2023李林《高等数学辅导讲义》.pdf

Z 2023李林考研数学系列 高奪数学 辅导讲义（数学一、二、三通用）编著李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林！这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉,是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-乃 71回器劇回 回葩娜1扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社z真学李林考研数学系列 甘坐鷗半 冋寺珈子 锁导讲义（数学1、二、三通用）编著李林不靠押题靠实力考研数学就选李林!回扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社一“-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉,是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-乃7刖 a北京珠市口大街有座“网红”人行天桥，桥身上镶嵌着著名的数学、物理公式，其 中，数学公式不是勾股定理，不是中国剩余定理，也不是欧拉公式，而是大名鼎鼎的拉格 朗日中值定理。现实生活中渗透数学思想的例子还有很多，比如广州地标广州电视塔“小蛮腰”造型的设计，该电视塔是单叶双曲面形状；悉尼歌剧院外观壳片曲面属于同一 个球面方程；山西太原双塔蕴含着数列的思想无论是拉格朗日中值定理还是曲面方程抑或是数列，它们都指向同一学科，那就是“高等数学”。本书正是基于考研应试的目的，帮助读者提高解题能力，使读者真正学懂“高等数学”这一学科。关于本书本书是针对全国硕士研究生入学考试“高等数学”复习的辅导讲义，由编者根据多年 在考研辅导班的讲义改编而成；本书也可作为非数学专业本科生学习“高等数学”的参考书。本书旨在帮助广大考生理解高等数学原理，掌握解题方法，提高解题能力。本书按照 考研数学大纲的要求，全面介绍考试的内容与解题方法，澄清考生的常犯错误与疑惑。通 过典型例题分析，揭示考研数学的命题规律，从而提髙考生的应试能力。本书每章由四部分组成：1.考试要求；2.内容与方法提要；3.典型例题分析；4.习 题演练。本书有以下特点：、内容与方法全面本书全面介绍考试内容，细致总结考试中各类题型的解题方法，对易出错的知识点给 予澄清。二、题型齐全，覆盖面广，难度适中，循序渐进“典型例题分析”部分中的精选例题力求覆盖考研数学的各种题型，以中等难度题目 为主。编者考虑到考研数学有一些区分度较高的试题，也选取了一些难度较大的典型例 题，以便考生强化训练，开阔眼界。在编排上，试题难度由浅入深，循序渐进。三、直击题目要点，展示解题思路，突出解题方法本书中的“典型例题分析”，通过对条件与结论之间逻辑关系的剖析，理出解题思路，重点在于启发学生“怎么想”，而不是简单地告诉学生“怎么解”，因为“授之以渔”比“授之以鱼”更重要。李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义考试复习建议编者根据多年考研辅导经验，提出如下三点建议：1.考研数学复习的周期较长，考生要坚定信心，持之以恒，循序渐进。2.“高等数学”内容多，考题综合性强，考生应不断总结，反复练习，才能真正掌 握它。3.把握“高等数学”主线：“高等数学”是以极限为基础，建立一元函数微积分学,再将微积分应用到几何与物理上，拓展一元函数到多元函数，产生多元函数微积分及其应 用，而微分方程是将导数和积分应用到解方程上。级数是用极限、导数和积分解决无穷和 的问题。本书适用于数学一、数学二、数学三，对有不同要求的部分给出了说明。编者在多年 的教学中，借鉴和参考了若干国内外的优秀著作，在此对这些作者表示衷心的感谢！由于作者水平有限，本书仍有很多地方需要改进和提高，恳请读者和广大同人提出宝 贵的意见和建议。最后，衷心祝愿广大考生考上自己理想的学校！2目录夕冃 录第一章 函数极限 连续.1第一节函数.1第二节函数极限.8第三节数列极限.20第四节函数的连续性.27习题演练.32习题演练解答.34第二章 导数与微分.35第一节导数与微分的相关概念.35第二节导数与微分的计算.42习题演练.48习题演练解答.50第三章 微分中值定理与泰勒公式.51第一节罗尔定理.51第二节 拉格朗日中值定理.57第三节柯西中值定理.62第四节 泰勒公式.64习题演练.73习题演练解答.74第四章 导数的应用.75第一节单调性与极值.75第二节凹凸性与拐点.82习题演练.86习题演练解答.87第五章 不定积分.88 李林考研数学系列高弯爭辅 李林考研数学系列高弯爭辅第一节不定积分的概念和性质.88第二节不定积分的计算.90习题演练.100习题演练解答.101第六章定积分及其应用.102第一节定积分的计算.102第二节积分变限函数的求导问题.114第三节积分不等式与积分等式.118第四节反常积分.125第五节定积分的应用.129习题演练.136习题演练解答.138第七章微积分在经济学中的应用（仅数学三要求）.139习题演练.145习题演练解答.146第八章多元函数微分学.147第一节多元函数微分学的基本概念.147第二节复合函数的偏导数和全微分.152第三节隐函数微分法.154第四节极值与最值.158第五节方向导数与梯度（仅数学一要求）.162第六节多元微分学的几何应用（仅数学一要求）.167习题演练.171习题演练解答.173第九章微分方程.174第一节微分方程的基本概念.174第二节一阶微分方程.175第三节可降阶的高阶微分方程（仅数学一、数学二要求）.181第四节 高阶线性微分方程.182习题演练.1922目录沪习题演练解答.194第十章二重积分.195第一节二重积分的概念与性质.195第二节二重积分的计算.196第三节二重积分的对称性.198第四节 二重积分的应用（仅数学一要求）.210习题演练.211习题演练解答.213第十一章空间解析几何（仅数学一要求）.214第一节向量代数.214第二节平面方程与直线方程.216第三节曲面方程.218习题演练.223习题演练解答.224第十二章 