Hom-3-Lie代数上的积结构和复结构_秦宇帆.pdf

第 30 卷第 2 期2023 年 4 月海南热带海洋学院学报Journal of Hainan Tropical Ocean UniversityVol 30 No 2Apr 2023收稿日期:2023 01 13基金项目:国家自然科学基金青年科学基金项目(12201624)第一作者:秦宇帆，女，山西运城人，助教，硕士，研究方向为李代数。通信作者:林洁，女，天津人，副教授，博士，研究方向为李理论中 3 元代数系统。Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构秦宇帆1，林洁2a，姜敬敬2b(1 新疆理工学院 理学院，新疆 阿克苏 843100;2 中国民航大学 a 中欧航空工程师学院;b 理学院，天津 300300)摘要:为了研究 Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构，利用类似于研究3-Lie 代数的方法及相关 Lie 代数理论，给出了 Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构存在的充要条件，得到了 4 类特殊的积结构和复结构，并在积结构和复结构间加了一个相容性条件，从而引进了 Hom-3-Lie 代数上的复积结构。关键词:Hom-3-Lie 代数;Hom-Nijenhuis 算子;积结构;复结构;复积结构中图分类号:O152 5文献标识码:A文章编号:2096 3122(2023)02 0101 08DOI:10 13307/j issn 2096 3122 2023 02 120引言1985 年，Filippov1 引进了 n-Lie 代数。n 元 Lie 积是 n-线性、反对称的，并且满足一个广义的 Jacobi 恒等式。1973 年，Nambu2 引进了 Nambu 括号，Nambu 括号在物理领域应用广泛。当 n=3 时，3 元 Lie 积是Nambu 括号的一种特殊情形，3-Lie 代数应用于多重 M2-膜的 world-volume 理论的超对称和正规对称变换的研究，而且 3-Lie 代数在数学、数学物理的很多领域扮演重要角色3 4。Hom-3-Lie 代数5 是一类 Hom-型代数，是在 3-Lie 代数的基础上通过变形得到的。Hom-3-Lie 代数是由一个向量空间 g，一个线性映射 gg 和一个 3 元斜对称运算，g组成的，其中这个 3 元斜对称运算满足一个 Hom-Jacobi 恒等式。当 =I(恒等变换)时，Hom-Jacobi 恒等式变为普通的 Jacobi 恒等式，并且(g，g)是一个 3-Lie 代数。这些结构在代数、几何和数学物理等领域有重要作用6 7。Lie 代数上的 Nijenhuis 算子可以生成它的平凡形变，并且在非线性演化方程的可积性研究中起重要作用8。2016 年 Liu 等9 给出了 n-Lie 代数上的 Nijenhuis 算子。2019 年 Song 等10 给出了 n-Hom-Lie 代数上的 Hom-Nijenhuis 算子。而 Lie 代数上的积结构和复结构可以看成是特殊的 Nijenhuis 算子，许多学者在这方面做了系统的研究11 15。特别地，Sheng 等学者16 引进了 3-Lie 代数上的(几乎)积结构和(几乎)复结构。Peyghan 等17 研究了 Hom-Lie 代数上的(几乎)积结构和(几乎)复结构;他们随后在积结构和复结构间添加一个相容性条件，引进复积结构16 17。本研究使用的向量空间都是特征 0 的代数闭域上的向量空间，目的是类比 3-Lie 代数方法研究 Hom-3-Lie 代数上的积结构、复结构和复积结构。1 预备知识下面介绍用到的基本概念和结论。定义 16 377设 g 是向量空间，g g g gg 是 3 线性斜对称运算，gg 是线性映射且对任意 x，y，u，v，wg 有(x)，(y)，u，v，wgg=x，y，ug，(v)，(w)g+(u)，x，y，vg，(w)g+(u)，(v)，x，y，wgg，101第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报则称(g，g，)是 Hom-3-Lie 代数，称上述等式是 Hom-Jacobi 恒等式。若还满足 2=I，则称(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数;若对x，y，zg 有(x，y，z)g)=(x)，(y)，(z)，g，则称(g，g，)是保积 Hom-3-Lie 代数。定义26 377设(g，g，)是 Hom-3-Lie 代数，L 是 g 的在 下不变的子空间，若对任意 u，v，wL 有 u，v，wLL，则称 L 是 g 的 Hom-3-Lie 子代数。定义 310 74设(g，g，)是 Hom-3-Lie 代数，N gg 是一个线性映射。若有N =N，且对任意 x，y，zg，有(N )(x)，(N )(y)，(N )(z)g=(N )(N )(x)，(N )(y)，zg)+(N )(x，(N )(y)，(N )(z)g)+(N )(N )(x)，y，(N )(z)g)(N )2(N )(x)，y，zg(N )2(x，(N )(y)，zg)(N )2(x，y，(N )(z)g)，则称 N 是 Hom-Nijenhuis 算子。2 Hom-3-Lie 代数上的积结构本章中，首先类似于 3-Lie 代数，引进了对合 Hom-3-Lie 代数上的积结构的概念;然后给出了积结构存在的一个充要条件;最后分别研究了 4 类特殊的积结构:严格积结构、abelian 积结构、强 abelian 积结构和完全积结构。定义 4设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，E 是 g 上的线性映射。如果 E 满足 E2=I(E aI)和 E =E，则称 E 是(g，g，)上的几乎积结构。