半群的n维区间值模糊子半群_宋爱丽.pdf

第 卷第 期 年 月南京师大学报（自然科学版）（）.，收稿日期：基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金项目（）通讯作者：宋爱丽，副教授，研究方向：模糊子代数研究：半群的 维区间值模糊子半群宋爱丽，王丰效（喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什）摘要 半群的模糊子半群是半群模糊理论的一个重要研究领域 结合 维模糊集和区间值模糊集的概念引入了 维区间值模糊集的概念，并应用于半群，引入了半群的 维区间值模糊子半群的概念 讨论了半群的 维区间值模糊子半群的基本性质 给出了半群的 维区间值模糊子半群与区间值模糊子半群及半群的子半群的关系 证明了半群的 维区间值模糊子半群的交和直积仍然是 维区间值模糊子半群关键词 半群，维模糊集，区间值模糊集，维区间值模糊子半群，直积中图分类号 文献标志码 文章编号（），（，）：，：，作为经典模糊集的推广，双极值模糊集、直觉模糊集和区间值模糊集的概念被提出，丰富了模糊集的相关理论 随后，双极值模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集等理论被广泛应用于代数系统，如群、半群、环、坡代数、（，）代数、代数等代数系统 文献引入了 维模糊集的概念，讨论了它的相关性质和运算 文献将模糊集应用于半群，研究了半群的几类模糊理想的特征 文献详细介绍了模糊半群理论 文献分别讨论了半群的区间值模糊子半群、区间值直觉模糊子半群、区间值模糊理想、区间值直觉模糊理想的相关特性 作为模糊子半群和模糊理想的推广，带限度（，）的模糊子半群和模糊理想被应用于半群等代数系统 本文结合 维模糊集和区间值模糊集的概念，给出了 维区间值模糊集的概念，并将 维区间值模糊集的概念应用于半群，引入了半群的 维区间值模糊子半群的概念，并讨论了它的相关特性 预备知识为了讨论方便，先给出双极值模糊集等的相关概念非空集 的区间值模糊集记为（），：，其中，是区间，的子区间 对于任意，规定宋爱丽，等：半群的 维区间值模糊子半群（，），（，），（，），（，），当且仅当，定义 假设 是非空集合，令（，），称：为 上的 维模糊集定义 半群 上的模糊集 称为模糊子半群，如果对任意，有（）（），（）定义 半群 上的模糊集 称为区间值模糊子半群，如果对任意，有（）（）（）定义 半群 上的 维模糊集（，）称为 维模糊子半群，如果对任意，有（）（）（），即就是（）（）（），半群的 维区间值模糊子半群定义 假设 是非空集，集合（，），其中，称?：为非空集 上的 维区间值模糊集由定义 可知，维区间值模糊集就是通常的区间值模糊集 如果区间（，）退化成一个数，则 维区间值模糊集就是 维区间值模糊集 因此 维区间值模糊集既是区间值模糊集的推广，又是 维模糊集的推广为了方便起见，用?（，）表示 维区间值模糊集，并规定 维区间值模糊集的基本运算如下：假设?（，）和?（，）是非空集 上的 维区间值模糊集，规定：（）?，（）?（，），?（，）定义 假设?（，）是半群 上的 维区间值模糊集，如果对任意，有?（）?（）?（），即就是（）（）（），则称?（，）是半群 的 维区间值模糊子半群由定义 可知，如果?（，）是半群 的 维区间值模糊子半群，则，都是半群 的区间值模糊子半群定理 假设，都是半群 的区间值模糊子半群，且，则 维区间值模糊集?（，）是半群 的 维区间值模糊子半群例 假设，的二元运算 如下表：则（，）是半群 定义 的 维区间值模糊?为?（）（，），?（）（，），?（）（，），?（）（，）通过简单计算验证可知，?为 上的 维区间值模糊子半群定义 的 维区间值模糊集?为?（）（，），?（）（，），?（）（，），?（）（，）南京师大学报（自然科学版）第 卷第 期（年）则?不是 的 维区间值模糊子半群，这是由于?（）?（）?（）定理 假设?（，）是半群 上的 维区间值模糊集，则?（，）是半群 的 维区间值模糊子半群的充分必要条件是?（，）和?（，）都是半群 的 维模糊子半群 这里，证明 若?是半群 的 维区间值模糊子半群，则对于任意，有?（）?（）?（），也就是（），（）（）（）（）（），（）（），（）从而对任意，有（）（）（），（）（）（），因此?（，）和?（，）都是半群 的 维模糊子半群反过来，如果?（，）和?（，）都是半群 的 维模糊子半群，则对于任意，有（）（）（），（）（）（）因此?（）?（）?（）又由于，从而?（，）是半群 上的 维区间值模糊集 故?（，）是半群 上的 维区间值模糊子半群命题 设?（，）（，）是半群 上的 维区间值模糊子半群 记，则半群 上的 维区间值模糊集?（，）（，），?（，）也是半群 上的 维区间值模糊子半群命题 假设?（，）是半群 上的 维区间值模糊子半群，则?（，）是半群 的 维区间值模糊子半群（）这里，是，中按顺序任选的 个定理 半群 上的 维区间值模糊集?（，）是 维区间值模糊子半群的充分必要条件是对任意，非空集（?，）?（）是半群 的子半群证明（必要性）如果?（，）是半群 的 维区间值模糊子半群，对任意的，有?（）?（）?（）若，（?，），则?（），?（），从而?（）?（）?（）即就是（?，）故非空集（?，）?