 是 S1的单位元，S 是 S1的子半群 对任意的 a，bS，如果 a，b 所生成的主左理想相等，即 S1a=S1b，则称 a，b 有 L 关系，记为 aLb；如果 a，b 所生成的主右理想相等，即 aS1=bS1，则称a，b 有 R 关系，记为 aRb；如果 a，b 所生成的主理想相等，即 S1aS1=S1bS1，则称 a，b 有 J 关系，记为 aJb；如果 a，b 既有 L 关系又有 R 关系，则称 a，b 有 H 关系，记为 H=LR 记 D 是 L 并 R 的上确界，即 D=LR 易见 L，R，J，H，D五个关系都是半群S上的等价关系，将上述五个关系统称为半群S上的格林等价关系 令S是一个半群 a，bS，(a，b)L*，当且仅当在 S 的一个过半群 M 上(a，b)L；(a，b)R*当且仅当在 S 的一个过半群M 上(a，b)R；(a，b)J*当且仅当包含 a，b 且被 L*和 R*渗透的最小理想相等 另外，H*=L*R*=L*R*，D*=L*R*.可见L*，R*，J*，H*，D*五个关系都是半群S上的等价关系，将上述五个关系统称为半群S上的星格林关系 记元素 aS 所在的 L*，R*，J*，H*和 D*-类分别为 La*，Ra*，J a*，Ha*和 Da*设 S 是半群，对任意的 aS，若存在 bS 使得 aba=a，则称 a 为半群 S 的正则元，半群 S 中的所有正则元之集记为 Reg(S)；对任意的 eS，若 e2=e，则称 e 为半群 S 的幂等元，半群 S 中的所有幂等元之集记为 E(S)显然，半群 S 中的幂等元一定是正则元，但正则元不一定是幂等元 若 S 的每个 L*-类和 R*-类都包含一个幂等元，则称 S 是富足半群关于格林（星）关系及正则元的研究是变换半群研究的热点之一 1-4 文献 1 将格林等价关系进行推广，获得了各种广义的格林关系，并且阐述了格林关系的来龙去脉 文献3刻画了半群Pn(k)的正则元特征及格林关系 文献 4 给出了半群的格林星关系及富足半群的定义 本文主要考虑保序变换半群 On的子半群mxlXxOOnnmln=,:,，刻画了半群的正则元、格林关系，并研究了半群的星格林关系及富足性nmxlXxOOnnmln=,:,DOI:10.16101/32-1749/z.2023.02.019常熟理工学院学报（自然科学）2023 年110设 Xn=1，2，n 并赋予自然序，Tn和 Sn分别是 Xn上的全变换半群和对称群，记 Singn=Tn Sn，则 Singn是 Tn的子半群，称 Singn为奇异变换半群 对任意的 l，mXn，Tn，记 l，m=xXn:lxm，l，m 是 Xn的非空子集 设 Singn，对任意的 x，yXn，x yx y，则称 是保序的 设 On是 Singn中所有保序变换半群之集，则 On是 Singn的子半群，并称 On为 Xn上的保序变换半群 令则容易验证mxlXxOOnnmln=,:,是 On的子半群且 设 ，im()和 dom()分别表示 的象集和原象集 令ker()=(x，y)XnXn:x=y，则 ker()是 dom()上的等价关系为方便起见，引入下列符号，对任意的1lmn，任取 ，令im()l，m xdom():lxm设 ，且|im()|=|im()|，令其中 A1，A2，Ar和 B1，B2，Br都是 Xn上的 r 划分，且 l12rm，lb1b2brm文中未定义的符号及术语参见文献 5-61 半群 的正则性定理 1 设 ，则 是正则元当且仅当 证明 假设 是正则元，则存在 使得=任意取 ，则 x=x-1-(x-1)=(x)，从而xdom()且 xx-1 由 可知，lxm，于是由 可得 lxm，从而 xx-1 l，m，即 x-1 l，m 进而，再由 x 的任意性可得 显然，因此 反之，若 ，不妨设其中 且 l12lm令其中 bi=minAi，lir，则=为证明 是正则元，只需证明 注意到 dom()=a1，a2，ar 任意取 xdom()，则存在 t1，2，r，使得 x=at 若 lat=xm，于是 ，从而 at-1 l，m，即 At l，m 进而可推出 lbt=minAtm因此，lx=at=btm，定理 2 设 n3，则 是正则半群当且仅当 l=1，m=n证明 若 l=1，2 m n-1，令 ，则显然 且 不是正则的因此，不是正则半群；若任意取 2 l n-1，m=n，令 ，则显然 且 不是正则的因mxlXxOOnnmln=,:,nnnOO=,1,mlnO,mlnO=,:1,mlxxmlml=,ml=,ml,mlnO,mlml=,mlml=|=+rmmllrmmllaaaaaaaAAAAAAA11211121|=+rmmllrmmllbbbbbbbBBBBBBB11211121lmlaaa,21,=mllmlaaaaa,121,+=lmlbbb,21,=mllmlbbbbb,121,+=,mlml=,mlnO,mlnO,mlx,mlx,mlnO,mlnO,mlx,mlml,mlml,mlml=,mlml=|=+rmmllrmmllaaaaaaaAAAAAAA11211121lmlmlaaa,21,=|=+rmmllrmmllbbbbbbbaaaaaaa11211121,mlmlta=,mlnO,mlnO,mlnO,mlnO|=mn211321,mlnO,mlnO|+=mmlllnn1211321，第 