Y形与Δ形电阻网络等效变换公式的推理记忆法_黄晓艳.pdf

在电路分析课程中，无源电阻单口网络等效化简是学生需要掌握的最重要的基本技能1-2。对于简单串联、并联或串并混联电阻网络的等效化简，学生一般都容易掌握，但对于复杂连接的电阻网络，则必须首先通过 Y 形、形电阻网络等效变换，这时，记忆两种网络之间等效变换的计算公式便成了解决问题的关键。图 1（a）和（b）分别表示 Y形和 形电阻网络，Y形与 形电阻网络等效变换公式的推理记忆法黄晓艳，王野，樊楼英，蒋伟丽（丽水学院 工学院，浙江 丽水 323000）摘要：提出了电阻 Y形网络和 形网络相互等效变换式的推理记忆法。具体推理步骤有量纲推理、电路结构类比推理和公平原则推理三个方面。特别在电路结构类比推理中指出电阻 Y 形网络和 形网络与简单电阻串联网络和并联网络具有对应相似性，有助于学生联想记忆。关键词：Y形网络；形网络；等效变换；推理记忆法doi：10.3969/j.issn.2095-3801.2023.02.018中图分类号：G421文献标志码：A文章编号：2095-3801（2023）02-0112-04An Inference Memory Method for Equivalent TransformationFormulae of Y and Resistor NetworksHUANGXiaoyan,WANGYe,FANLouying,JIANGWeili（School ofEngineering,Lishui University,Lishui 323000,Zhejiang）Abstract：An inference memory method is proposed for the equivalent transformation formulae of resistiveY-shaped network and-shaped network.The specific inference steps include dimension reasoning,circuitstructure analogyreasoningand fair principle reasoning.It is pointed out,especially in the circuit structure analogyreasoning,that the resistance Y network and the network have similarities with the simple resistance seriesnetwork and the parallel network respectively,which is helpful for students associate memory.Key words：Y-shaped network；-shaped network；equivalent transformation；inference memorymethod收稿日期：2021-11-30；修回日期：2022-03-09作者简介：黄晓艳，女，浙江丽水人，副教授，硕士。丽 水 学 院 学 报JOURNAL OF LISHUI UNIVERSITY第 45 卷第 2 期Vol.45No.22023 年 3 月Mar.2023将 Y形网络等效为 形网络的变化公式为R12=R1R2+R2R3+R3R1R3R23=R1R2+R2R3+R3R1R1R31=R1R2+R2R3+R3R1R2，（1）将 形网络等效为 Y形网络的变化公式为R1=R31R12R12+R23+R31R2=R12R23R12+R23+R31R3=R23R31R12+R23+R31。（2）图 2两个电阻串联网络和并联网络图 1电阻 Y形网络和 形网络长时间记忆式（1）和式（2）的确不易，特别在具体电路中电阻元件编号发生变化时更容易出错。对此内容的教学探索与研究受到大家的关注3-5。笔者提出一种通过推理分析快速写出两种网络间等效变换计算式的方法，可以完全免去学生死记硬背公式。1变换式的推理记忆法1.1从量纲进行推理注意到计算式（1）和（2）都为分式，而计算前后均为电阻值，因此，计算式的量纲关系应为=2=电阻乘积项电阻。（3）即两种变换情况下，计算式分子均为电阻的乘积项，而分母为电阻值。由此推理，可得到变换式的一个基本特征。1.2从网络结构的类比进行推理两个电阻的串联和并联网络如图 2（a）和（b）所示。R1R2R3R31R12R23（a）（b）R1R2（a）（b）R1R2黄晓艳，王 野，樊楼英，等：Y形与 形电阻网络等效变换公式的推理记忆法第 2 期113比较图 2（a）和（b）两个电路可以发现，除网络两个对外连接端子外，图 2（a）内部有一个结点，而图 2（b）则没有；另一方面，图 2（b）内部有一个回路，而图 2（a）则没有。比较图 1（a）和（b）两个电路同样可以发现，除网络 3 个对外连接端子外，图 1（a）内部有一个结点，而图 1（b）则没有；相反，图 1（b）内部有一个回路，而图 1（a）则没有。由以上比较可以得出结论：电阻 Y 形网络与电阻串联网络相似，而电阻 形网络与电阻并联网络相似。设图 2（a）和（b）两个网络等效，且等效电阻为Ro，则有 R1、R2Ro，R1、R2Ro，从而有 R1、R2R1、R2。比如设 Ro=10 k，将两个电阻取等值，则R1=R2=5k，R1=R2=20k。