无穷级数（仅数学一、数学三要求）.225第一节常数项级数.225第二节幕级数.242第三节 傅里叶级数（仅数学一要求）.254习题演练.258习题演练解答.261第十三章三重积分、第一类曲线、曲面积分（仅数学一要求）.262第一节三重积分.262第二节第一类曲线积分.270第三节第一类曲面积分.273习题演练.277习题演练解答.2783李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义第十四章第二类曲线、曲面积分（仅数学一要求）.279第一节第二类曲线积分.279第二节第二类曲面积分.290第三节第二类曲线、曲面积分的奇偶对称性.298第四节场论简介.301习题演练.308习题演练解答.309附录：几种常用的图形与曲线.3104第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续第一章函数极限连续0考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左 极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求 极限的方法.&理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限.9.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.10.理解函数连续性（含左连续与右连续）的概念，会判别函数间断点的类型.11.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.第一节 函数7内容与方法提要丄一、函数的基本概念1.函数的定义若M工&DUR,有唯一确定的实数夕与之对应，则称夕是工的函数，记为j/=/（）.【注】【注】函数定义中的两个要点：定义域D；对应法则f.2.函数的复合运算设夕=/（“），“G Df,u=申（z），攵W 当=爭Q）的值域是Df的子集时，称y=f 卩（z）（工 G Q）为函数u=卩（工）与夕=/（?/）的复合函数，变量u称为中间变量.【注】【注】函数的复合运算采用“代入法3.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成的且能用一 个式子表达的函数，称为初等函数.【注】【注】由于_/（#）=|攵|=丿7符合初等函数的定义，故/（J7）是初等函数.分段函数一般不是初等函数.1李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义4.几个常用的特殊函数（1）取整函数：夕=刃,其中刃表示不超过工的最大整数，且工一1 0,(2)符号函数：sgn工=v 0,夂=0,、一1,工 V 0.（3）狄利克雷函数:DQ）=什工为有理数,工为无理数.【注】狄利克雷函数常用于举反例，例如，由函数/（工）在工。处可导不能推得_/（工）在Zo的某邻域内连续，如/（z）=*D（z）.又如，由/（j：）在a,刃上有界不能推出fO在 _a,b 上可积，如 f（.x）=D（x）.5.基本初等函数（1）备函数口（2）指数函数（a 0且aH 1）.（3）对数函数：logaj;（a 0且a工1）.（4）三角函数：sin g,cos j:,tan j：,cot x,sec jccsc x.（5）反三角 函数：arcsin jrarccos x,arctan g,arccot x.二、函数的性质1.奇偶性若/（J7）=于（2）,则称/（J：）为偶函数；若/（J：）=一于（攵），则称fS 为奇函数，其 中工为定义域中的任意一点，且定义域关于原点对称.例如：y=sin jc是奇函数，y=cos x 是偶函数.2.有界性若存在M0,e D,有丨IWM,则称/&）有界.【注】常见的有界函数.（1）|sin x|W 1.（2）|arcsin x|号.（5）子 V arctan 工 V 号.(2)|cos 工|1.(4)0 M arccos#兀.(6)0 0,6 D,Te D且yQ+T）=g,则称fdx）是以T为周期的周期函数.4.单调性若于（攵）在区间上的任意两点劝，比（劝V攵2）处，有/（1）/（力2），则称g在区间上单调增加（减少）.典型例题分析璽型一函数的复合运算【例1】设/（-a：）=ex,/_cp（工）=1 x,且爭（z）$0,求爭（力）的定义域.2第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续分析求复合函数的中间函数及其定义域.2解 由已知，eP s=1 z,故p（jc）=/n（l 工）,从而ln（l z）$0,解得1 一工$1,于是伞（z）的定义域为（oo,0.ex,z V 1,4 l,g（）=h+2,o,i,心o,求心3 分析求复合运算，先采用“代入法”，再解出自变量的范围.（门2 gQ）Vl，（1）当g（Q 1时，分情况讨论如下：【例【例2设/（J7）=解解若攵 0,此时 f g(z)=e+,g(g)=鼻+2 V 1,即若 z$0,此时 f g(j7)=e_i,g(H)=j?1 1,即故工_1；X 1,弓；故。-V2.2 v 2,（2）当gQ）$1时，分情况讨论如下:若 J7 0,此时 f=攵+2,g(z)=_z+2$1,即若 z$o,此时 y g(Q=j?i,g(z)=X2 1 2：1,即工 V 0 9,故一1工0T 2 1 9工 A 0,L2 故心梶.X a 2,综上所述,心=彳严，工+2,：宀,x2 1,x 1,1 W 2 V 0 9 0 W h 72,x$罷.题型数的性质【例【例3】判别y=ln（z+丿1+工2）的奇偶性，并求其反函数.分析利用奇偶性的定义.解 由（工+1+工2）（1+工2 一工）=1,In(x+/1+a:2)=In-:=ln(j;+,x+Vl+j;2 故y=ln&+/1+)为奇函数.由y=ln(jr+丿1+j?)，有z+Ji+工2=，又由式，得Jl+/工=尹.两式相减，得y=ln（a:+/十J?）的反函数为x=-_.【例【例4】设/Xz）满足afS+好（g）=+其中a,b,c均为常数，且 S 的表达式并证明f3 为奇函数.分析 利用 S 满足的等式求fS，再利用奇函数的定义证明.解 由已知，