2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）.pdf

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）已知集合 A=xR|x|2，则 AB=（）A（0，2）B0，2 C0，2 D0，1，2 2（5 分）已知复数，是 z 的共轭复数，则=（）A B C1 D2 3（5 分）曲线 y=在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=2x+1 By=2x1 Cy=2x3 Dy=2x2 4（5 分）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（，），角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（）A B C D 5（5 分）已知命题 p1：函数 y=2x2x在 R 为增函数，p2：函数 y=2x+2x在 R为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和 q4：p1（p2）中，真命题是（）Aq1，q3 Bq2，q3 Cq1，q4 Dq2，q4 6（5 分）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（）A100 B200 C300 D400 7（5 分）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（）A B C D 8（5 分）设偶函数 f（x）满足 f（x）=2x4（x0），则x|f（x2）0=（）Ax|x2 或 x4 Bx|x0 或 x4 Cx|x0 或 x6 Dx|x2 或 x2 9（5 分）若，是第三象限的角，则=（）A B C2 D2 10（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）Aa2 B C D5a2 11（5 分）已知函数，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c），则 abc 的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）12（5 分）已知双曲线 E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N（12，15），则 E 的方程式为（）A B C D 二、填空题（二、填空题（共共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 20 分）分）13（5 分）设 y=f（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有 0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间0，1上的均匀随机数 x1，x2，xN和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点（xi，yi）（i=1，2，N），再数出其中满足 yif（xi）（i=1，2，N）的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 14（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种）15（5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 xy=1 相切于点 B（2，1），则圆 C的方程为 16（5 分）在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC 的面积为，则BAC=三、解答题（三、解答题（共共 8 小题，小题，满分满分 90 分）分）17（12 分）设数列满足 a1=2，an+1an=322n1（1）求数列an的通项公式；（2）令 bn=nan，求数列bn的前 n 项和 Sn 18（12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（）证明：PEBC（）若APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 19（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：性别 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由 P（K2k）0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：K2=20（12 分）设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1斜率为 1 的直线 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求 E 的离心率；（2）设点 P（0，1）满足|PA|=|PB|，求 E 的方程 21（12 分）设函数 f（x）=ex1xax2（1）若 a=0，求 f（x）的单调区间；（2）若当 x0 时 f（x）0，求 a 的取值范围 22（10 分）如图：已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：（）ACE=BCD（）BC2=BECD 23（10 分）已知直线 C1（t 为参数），C2（为参数），（）当=时，求 C1与 C2的交点坐标；（）过坐标原点 O 做 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 24（10 分）设函数 f（x）=|2x4|+1（）画出函数 y=f（x）的图象：（）若不等式 f（x）ax 的解集非空，求 a 的取值范围 2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）已知集合 A=xR|x|2，则 AB=（）A（0，2）B0，2 C0，2 D0，1，2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先化简集合 A 和 B，注意集合 B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解【解答】解：A=xR|x|2，=xR|2x2，故 AB=0，1，2 应选 D【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题 2（5 分）已知复数，是 z 的共轭复数，则=（）A B C1 D2 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【分析】因为，所以先求|z|再求的值【解答】解：由可得 另解：故选：A【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算 3（5 分）曲线 y=在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=2x+1 By=2x1 Cy=2x3 Dy=2x2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】1：常规题型；11：计算题【分析】欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=，y=，所以 k=y|x=1=2，得切线的斜率为 2，所以 k=2；所以曲线 y=f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y+1=2（x+1），即 y=2x+1 故选：A【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 4（5 分）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（，），角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（）A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离来确定答案【解答】解：通过分析可知当 t=0 时，点 P 到 x 轴距离 d 为，于是可以排除答案 A，D，再根据当时，可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0，排除答案 B，故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题 5（5 分）已知命题 p1：函数 y=2x2x在 R 为增函数，p2：函数 y=2x+2x在 R为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和 q4：p1（p2）中，真命题是（）Aq1，q3 Bq2，q3 Cq1，q4 Dq2，q4 【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】先判断命题 p1是真命题，P2是假命题，故 p1p2为真命题，（p2）为真命题，p1（p2）为真命题【解答】解：易知 p1是真命题，而对 p2：y=2xln2ln2=ln2（），当 x0，+）时，又 ln20，所以 y0，函数单调递增；同理得当 x（，0）时，函数单调递减，故 p2是假命题 由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真 故选：C【点评】只有 p1与 P2都是真命题时，p1p2才是真命题只要 p1与 p2中至少有一个真命题，p1p2就是真命题 6（5 分）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（）A100 B200 C300 D400 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与 n 次独立重复试验的模型菁优网版权所有【专题】11：计算题；12：应用题【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000粒，即不发芽率为 0.1，故没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B（1000，0.1）又没发芽的补种 2 个，故补种的种子数记为 X=2，根据二项分布的期望公式即可求出结果【解答】解：由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B（1000，0.1）而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X 故 X=2，则 EX=2E=210000.1=200 故选：B【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力属于基础性题目 7（5 分）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（）A B C D 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】28：操作型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=的值 S=1=故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 8（5 分）设偶函数 f（x）满足 f（x）=2x4（x0），则x|f（x2）0=（）Ax|x2 或 x4 Bx|x0 或 x4 Cx|x0 或x6 Dx|x2 或 x2 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x4（x0），可得 f（x）=f（|x|）=2|x|4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案【解答】解：由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x4（x0），可得 f（x）=f（|x|）=2|x|4，则 f（x2）=f（|x2|）=2|x2|4，要使 f（|x2|）0，只需 2|x2|40，|x2|2 解得 x4，或 x0 应选：B【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算 9（5 分）若，是第三象限的角，则=（）A B C2 D2 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GW：半角的三角函数菁优网版权所有【