即将电阻串联网络等效为电阻并联网络时电阻值增大，反之，将电阻并联网络等效为电阻串联网络时电阻值减小。利用相似性，可以推断，将 Y 形网络等效为 形网络时电阻值增大，反之，将 形网络等效为 Y形网络时电阻值减小。这一特征反映在变换公式中便是：将 Y 形网络等效为 形网络时，变换式的分子项数多，分母项数少。分子为 3 个乘积项，即 Y形网络中 3 个电阻两两相乘之和。这种组合是唯一的，对 形网络中 3 个电阻的计算式都一样。分母为一项，即 3 个电阻其中之一。故变换式统一为Rij=R1R2+R2R3+R3R1？（i，j=1，2，3，ij）。（4）将 形网络等效为 Y形网络时，变换式的分子项数少，分母项数多。分子为一个乘积项，分母为3 项，即 形网络中 3 个电阻之和。同样，这种组合是唯一的，对 形网络中 3 个电阻的计算式都一样。故变换式统一为Ri=？R12+R23+R31（i=1，2，3）。（5）1.3从公平原则推理通过结构类比推理，已经能够确定 Y 形网络等效为 形网络时，3 个电阻计算式的分子统一为 Y 形网络中 3 个电阻的两两乘积之和，即 R1R2+R2R3+R3R1，而计算式分母应选择 Y形网络中 3个电阻之一。这个电阻的选择可基于公平原则来推理。如计算 R12，它是结点和之间的电阻，显然接于 Y形网络中结点之间的电阻 R1和接于结点之间的电阻 R2具有同等优先级，选择两者中任意一个都对结点和有失公平，只有选择接于结点之间的电阻 R3才对结点和公平（平衡），因此有R12=R1R2+R2R3+R3R1R3。同理可根据公平原则推出计算 R23和 R31时计算式的分母电阻选择方法。Y 形网络等效为 形网络的电阻变换式可以统一表示为Rij=R1R2+R2R3+R3R1Rk（i，j，k=1，2，3，ijk）。（6）对于 形网络等效为 Y形网络时电阻的计算，结构类比推理已经确定了 3 个计算式分母统一为 形网络中 3 个电阻之和，即 R12+R23+R31，现在需要进一步确定计算式分子的一个电阻乘积项。确定分子乘积项同样可以基于公平原则。如计算 R1时，形网络中与结点连接的 R12和 R31具有相同优先级，只选择两者中之一与 R23相乘有失公平，只有同时选择它们两个组成乘积项才公平（对结点对称）。因此有R1=R31R12R12+R23+R31。同理可根据公平原则推出计算 R2和 R3时计算式分子电阻的选择方法。形网络等效为 Y形网络的电阻变换式可以统一表示为Ri=RijRikR12+R23+R31（i，j，k=1，2，3，ijk）。（7）丽 水 学 院 学 报2023 年114图 3例题图黄晓艳，王 野，樊楼英，等：Y形与 形电阻网络等效变换公式的推理记忆法第 2 期115其实，式（6）的分子和式（7）的分母也满足公平原则。2举例例 1求图 3（a）所示电路中的支路电流 i。解：图 3（a）中 6 个电阻之间不存在串、并联连接，不能直接等效化简。方法 1将 R2、R3、R4构成的 形网络等效为Y 形网络，结果如图 3（b）中 R7、R8、R9（注意：这一变换过程中需要增加结点）。等效变换后的 3 个电阻阻值变小，变换式分母为 形网络中 3 个电阻之和 R2+R3+R4=2+3+5=10，计算 R7时分子为与结点相连 2 个电阻 R2、R3的乘积 R2R3=23=6，R7=6210=0.6。同理 R8=2510=1，R9=3510=1.5。方法 2将图 3（a）中 R3、R4、R6构成的 Y 形网络等效为 形网络，结果如图 3（c）中 R10、R11、R12（注意：这一变换过程中结点被消去）。等效变换后的 3 个电阻阻值增大，变换式分子为 Y 形网络中 3 个电阻两两相乘之和 R3R4+R4R6+R6R3=35+52+23=312，计算 R10时分母为与结点相连的电阻 R6，R10=3122=15.5。同理R11=312310.3，R12=31256.0。图 3（b）和（c）均为电阻串并混联网络，进一步等效化简比较容易，后续求解过程不再赘述。3结语笔者从量纲、电路结构类比和公平原则 3 个方面，提出了电阻 Y形网络和 形网络相互等效变换式的推理记忆法，具体可表述：1）所有变换式分子均为电阻乘积项多项式，分母均为非乘积项多项式。2）将 Y形网络等效为 形网络时阻值增大。变换式分子为 3 项，统一为 Y 形网络中 3 个电阻两两相乘之和。变换式分母只有一项，为 Y形网络中3 个电阻之一，这个电阻选择要相对所计算电阻两端结点平衡。3）将 形网络等效为 Y形网络时阻值减小。变换式分母为 3 项，统一为 形网络中 3个电阻之和。变换式分子只有一项，为 形网络中两个电阻之积，这两个电阻要相对所计算电阻外接端子平衡。文中指出电阻 Y形网络和 形网络与电阻串联网络和并联网络具有相似性，由于电阻串、并联网络为同学们所熟悉，由此容易推出电阻Y 形网络和 形网络相互等效变换时阻值大小的变化方向。参考文献：1 胡翔骏.电路分析 M .3 版.北京：高等教育出版社，2016.2 邱关源.电路 M .5 版.北京:高等教育出版社，20063 郑家奎.Y-网络的等效变换规律 J.泰安师专学报，2001，23（6）：46.4 田社平,孙盾,张峰.T形和 形电阻电路等效变换的教学探讨 J.电气电子教学学报，2013，35（4）：16.5 刘松山.基于等效变换对多边内星形电阻网络的研究 J.西南师范大学学报（自然科学版），2017，42（3）：6.