2023武忠祥《高等数学基础篇》.pdf

金榜时代考研数学系列魅卫典f客及全国各大考研培训学校指定理老高等数学基础篇王编武忠祥（西安交通大学）方向学习高数不迷路深度分析大纲考点与要求，先学基础不犹豫方法培养思维破套路多角度多层次解析例题,打破解题固有模式M中国农业出版社CHINA AGRICULTURE PRESS金榕if磺金榜时代考研数学系列金榜时代考研数学系列金榜时代考研数学系列|V研客及全国各大考研培训学校指定用书研客及全国各大考研培训学校指定用书咼等数学基础篇主编武忠祥（西安交通大学）（西安交通大学）考研路上起航的你前方，除了亲知,还苜希望。HH中国农业出版社中国农业出版社CHINAAGRICULTURE PRESS北京北京 图书在版编目图书在版编目（CIP）数据数据高等数学.基础篇/武忠祥主编.一北京：中国农业出版社,2021.10（金榜时代考研数学系列）ISBN 978-7-109-28855-3i.高 n.武 m.高等数学一研究生一入 学考试一自学参考资料IV.013中国版本图书馆CIP数据核字（2021）第209973号中国农业出版社出版地址：北京市朝阳区麦子店街18号楼 邮编=100125责任编辑：吕 睿 毛志强责任校对：吴丽婷印刷：河北正德印务有限公司版次：2021年10月第1版印次：2021年10月河北第1次印刷发行:新华书店北京发行所开本；787mmX 1092mm 1/16印张：13字数：308千字定价：69.80元版权所有侵权必究凡购买本社图书，如有印装质量问题，我社负责调换。服务电话：010-59195115 010-59194918刖 s“高等数学基础篇”中的高等数学是相对初等数学而言的，两者主要区别就是引入了变 量、函数等概念。基础则相对提高、综合而言，基础篇侧重知识点本身内容和基础运算的 讲解。高等数学是理工科大学必修课，也是考研的必考科目，所以对于同学们来说非常重要，学好高等数学不仅能提高逻辑思维能力，同时对今后的考研以至日后工作都有帮助。那么 如何能很好地学习高等数学呢？1.不要畏惧数学大家都知道高数重要，同时也都听说高数很难，甚至闻“高数”色变，认定自己没有数学天赋。事实是，高数并没有那么可怕。编者多年教学，没见过智商不够，不能学好数学的同学。只要踏实学、认真做题，没有学不会、学不好的，反而见过不少天赋很 高的同学，不好好学，考试一塌糊涂。同学们一定要认真对待数学学习，数学进步显而易见。因为多数同学学不好数学的主要原因是根本没有认真对待，觉得数学学不好是理所当然的，学不好也没关系。这种想法要不得。2.抓住核心任何学科，基础内容常常是最重要的部分。高等数学本身就是数学和其 他学科的基础，而高等数学有一些重要的基础内容，它是基石，关系到后续所有数学学习和 提高。比如说，高数核心内容就是微积分，是研究函数的微观与宏观性质，研究函数的主要 工具（方法）就是极限。这类知识肯定不能放弃。复习之初，应先做到内容有大体上的了解和把握，然后抓住重点、稳扎稳打，一步一步地 学习，对重点要足够耐心，前期坚持每天复习一遍所学的内容，后面逐渐增加复习的间隔时 间。谨记：掌握重点，不是刷进度，也不是打卡。13.平时多练 做练习，这是数学自带的特点，是消化巩固知识极重要的一个环节。练习 一般分成三个层次:一是基础练习。这类练习就是对基础知识的简单重复，增加对知识的掌 握度和熟练度。二是小结训练。要求多思考，多总结，然后举一反三。高数很多知识之间是相互关联 的，需要通过一些练习题、例题把学过的知识拿到一起相互交叉，灵活运用，这样才能融会贯 通。同时，归类由基础内容衍生出来的一些结论并记住，那么后期在解答综合题就会感到 轻松。三是针对特训。高等数学不可能一学，就全部领会掌握。做题出错也很正常。往往是 存在一个难点，往后学习就很难继续，所以针对常错题要进行特训，争取早日突破。三个层次的练习，需要反复，比如极限的计算、积分法等一时很难掌握，就需要反复训 练，才可以完全学会。本书是编者教学经验的一个小小总结,存在不足之处，望大家批评指正。如果同学自己 看书学习感觉还是有困难，也可以听听编者讲的课，能够起到一定帮助作用，帮你更快上路。