2023届吉林市第一中学高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足,则(　　) A． B． C． D． 2．设为的两个零点，且的最小值为1，则（ ） A． B． C． D． 3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A． B． C． D． 4．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为 A．1 B． C． D． 6．设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为 A．8 B．16 C．24 D．36 7．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．①②④ 9．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ） A．正相关，相关系数的值为 B．负相关，相关系数的值为 C．负相关，相关系数的值为 D．正相关，相关负数的值为 10．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( ) A．3 B．2 C．4 D．5 11．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b c 其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（ ） A． B． C． D． 12．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．满足约束条件的目标函数的最小值是 . 14．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝_______． 15．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________. 16．点到直线的距离为________ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积； （2）化简求值：． 18．（12分）已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， （ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ⅱ）当取最小值时，求点的坐标． 19．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由. 20．（12分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为”. （1）当时，记，求的分布列及数学期望； （2）当，时，求且的概率. 21．（12分）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【题目详解】 解：由，得， ∴． 故选C． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2、A 【答案解析】 先化简已知得,再根据题意得出f（x）的最小值正周期T为1×2，再求出ω的值． 【题目详解】 由题得, 设x1，x2为f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的两个零点，且的最小值为1， ∴=1，解得T=2； ∴=2， 解得ω=π． 故选A． 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 3、D 【答案解析】 根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【题目详解】 . 故选:D. 【答案点睛】 本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 4、D 【答案解析】 由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【题目详解】 函数的图象上两点，关于直线的对称点在上， 即曲线与有两个公共点， 即方程有两解， 即有两解， 令， 则， 则当时，；当时，， 故时取得极大值，也即为最大值， 当时，；当时，， 所以满足条件． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 5、C 【答案解析】 根据抛物线定义，可得，， 又，所以，所以， 设，则，则， 所以，所以直线的斜率．故选C． 6、B 【答案解析】 方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B． 方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B． 7、D 【答案解析】 根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案. 【题目详解】 解：根据题意，函数在上单调递增， 当，若为增函数，则①， 当， 若为增函数，必有在上恒成立， 变形可得：， 又由，可得在上单调递减，则， 若在上恒成立，则有②， 若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值， 则需有，③ 联立①②③可得：. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 8、D 【答案解析】 求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案. 【题目详解】 解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心到直线的距离为：， ∴， 而，与的面积相等， ∴或， 即到直线的距离或时满足条件， 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式. 9、C 【答案解析】 根据正负相关的概念判断． 【题目详解】 由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础． 10、A 【答案解析】 根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值. 【题目详解】 ，，对任意的，存在实数满足，使得， 易得，即恒成立， ，对于恒成立, 设，则， 令，在恒成立， ， 故存在，使得，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ,将代入得： ， ，且， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 11、D 【答案解析】 根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论. 【题目详解】 由X的分布列可得X的期望为, 又, 所以X的方差 , 因为,所以当且仅当时,取最大值, 又对所有成立, 所以,解得, 故选:D. 【答案点睛】 本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题. 12、C 【答案解析】 将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解. 【题目详解】 将四面体沿着劈开，展开后如下图所示： 最短路径就是的边． 易求得， 由，知 ， 由余弦定理知 其中， ∴ 故选：C 【答案点睛】 本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、-2 【答案解析】 可行域是如图的菱形ABCD， 代入计算， 知为最小. 14、3 【答案解析】 双曲线的焦点在轴上，渐近线为，结合渐近线方程为可求. 【题目详解】 因为双曲线(a＞0)的渐近线为，且一条渐近线方程为， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15、 【答案解析】 根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值. 【题目详解】 由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长