2023汤家凤数学一1800题-解析册 .pdf

KNOWLEDGE SOURCES2023考研数学.接力题典【解答册】一适用阶段一基础强化提高汤家凤编著依据新大纲中国政法大学出版社2023考研数学.接力题典【解笞册】汤家凤编著中国政法大学出版社2021-北京声 明 1.版权所有，侵权必究。2.如有缺页、倒装问题，由出版社负责退换。图书在版编目（C I P）数据考研数学接力题典1800.数学一/汤家凤编著一北京：中国政法大学出版社，2021.12ISBN 978-7-5764-0190-5I.考II 汤III高等数学一研究生一入学考试一题解IV.013-44中国版本图书馆CIP数据核字（2021）第248317号出版者 中国政法大学出版社地 址 北京市海淀区西土城路25号邮寄地址 北京100088信箱8034分箱 邮编100088网 址 http:/（网络实名：中国政法大学出版社）电 话 010-58908285（总编室）58908433（编辑部）58908334（邮购部）承 E卩 河北鸿运腾达印刷有限公司开 本 787mmx 1092mm 1/16印 张 37.5字 数 891千字版 次 2021年12月第1版印 次 2021年12月第1次印刷定 价 82.00元（全两册）刖目PREFACE全国硕士研究生招生考试数学试卷分为数学一、数学二、数学三，其中数学一、数学三需要 复习高等数学、线性代数、概率统计，数学二需要复习高等数学和线性代数。各试卷题型及分 值分布一致,题型分选择题、填空题、解答题（包括计算题、证明题、应用题等），选择题10题,分值50分,填空题6题，分值30分,解答题70分。由于考研数学复习内容量大面广,需要考 查考生对基本概念的理解,基本公式及基本原理的掌握，同时需要考生具有很强的计算能力、综合分析能力、逻辑推理能力、空间想象能力及实际应用能力。要牢固掌握基础知识并用所学 知识融会贯通地解决问题，就需要进行系统的练习。那么拥有一本通过分层递进的习题训练 达到基础知识的掌握和解题能力的提高，并能帮助考生最终取得优异成绩的习题册就成为广 大考研学子的迫切需求。本书是作者在长达二十多年的考研数学授课、阅卷及对新大纲深入研究的基础上,根据考 研数学命题趋势及命题的重点、难点和考生的弱点，从广大考生的实际出发精心编写而成。本书分基础篇和提高篇,包括高等数学、线性代数和概率统计。基础篇是针对基础复习阶 段而设计的,注重对基本概念的理解,基本原理和基本方法的掌握，为复习打下坚实的基础；提 高篇适用于复习的强化阶段，注重基本概念的深化、原理的拓展，同时训练计算能力、综合分析 能力、证明问题的能力、利用数学知识解决实际问题的能力。本书设计问题的难度和综合性比 考试的要求略高，从这些年的使用情况看，达到了非常好的效果。本书是针对数学一的考生编写,其主要特点有：1 每部分的题目都是严格依据最新考纲的规定,无论是题型还是知识点都是依据考研考 试的要求设计。基础篇每部分融合了基本概念、基本原理、基本方法的考查点，知识覆盖面广,题型丰富、新颖。通过基础篇的系统练习，考生扎实掌握基础知识，对考纲和考试有清晰的认 识,为强化复习打下扎实的基础。2强化复习是取得数学高分非常关键的阶段，不仅强化课程非常关键，习题的设计也是非 常重要的一环。本书提高篇的题目侧重对考生的复杂计算能力、逻辑推理能力、综合分析能力 和实际应用能力的训练。3.本书题目从题型的难度和综合性等方面都体现了整个数学的认知过程,各部分解答力 求通俗易懂，方法独到，从最近这些年的使用情况看基本达到了考试对知识点、题型和题目难 易度考察的要求。1数学复习不同于其他科目的复习，大家复习时一定要早动手、重基础、循序渐进。基础阶 段一定要先建立整个数学的知识框架和体系，然后做一些基础练习（基础知识考查所占分值 比重较大,切不可好高彗远）；强化阶段是数学复习脱胎换骨的阶段，通过进一步训练综合题 型提高自己的各种数学能力和应试技巧以及对考试的适应能力，这是贯穿本书的设计理念。