Couette流在具有消耗的趋化方程中的耗散增强机制_李弘曦.pdf

第 卷第 期学报.年 月 .，：流在具有消耗的趋化方程中的耗散增强机制李弘曦（电子科技大学 数学科学学院，四川 成都）摘 要：在自然界中描述生物趋化性质的方程称为趋化方程，它是偏微分方程组。近年来对带有 流的趋化方程耗散增强机制的研究结果还相对较少。因此，文章根据已有 流在化学物质产生机制下的趋化方程耗散增强结果，进一步考虑在化学物质消耗情况下的耗散增强机制。文章通过构造能量函数并利用 不等式、不等式、不等式、不等式可以得到化学物质消耗情况下耗散增强的估计。结果表明，可以找到一个与时间和振幅无关的常数，当振幅大于该常数时方程的解不会爆破，即耗散增强。关键词：流；趋化方程；耗散增强；爆破中图分类号：文献标志码：文章编号：（）收稿日期：作者简介：李弘曦（），男，四川内江人，电子科技大学数学科学学院硕士研究生，研究方向：偏微分方程理论。引言近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的线性以及非线性现象，这些现象可以利用偏微分方程组来进行描述其中具有生物背景的趋化方程组是目前数学领域中具有意义和价值的研究方向。生物中的趋化性指的是生物种群在环境中由于某种化学物质的影响向有利于生物生存的环境方向运动，如果生物种群向着有利于自身的化学物质方向运动，则这种运动被称为趋化吸引现象。如果生物种群向远离化学物质的方向运动，则这种运动就被称为趋化排斥现象。从 世纪 年代开始，人们开始对生物趋化现象进行数学描述，从微观、宏观等角度分析并建立了一系列趋化问题的数学模型，经典的 模型由 和 为了描述细胞向自身产生的一种化学信号物质运动的生物现象。文章在对已有化学物质产生机制研究基础上进一步研究具有 流和带消耗的二维趋化方程组（），|（）其中：（，）代表的是微生物密度，（，）表示趋化剂密度，表示流体速度场，是压力，（，）是外部作用力，在本文中取（，），其中（，）、（，）、（，）所在的空间区域是。表示周期区域，表示实数集，如果 且 模型（）表示的是经典的趋化方 程，考虑方程（）在 流（）（，）附近即（，）（）。文章将要证明的结果是如果 流足够强（足够的大），则抑制方程（）的解在有限时间爆破。对本文的研究是有意义的，因为趋化过程发生在移动的流体中是一个更加现实的场景。在化学物质产生的机制下，如果初始质量足够小，可以建立全局正则解，参考文献。对于较大的初始质量在文献 中可以找到趋化 方程及其变体的弱解存在。一个有趣的问题是：是否可以通过流动流体来防止有限时间爆破？据所知，对于抛物 椭圆的情况，年 和 在文献中考虑了松弛增强流，松弛增强流在文献中被称为非常有效的混合流体，他们证明了只要流体的振幅足够大，方程的解就不会在有限时间内爆破，之后 和 在文献中认为可以使用大振幅的剪切流来抑制方程解的爆破。本文受 在文献中通过 流抑制化学物质产生型趋化方程组爆破方法的启发，进一步考虑化学物质消耗型趋化方程组是否也能抑制爆破，结果表明化学物质消耗型趋化方程也可以通过 流抑制爆破。准备工作为了获得方程（）的耗散增强估计，基于文献，我们需要对方程的时间变量进行尺度变换 以及速度场方程取涡度得到（），（），。|（）再将方程分为零模式和非零模式（其中 称为 的零模式，称为 的非零模式）。零模式方程为：（）（），（），|（），（），）。|（）非零模式方程为：（）（）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（），|（）其中：，（，）。空间的定义为：，：，（，）。能量函数以及范数的定义如下：（）：。主要思想：我们假设能量函数（）以及（）在，内满足（），（）（和 为常数它们的值可以在证明过程中被确定）我们期望找到一个常数，它与振幅和时间无关，使得当振幅大于它时，在，内有（），和（），再利用趋化方程的局部适定性将 推广至，即方程解不会在有限时间内爆破。主要结果及证明首先我们给出本文的主要结果。定理 如果初始值满足，（），（）则存在一个依赖于，（），（）但 不 依 赖 于（）正常数，如果振幅 满足 并且（）（），则方程（）的解不会在有限时间内爆破。受文献的启发我们先处理 的有界性，不同于文献中的方法，文献中处理 的有界性需要使用 迭代，而在消耗型趋化方程组中可以从方程的结构上进行处理。引理 如果，满足方程（），那么，并且（）（），（）是有界的，有以下成立（），。证明：对方程组（）的第一个方程和第二个方程应用极大值原理，可以得到 和 的非负性，具体的证明可以参考文献中引理，下面证明有界性。因为。在方程两端乘以 后在空间上积分并由分部积分，我们有（）（），所以我们可以得到（），对时间 积分可得（），令 即有（），再由时间的任意性可知：。