（）是半群 的子半群（充分性）设非空集（?，）是半群 的子半群 如果存在，使得?（）?（）?（）选择 使得?（）?（）?（）从而，（?，），但是（?，），这与非空集（?，）是 的子半群矛盾 因此，对任意，都有?（）?（）?（）所以?是半群 的 维区间值模糊子半群定理 若?和?都是半群 的 维区间值模糊子半群，则?和?的交?也是半群 的 维区间值模糊子半群 这里（?）（）?（）?（）证明 由?和?的交?的定义可知，两个 维区间值模糊集的交仍然是 维区间值模糊集 如果?和?都是半群 的 维区间值模糊子半群，则对于任意的，有?（）?（）?（），?（）?（）?（），因此（?）（）?（）?（）（?（）?（）（?（）?（）（?（）?（）（?（）?（）（?）（）（?）（）因此?也是半群 的 维区间值模糊子半群设 是半群 的非空子集，定义半群 的 维区间值模糊集?为?（），（）；?（）（，），（）定理 设 是半群 的非空子集，则?为半群 的 维区间值模糊子半群的充分必要条件是非空集宋爱丽，等：半群的 维区间值模糊子半群 是半群 的子半群证明 若?为半群 的 维区间值模糊子半群，则对于任意的，?（）?（）?（）对于任意的，有?（），?（）从而?（）?（）?（），也就是说?（），即 故 是半群 的子半群反过来，若 是半群 的非空子集 如果，则，从而?（）?（）?（）如果 或者，则?（）（，）或者?（）（，）因此?（）（，）?（）?（）因此?为半群 的 维区间值模糊子半群命题 设 是半群 的子半群，则一定存在半群 的 维区间值模糊子半群?，它的水平截集满足（?，）?（），下面，我们讨论半群的 维区间值模糊子半群直积的性质 假设 和 是两个半群，定义 上的二元运算（，）（，）（，），（，），（，），则 也是半群 如果?和?分别是 和 上的 维区间值模糊集，定义 上的 维区间值模糊集?为（?）（，）?（）?（），（，）定理 假设?和?分别是半群 和 上的 维区间值模糊子半群，则?是半群 的 维区间值模糊子半群证明 对于任意的（，），（，），有（?）（，）（，）（?）（，）由于?和?分别是半群 和 上的 维区间值模糊子半群，因此?（）?（）?（），?（）?（）?（），（?）（，）（，）（?）（，）（?（）?（）（?（）?（）（?（）?（）（?（）?（）（?）（，）（?）（，）因此?是半群 的 维区间值模糊子半群命题 假设?和?是半群 的 维区间值模糊子半群，则?是半群 的 维区间值模糊子半群定理 假设?是半群 的 维区间值模糊子半群，则?和?分别是半群的 和 的 维区间值模糊子半群 这里?（）（?）（，），?（）（?）（，）证明 假设?是半群 的 维区间值模糊子半群，则对于任意（，），（，），有（?）（，）（，）（?）（，）（?）（，）因此?（）（?）（，）（?）（，），（?）（，）（，），?（，）?（，），?（，）?（，）?（）?（），?（）（?）（，）（?）（，），（?）（，）（，），?（，）?（，），?（，）?（，）?（）?（）因此?和?分别是半群的 和 的 维区间值模糊子半群定理 假设 是半群 的自同态，?是半群 的 维区间值模糊子半群，则?也是半群 的 维区间值模糊子半群 这里?（）?（）证明 设 是半群 的自同态，则对于任意，有（）（）（）?是半群 的 维区间值模糊子半群，从而?（）?（）?（）（）?（）?（）?（）?（）由定义 可知?也是半群 的 维区间值模糊子半群南京师大学报（自然科学版）第 卷第 期（年）定理 假设：是半群 到 的满同态 如果?是半群 的 维区间值模糊集 则?是半群 的 维区间值模糊子半群的充分必要条件是?是半群 的 维区间值模糊子半群证明 对于任意的，存在，使得（），（）假设?是半群 的 维区间值模糊子半群，则?（）?（）?（），因此?（）?（）（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）故?是半群 的 维区间值模糊子半群反过来，对于任意的，存在，使得（），（）假设?是半群 的 维区间值模糊子半群，则?（）?（）?（）因此?（）?（）?（）（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）?（），所以?是半群 的 维区间值模糊子半群定理 假设：是半群 到 的满同态 如果?是半群 的 维区间值模糊子半群，则（?）是半群 的 维区间值模糊子半群 这里（?）（）?（）（）证明 假设：是半群 到 的满同态，则对于，存在，使得（），（）由于?是半群 的 维区间值模糊子半群，因此（?）（）?（）（）?（）（）（）?（）（），（）?（）?（）（），（）（?（）（）（?（）（）（?）（）（?）（），所以（?）是半群 的 维区间值模糊子半群 结论本文引入了半群的 维区间值模糊子半群的概念，并研究了它的一些重要性质 这些定义和主要结果可以类似地推广到其他一些代数系统，如 代数、代数和李代数 本文的研究工作能为进一步研究半群理论奠定基础参考文献 ，：，：王丰效 半群的（，）区间值模糊双理想 吉林大学学报（自然科学版），（）：，（）：，（）：，：，：，（）：，：（下转第 页）袁明霞，等：由 布朗运动驱动的具有一致连续性生成元的 的解的极限定理 ，：，：，：（）责任编辑：陆炳新（上接第 页），：，：，（，），：，：，：，：责任编辑：陆炳新