本书从初次出版到现在的若干年中，受到全国广大学子的厚爱和同仁的支持，在此表示由 衷的感谢。限于本人能力，书中不足之处难免，欢迎全国广大的学子和同仁的不吝指正。欢迎各位同学在学习之余能关注汤老师微博、微信公众号及一直播,汤老师将在这些平台 对书中部分题目作直播讲解。汤家凤2021年12月于南京2目录CONTENTS第一部分高等数学一、函数、极限、连续.3二、导数与微分.23三、中值定理与一元函数微分学的应用.36四、不定积分.54五、定积分及应用.65六、多元函数微分学.88七、二重积分.103八、微分方程.116九、三重积分与曲线、曲面积分.128十、无穷级数.148十一、向量代数与空间解析几何.168第二部分线性代数一、行列式.174二、矩阵.176三、向量.183四、线性方程组.188五、矩阵的特征值和特征向量.195六、二次型.205第三部分概率统计一、随机事件与概率.212二、随机变量及其分布.215三、多维随机变量及其分布.222四、随机变量的数字特征.230五、大数定律和中心极限定理.237六、数理统计的基本概念.238七、参数估计.241八、假设检验.244-1 CONTENTS第一部分高等数学一、函数、极限、连续.247二、导数与微分.263三、中值定理与一元函数微分学的应用.275四、一元函数积分学.287五、多元函数微分学.307六、二重积分.313七、微分方程.321八、三重积分与曲线、曲面积分.331九、无穷级数.340十、向量代数与空间解析几何.352第二部分线性代数一、行列式.357二、矩阵.359三、向量.362四、线性方程组.365五、矩阵的特征值和特征向量.374六、二次型.386第三部分概率统计一、随机事件与概率.389二、随机变量及其分布.393三、多维随机变量及其分布.397四、随机变量的数字特征.404五、大数定律和中心极限定理.410六、数理统计的基本概念.412七、参数估计.415八、假设检验.418 2 基础篇第部分纟高等数学一、函数、极限、连续o o填空题i.dg丄tan x 一 sin 工 tan x 一 sm x劇 lim-=lim-*0 x ln(1+)lo2工3=ylimLi X*0tan xx2.fHJ e._Q+1)_1+工丿3.dD 2.Ek,.2j:2+cos x觴 limgfOO?2 x 十 jcsm x+1=limgfOO4.dD丄1 一 COS XX2丄 zo,1,12 H-cos x H-r”2.1+丄sin?XXln(3j?2+2j?+2)lim-ln(2j?4+3x 一 1)+23jc2+2jc+2(6h+2)(2h+3_1_00 8工3+3(3jc2+2)(8x+3)2jc4+3x 一 112jc5+_ 124工5+2丄嚴 liml-工-*0 1 cos x2 jc2 一 2(1 一 cos x)I=lim-X/L0 X(1一 cos X)=limx-*-0 x2 一 2(1 一 cos x)丄.2x 2sin x.=lim-=limHfO 2龙 l01 COS X _ 3兴=石003&曲接力题典1800 数学一-O6.dD 3.6j?一 1麗 lim(丿工？+虹+1%/j?2 2a:+2)=liml+l+Jr+4+1+一2工+2=lim6-丄i-+AX-=3.2x27.dD 2.觴 当 J：0 时 9+ax2 1=(1+ax2)2 1+工21 COS2J?=(1+COS X)(1 COS 工)2 X-|-J72=攵2,故 a=2.8.輕4o爾由lim(匚匕x-*oo JC C2/+3；r+2x+1=limZf 82,+3卄2 2c 2+3工+2工+1 C _ 2：豐(mi)q_c)=elim(cos jc x2)s,n2-r=lim|1+(cos jr 1+j?2)0 x-*0 cos X1._lim-5-19.匿案)一2,2.簡/(O-O)=Hm arCtan+-1r-*0“a i c、i 1(1j?)1.