我们得到 的有界性，可以让方程组解的非零模式和零模式能被能量函数以及自身初始值控制。由于方程组解的非零模式和零模式在流体混合行为中的演化是不同的，因此有必要分别讨论非零模式和零模式，而对非零模式讨论可以利用文献 中引理 的各向异性 不等式。引理 如果，是方程（）的解，那么对于任何（，都存在一个依赖于 的正常数，使得以下成立：，。对于 ，还有以下成立（），（）。证明：利用文献中引理 的各向异性 不等式以及能量函数的定义可以证明，由于证明不涉及方程结构的变化，因此具体的证明可以参考文献中的推论。类似于文献中的处理方法对上述非零模式的讨论目的在于接下来处理零模式方程估计中出现的非零模式项能够被能量函数控制。引理 如果，是方程（）的解则存在一个依赖于，的正常数，如果振幅，则以下成立：（）：，（）（）：，（）：，（）：，（）（）（）：，（）（）：。证明：先讨论，的证明。由于 满足方程（）的第二个方程，我们将加到方程的两端（）（）（）由传输扩散方程解的存在性，令 为方程的解，（，）（）|（）是方程（）的解（），。|（）则 是方程（）的解，根据引理 以及文献中引理，我们可以得到：（）（）（），（）（），（），（）（）（）。所以由范数的三角不等式可以得到：（）（）（），（）（），（）（）（）。当振幅 充分大时可知结论成立，其中关于，的估计可以参考文献中引理 的证明。为了防止 流使得方程出现不稳定，我们参考文献中的处理方法对（）做一 定 的 假 设：即（）（）并 且 接 下 来 需 要 处 理，幸运的是对（）的假设可以使得有界。引理 如果引理 成立，则存在一个正常数它依赖于 和，但不依赖于振幅，和存 在 另 一 个 常 数，它 依 赖，。如果满足，可以得到以下结论：。证明：由满足下列方程（）（）（）在方程两端乘以 （）并在 上积分，应用分部积分、不等式、不等式可得（）（）（）所以有（）（）（）（）（）由（）（）和（），（），故当振幅 充分大时（）。同理对做同样得讨论可得同样得结果，可知引理 成立。通过上述的引理证明，我们下面利用文献中命题 的结果来闭合能量函数的估计。引理 如果引理 成立并且定理 中的假设成立，则存在一个依赖于 的正常数 和一个 依 赖 于，（）的正常数，如果振幅，则有以下成立（）。证明：主要证明思想为从非零模式方程（）出发，由引理 和引理 以及运用文献中的命题 得到，关于各自的时空估计，下面证明的估计。由文献中的命题 以及运用 不等式可以得到（）（）（）（）（）（）（）通过 不等式，我们可以得到（）（）（）。将上述结果带入（）中，即可得到（）（）。下面处理，不同于文献中化学物质产生型趋化方程组的处理，由于耗散项，我们需要在（）项上关于 变量运用 不等式，可得（）（）（）（）（）（）（）（）。同样的方法处理，我们可以得到：（）（）（）（）（）（）。所以 （）。在 能 量 函 数 中 关 于，的估计可以同理得到，具体可以参考文献中的引理。将它们全部相加可以有（）（），即可知存在，当，立即有（），即可以定义 ，上述引理成立。引理 如果引理 成立，则存在一个依赖于，正 常 数 使 得。证明：由引理，引理 以及 迭代可以直接得到结果。具体的证明可以参考文献中的引理。通过以上引理的证明可以知道，我们开始假设能量函数（）在，内（）和（），通过引理 以及引理 的证明，我们可以确定出 和 的值，以及找到一个与时间和振幅无关的常数，使得当振幅大于它时，在，内可以有（）和（），这使得我们可以利用趋化方程的局部适定性把 延拓到即可知关于方程的解（）不会在有限时间爆破，具体可以参考文献，即定理 成立。结语通过流体来抑制趋化方程组的爆破具有重要的理论价值和现实意义。本文利用了能量方法以及一系列常用在偏微分理论研究的不等式，研究了 流在具有消耗的趋化方程中的耗散增强机制，证明了当 流的振幅足够大的时候，可以抑制化学物质消耗型趋化方程的解在有限时间内爆破。目前已有的结果是在化学物质产生的情况下，而对于抑制消耗型趋化方程解的爆破还值得进一步的研究。文章中考虑的耗散项为 可以考虑更一般的耗散项（）（）是否也能通过流体来抑制爆破甚至可以考虑不同的流体来抑制方程组的爆破。通过流体来抑制趋化方程爆破，这是目前偏微分方程领域中的一个重要研究方向。一方面，方程本身可以刻画许多有重要价值的理论。另一方面流体也广泛存在于自然界中。对于这些问题的研究将有助于提高数学在实际中的应用。参考文献：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，：，（）：（），（）：（），（）：，（）：，（）：，（），（）：，（）：（，）：，：；【责任编辑：王兴全】