在最后，祝同学都能考上理想的学校！编者 2021年9月 2 I函数极限连续.函数极限连续.(1)第一节函数.第一节函数.(2)一、函数的概念及常见函数.(2)二、函数的性质.(4)第二节极限.第二节极限.(7)|一、极限的概念.(7)二、极限的性质.(10)三、极限的存在准则.(12)四、无穷小量.(13)五、无穷大量.(14)第三节函数的连续性.第三节函数的连续性.(33)一、连续性的概念.(33)二、间断点及其分类.(35)|三、连续性的运算与性质.(36)四、闭区间上连续函数的性质.(36)导数与微分.导数与微分.(40)第第一、导数与微分的概念.(40)血:二、导数公式及求导法则.(44)三、高阶导数.(48)微分中值定理及导数应用.微分中值定理及导数应用.(55)一、微分中值定理.(55)二、导数应用.(57)1不定积分不定积分(68)一、不定积分的概念与性质.(68)二、不定积分基本公式.(70)三、三种主要积分法.(71)四、三类常见可积函数积分.(75)定积分与反常积分.定积分与反常积分.(83)第一节定积分.第一节定积分.(83)一、定积分的概念.(83)二、定积分的性质.(84)三、积分上限的函数.(85)四、定积分的计算.(85)第二节反常积分.第二节反常积分.(94)一、无穷区间上的反常积分.(94)二、无界函数的反常积分.(96)定积分的应用.定积分的应用.(101)一、几何应用.(101)二、物理应用娥学娶求.(102)彳散分方程.彳散分方程.(106)一、常微分方程的基本概念.(107)二、一阶微分方程.(107)三、可降阶的高阶方程娥学晏和.(110)四、高阶线性微分方程.(111)2 第八章第九章第十章多元函数微分学.多元函数微分学.(123)第一节多元函数的基本概念.第一节多元函数的基本概念.(123)一、多元函数的极限.(123)二、多元函数的连续性.(124)三、偏导数.(125)四、全微分.(126)第二节多元函数的微分法.第二节多元函数的微分法.(130)一、复合函数微分法.(130)二、隐函数微分法.(130)第三节多元函数的极值与最值.第三节多元函数的极值与最值.(137)一、无约束极值.(137)二、条件极值及拉格朗日乘数法.(138)三、最大最小值.(139)二重移二重移I分.分.(142)一、二重积分的概念及性质.(142)二、二重积分的计算.(143)无穷级数.无穷级数.(149)第一节常数项级数.第一节常数项级数.(150)一、级数的概念与性质.(150)二、级数的审敛准则.(151)第二节幕级数.第二节幕级数.(156)一、舉级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.(156)二、幕级数的性质.(157)三、函数的幕级数展开.(157)第三节傅里叶级数.第三节傅里叶级数.(164)一、傅里叶系数与傅里叶级数.(164)二、收敛定理(狄利克雷).(164)三、周期为2兀的函数的展开.(165)四、周期为2/的函数的展开.(165)3(169)第十一章第十二章向量代数与空间解析几何及向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用多元微分学在几何上的应用.第一节向量代数第一节向量代数.(169)第二节空间平面与直线第二节空间平面与直线.(171)第三节曲面与空间曲线第三节曲面与空间曲线.(174)第四节多元微分学在几何上的应用第四节多元微分学在几何上的应用.(176)多元积分学及其应用多元积分学及其应用.(179)第一节三重积分第一节三重积分.(179)三重积分.(179)第二节曲线积分第二节曲线积分.(183)一、对弧长的线积分(第一类线积分).(183)二、对坐标的线积分(第二类线积分).(184)二、第二类线积分的计算.(187)第三节曲面积分第三节曲面积分.(190)一、对面积的面积分(第一类面积分).(190)二、对坐标的面积分(第二类面积分).