(1 x2)b 1 1.b(j?)/(0+0)=lim-=-y lim-=一万11111 一=9，工-+厶工/工-()+工/JC 厶因为/(#)在工=0 处连续，所以 7(0-0)=/(0)=/(0+0)=1,故 a=2=2.10.匿案)跳跃.1_2 e7 1輕 lim/(j;)=lim-limarctan =2 Xx-*0 x-*0 i I gfO 力丄十elim/(j；)=lim-lo+lo+1+e7故工=0为/(jc)的跳跃间断点.Y lim arctan =()X 善=x 2 2o+OO选择题1.匿塞(D)cb 丄t2At0 76+?4b3,并结合题设极限值，得a34b1,1+旦厂X C f=e1 1=e 2 得 c=wO20 x3+Q 9b004 cS-B B 一、函数、极限、连续由 2=lim Si2n=hm=VT lim 得 216,应选(D).工-*0 X t H-*0 1 n LO X Z,.山 Jo 3#2.(n)(B)爾 取 a”=1+(1),b”=+1,显然 I (sin)ln(l+#)工七；_ _ 丄 7 T2由兀 f 0 时 9/1+:1=(1+j:)2 1 守得(a/1+x 一 1)arcsin 龙彳-；由limx+sin x=lim-工-*o xx 一 sin xx3=21imr*0 x 一 sin xx3=lim3 H*01 一 cos x占得2 2 x 一 sin x1 4则/?+1=3,从而 n=2,选(E).4.dD(C)繩当z f 0时，由a=ln cos 2jc=lnl+(cos 2x 一 1)cos 2x 11 jc2/=5=7=5-1十亢 得a是0的等价无穷小，选(C).5.匿案)(A)觸 显然函数/(工)的间断点为z=l,zn()1由 lim/(j?)=lim-=lim-工-1 X-*1 2 1 X-*1 8 1.ln(x)1lim/(J：)=lim-=一 lim-工_+工_+jc 1 広-*_1+力 12=1为/(工)的跳跃间断点；由lim/(jc)=oo得z=o为f(工)的第二类间断点；x01 ln：l+(-l)-+1-X 一 1lnl+Q 1)1 刁曰=空侍2/1+工?t-2o 2-7 一 Lx 1+龙2=0 口=1 9lnl (j;+1)1s x+1=7，lnl(工+1)Z+1由 lim/(jc)=lim X 0 jq=limx*0(sin 工)ln(1+2工)ie 12-X.(sin x)ln(1+2jc)limx-*0 x2=limjr*Ox2=2.(2)limx-*0ln(e+sin 2jc)1x=limz-*0ln(l-sin 2jc eX1.smlim-e x-*o x2e(3)limx-*0ln(l+=lim-tan x losmX-2-sin=lim-x*0X X COS X =limrf 01x33jc 26(4)lim0tan x ejr3.tan x 一 jc limHf 0JC 32 i sec x 1=hm-工o 3工13/L、1 /1+JCCOS X 一 yi+JC(5)lim-2-:-lo x arcsin1./l+JC COS 3C yi+J?=R 吧-3-zS 工 f 0 jq1=lim 一;-_2 lo a/1+j?cos x+Vl+cos jc 一 1x21 1=7X7X1128 2.觴(l)lim(cos+j;2)x-0 xn(.l+x)_I_=lim 1 十(cos x 1+jr2)cos-z0 cos工1+工xln(1+x)cos 攵一1+/=eEklim 严lim空戶+1 e工.2i=e2(2)lim(ex+ex-*-02 _lim 1+(eJ+esin2xX0 12)|eX+esin 2x-2(3)limooX 1jr+1(4)lim(-Sm-Zr-*0 X2x4e3.lim-7x-*0 3xi2 21(1-X)-1可h巴-2-=e 工.arcsin xx lim-