2023届中山市重点中学高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( ) A．2 B． C． D． 2．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ） A．7 B．14 C．28 D．84 3．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 5．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A．互联网行业从业人员中90后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 7．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ） A． B． C． D． 9．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知随机变量，且，则______ 14．若实数，满足不等式组，则的最小值为______. 15．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________． 16．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案. 方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次. 方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次. （1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率； （2）若某顾客获得抽奖机会. ①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望； ②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？ 18．（12分）有最大值，且最大值大于. （1）求的取值范围； （2）当时，有两个零点，证明：. (参考数据：) 19．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点. （Ⅰ）若，求曲线的方程； （Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上； （Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值. 20．（12分）已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若“，”为假命题，求的取值范围. 21．（12分）已知函数，它的导函数为． （1）当时，求的零点； （2）当时，证明：． 22．（10分）已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C． （1）求cosC的值； （2）若a＝3，c，求△ABC的面积． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系. 【题目详解】 由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即， 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题. 2、D 【答案解析】 利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【题目详解】 ， 解得． ． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 3、A 【答案解析】 由复数的除法求出，然后计算． 【题目详解】 ， ∴． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 4、D 【答案解析】 作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值 【题目详解】 解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB， 设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a， 所以x＝2a，则EF2＝2a， 由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2， 所以c2＝7a2， 则e 故选：D． 【答案点睛】 本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 5、D 【答案解析】 先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】 构造函数， 因为， 所以， 所以为奇函数， 当时，，所以在上单调递减， 所以在R上单调递减. 因为存在， 所以， 所以， 化简得， 所以，即 令， 因为为函数的一个零点， 所以在时有一个零点 因为当时，， 所以函数在时单调递减， 由选项知，， 又因为， 所以要使在时有一个零点， 只需使，解得， 所以a的取值范围为，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 6、D 【答案解析】 根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【题目详解】 在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的； 在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的，所以是正确的； 在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的； 在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多． 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7、D 【答案解析】 利用余弦定理角化边整理可得结果. 【题目详解】 由余弦定理得：， 整理可得：，. 故选：. 【答案点睛】 本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题. 8、C 【答案解析】 根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 9、D 【答案解析】 连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案. 【题目详解】 连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则，， 在等腰中，取的中点为，连接， 则，， 所以， 即：， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 10、B 【答案解析】 利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果. 【题目详解】 为定义在上的奇函数，. 当时，，， 为奇函数，， 由得：或； 综上所述：若，则的解集为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况. 11、A 【答案解析】 根据分段函数直接计算得到答案. 【题目详解】 因为所以. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力. 12、A 【答案解析】 画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【题目详解】 由于， , 由于， 令，， 在↗，↘ 故. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、0.1 【答案解析】 根据原则，可得，简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：随机变量，则期望为 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题. 14、5 【答案解析】 根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解 【题目详解】 画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示， 令，则.分析知，当，时，取得最小值，且. 【答案点睛】 本题考查线性规划问题，属于基础题 15、 【答案解析】 设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解． 【题目详解】 由题意，如图所示，设，则， 又由，，所以为的中点，为的三等分点， 则，， 所以 ． 【答案