设 E 是(g，g，)上的几乎积结构，如果对任意 x，y，zg 有(E )(x，y，zg)=(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)，(1)则称 E 是(g，g，)上的积结构。注 1对合 Hom-3-Lie 代数上的积结构恰好是满足(N )2=I 的 Hom-Nijenhuis 算子。定理 1设(g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则(g，g，)有积结构当且仅当 g有分解:g=g+g，其中 g+，g是 g 的子代数。证明设 E 是(g，)上的积结构。由(E )2=I 有 g=g+g，其中 g+，g分别是E 的对应于特征值 1 和 1 的特征子空间。对任意 x，y，zg+有(E )(x，y，zg)=(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)=4 x，y，zg3(E )(x，y，zg)，此外，由 E =E 知 E (x)=E(x)=(x)因此有(x，y，zgg+，(x)g+，这意味着g+是 g 的子代数。类似地，可证明 g是 g 的子代数。反过来，假设 E 是由下式定义的 g 上的自同态:(E )(x+y)=x y(xg+，yg)，(2)则显然有(E )2=I。由 g+，g是 g 的子空间可知 E(x+y)=(E )(x+y)=x y=(E )(x+y)，所以有 E =E，从而有 E2=I。另外对任意有 x，y，zg+有(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)+201秦宇帆等:Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构2023 年第 2 期(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=4 x，y，zg3(E )(x，y，zg)=(E )(x，y，zg)，这意味着对任意 x，y，zg+有式(1)成立。类似地，可证明对任意 x，y，zg也有式(1)成立。因此，E 是(g，)上的积结构。接下来，主要研究 Hom-3-Lie 代数上的4 类特殊积结构:严格积结构，abelian 积结构，强 abelian 积结构和完全积结构。命题 1设 E 是对合 Hom-3-Lie 代数(g，)上的几乎积结构。若 E 满足(E )(x，y，zg)=(E )(x)，y，zg(x，y，zg)，(3)则 E 是(g，)上的满足 g+，g+，gg=0 和 g，g，g+g=0 的积结构。证明由式(3)和(E )2=I 有(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )2(x)，(E )(y)，zg)(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g)(E )2(x)，y，(E )(z)g)+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=(E )(x，y，zg)，因此，E 是(g，)上的积结构。对任意 x1，x2g+，y1g，一方面，有(E )(x1，x2，y1g=(E )(x1)，x2，y1g=x1，x2，y1g;另一方面，(E )(x1，x2，y1g)=(E )(y1，x1，x2g)=(E )(E )(y1)，x1，x2g=x1，x2，y1g;因此得到 g+，g+，gg=0。类似地有 g，g，g+g=0。定义 5如果对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构 E 满足式(3)，那么称 E 为(g，g，)上的严格积结构。推论 1设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在严格积结构当且仅当 g 有分解:g=g+g，其中 g+和 g是 g 的子代数使得 g+，g+，gg=0 和 g，g，g+g=0。命题 2设 E 是对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构。若对任意 x，y，zg 有 x，y，zg=x，(E )(y)，(E )(z)g (E )(x)，(E )(y)，zg(E )(x)，y，(E )(z)g，(4)则 E 是(g，g，)上的积结构。证明由式(4)和(E )2=I 可知(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=(E )(x)，(E )2(y)，(E )2(z)g(E )2(x)，(E )(y)，(E )2(z)g)(E )2(x)，(E )2(y)，zg)+(E )(x)，y，zg)+x，(E )(y)，zg)+x，y，(E )(z)g+(E )x，y，zg=(E )x，y，zg，因此 E 是(g，g，)上的积结构。定义 6如果对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构 E 满足式(4)，则称 E 为(g，g，)上的 abelian 积结构。推论 2设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在 abelian 积结构当且仅当 g 有分解:g=g+g，其中 g+和 g是的 abelian 子代数。证明设 E 是(g，g，)上的 abelian 积结构，对任意 x，y，zg+有 x，y，zg=x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(x)，(E )(y)，zg301第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报(E )(x)，y，(E )(z)g)=3 x，y，zg，这意味着 x，y，zg=0。类