(191)第四节多元积分应用第四节多元积分应用.(195)第五节场论初步第五节场论初步.(197)4第一章 崗数机很连烘大纲考试内容大纲考试内容大纲考试要求大纲考试要求数数数二数二数三函数的概念复合函数及分段函数的概念无穷小量的概念函数连续性的概念（含左连续与右连续）闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定 理、介值定理）理解理解理解函数的表示法基本初等函数的性质及其图形极限的四则运算法则利用两个重要极限求极限的方法 无穷小量的比较方法掌握掌握掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 反函数及隐函数的概念初等函数的概念 连续函数的性质和初等函数的连续性了解了解了解应用问题的函数关系会建立会建立会建立函数间断点的类型会判别会判别会判别闭区间上连续函数的性质会应用会应用会应用数列极限和函数极限的概念函数左极限与右极限的概念 函数极限存在与左极限、右极限之间的关系理解理解理解无穷大量的概念无穷大量与无穷小量的关系理解理解理解极限的性质与极限存在的两个准则掌握掌握了解极限存在的两个准则求极限会利用会利用了解等价无穷小量求极限会用会用会用无穷小量的基本性质理解理解理解 1 第一节 函数O考试内容概要、函数的概念及常见函数1.函狡函狡定义 设工和夕是两个变量，D是一个给定的数集.如果对于每个数工c D,变量2按 照一定的法则总有一个确定的数值夕和它对应，则称丿是工的函数，记为y=W D,其中#称为自变量自变量,J/称为因变量因变量，D称为函数的定义域定义域，记作Dy，即D f=D.函数值 g 的全体所构成的集合称为函数于的值域，记作Rf或/(D),即Rf=f(-D)=|y=/(jr),JC G D.【注】函数有两个基本要素：定义域、对应规则(或称依赖关系).当两个函数的定义域 与对应规则完全相同时，它们就是同一函数.【例例1】函数函数1 9 JC V 0 9y=sgn x=y 0 9 jc 0 9、1，20，称为符号函数.称为符号函数.【例2】设工为任意实数，不超过工的最大整数称为鼻的整数部分，记为幻.函数夕=称为取整函数.称为取整函数.【注】取整函数的基本不等式:工一1 :幻 工2.変佥函孩変佥函孩设函数y=y()的定义域为D/,函数=g(x)的定义域为Dg,值域为Rg,若 Dj Pl&H 0,贝9称函数y=兀g(z)为函数y=/()与“=gO)的复合函数.的复合函数.它的定义 域为z|6 Dg,g(z)G Df.【注】不是任何两个函数都可以复合，如y=/(m)=ln“和“=g(H)=sin z 1就 不能复合，这是由于D/=(0,+*),出=2,0,D/门$=0.2 函数极限连续3.沒函狡设函数夕=2）的定义域为D,值域为Ry.若对任意夕6 有唯一确定的r CD,使得夕=2）,则记为工=广】（），称其为函数夕=g 的反函数.【注】（1）不是每个函数都有反函数如夕=分有反函数，而夕=分没有反函数.（x 0 V 工 V 1（2）单调函数一定有反函数，但反之则不然，女口/（）=、有反函数，但不单调.（3）有时也将y=/Xz）的反函数z=广1（夕）写成夕=广1（z）.在同一直角坐标系中，y=fS 和工=广1（夕）的图形重合，夕=于（2）和夕=厂（2）的图形关于直线y=x对称.（4）广 1/（#）=x,_/广1（攵）=x.【例3 求函数y=sh鼻=匚黔二的反函数.由=辽*知4.初等函狡定汶 将幕函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数.幕函数 y=工叫卩为实数）（1）幕函数夕=丹的定义域和值域取决于的取值，当工0时,夕=才都有定义.（2）常见幕函数:y=x,y=j:2,y=re3,y=x,y=x,y=丄.X指数函数 y=a（a0,a H 1）（1）定义域：（一+）,值域：（0,+oo）.（2）单调性：当a1时,y=aT单调增；当0 a 1时,y=ac单调减.（3）常见指数函数：y=ej单调增，lim e=0,