2 期111张心茹，等：半群 的格林（星）关系及富足性,mlnO此，,mlnO不是正则半群任意取,mlnO，则由 的定义知，=im()，从而由定理1知，是正则的 因此，是正则半群推论 1 3 设 是正则元，且 im()=im()，则 证明 由 im()=im()可得，从而由，是正则元及定理 1 可得 推论 2 3 设 是正则元，且 ker()=ker()，则 证明 任意取 ，则 l xa m，从而 由定理 1 可得，从而存在 y l，m 使得 y(x)-1，即 x=y.注意到 x,y(x)-1由 ker()=ker()且 可得 lx=y m，从而，由 x 的任意性可知 同理可证 因此，2 半群 的格林关系主要考虑半群 上的 L，R，D 关系引理 1 设 S 是周期半群，则在 S 上 D=J，特别强调有限半群是周期定理 3 设任意的 ，则(，)L，当且仅当 im()=im()且 证明 假设(，)L，则存在 使得=，=于是 im()=im()im()，同理有 im()=im()im()因此，im()=im()且 对任意 ，若 ，则 y-1 l，m，于是存在 s l，m，使得 sy-1，即 s=y，从而 y=s=s()进而 sdom()且 sy-1由 s l，m 且 可知，lsm，于是 sy-1 l，m，即 y-1 l，m，从而 由 y 的任意性可得，同理可证 因此，反之，设任意的 ，im()=im()且 不妨设其中 且 la1a2 alm令其中 ai*=minBi，aj=minAi，1 i，j r显然有=，=为证明(，)L，只需证 注意到dom()=dom()且 dom()=dom()任意取 xdom()，若 l x m，则由 可得 lx m，于是 x ，从而由 x(x)-1 l，m 可得 由 可得 ，于是(x)-1 l，m，从而lx=min(x)-1m因此，同理可证 定理 4 设任意的 ，则(，)R，当且仅当 ker()=ker()且 证明 假设(，)R，则存在 使得=，=于是对任意的(x，y)ker()，有 x=y，则x=x()=y()=y，从而(x，y)ker()，进而有ker()ker()，同理可得ker()ker()因此，ker()=ker()任意取 ，则lxm，于是由 可得lx=(x)m，从而 由x的任意性可得 同理可证，因此，反之，设任意的 ，ker()=ker()且 不妨设,mlnO,mlnO,mlnO,1,1,nn,1,1nn=,1 nnO,mlnO,mlnO,mlnO,mlnO,mlml=,mlml=,mlml=,mlml=,mlml=,mlnO,mlml=,mlx,mlxx,mlml=,mlnO,mlx,mlml,mlml,mlml,mlml,mlml,mlml,mlml=()1,mlnO()1,mlnO)(,mlmly,mly,mly,mlml,mlml,mlml=,mlml=|=+rmmllrmmllaaaaaaaAAAAAAA11211121|=+rmmllrmmllaaaaaaaAAAAAAA11211121|=+rmmllrmmllaaaaaaaBBBBBBB11211121lmlmlaaa,21,=|=+*11211121rmmllaaaaaaaAAAAAAArmmll|=+rmmllrmmllaaaaaaaBBBBBBB11211121,mlnO,ml,mlx,mlml=,mlx()1,mlnO()1,mlnO,mlnO,mlml=()1,mlnO,mlx()1,mlnO,mlx,mlml,mlml,mlml=,mlml=,mlnO，常熟理工学院学报（自然科学）2023 年112其中 且 la1a2 alm，l b1 b2 blm令显然=，=为证明(，)R，只需证 注意到 dom()=b1,b2,br任意取 xdom()，则存在 t1,2,r 使得 x=bt 若 lxm，则 lAt=bt=xm，于是 ，从而由 可得 ，进而，lat=Atm因此，lx=bt=atm故 得证同理可证 因此，(，)R定理 5 设任意的 ，则(，)D，当且仅当|im()|=|im()|，证明 设(，)D，则存在 ，使得(，)R 且(，)L由定理 3 及定理 4 得 im()=im()且 ，ker()=ker()且 ，从而|im()|=|im()|=|dom()ker()|=|dom()ker()|=|im()|由 im()=im()，得 于是 ，又 ker()=ker()且 ，则 ，因此，反之，设任意的 且|im()|=|im()|，不妨设显然 ，并且 im()=im()且 ，ker()=ker()，由定理 3 及定理 4 知(，)L，(，)R因此，(，)D由推论 1，2 及定理 3，4，5 易得以下结论：推论 3 设 是正则元，则 L，当且仅当 im()=im()；R，当且仅当 ker()=ker()；D，当且仅当|im()|=|im()|且 证明 显然必要性成立，故只需证充分性 设