2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求有一个选项符合题目要求.1（5 分）设集合 M=0，1，2，N=x|x23x+20，则 MN=（）A1 B2 C0，1 D1，2 2（5 分）设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则 z1z2=（）A5 B5 C4+i D4i 3（5 分）设向量，满足|+|=，|=，则 =（）A1 B2 C3 D5 4（5 分）钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=（）A5 B C2 D1 5（5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 6（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A B C D 7（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（）A4 B5 C6 D7 8（5 分）设曲线 y=axln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（）A0 B1 C2 D3 9（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为（）A10 B8 C3 D2 10（5 分）设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A B C D 11（5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（）A B C D 12（5 分）设函数 f（x）=sin，若存在 f（x）的极值点 x0满足 x02+f（x0）2m2，则 m 的取值范围是（）A（，6）（6，+）B（，4）（4，+）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分分.（第第 13 题题第第 21 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答，个试题考生都必须作答，第第 22 题题第第 24 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答）13（5 分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为 15，则 a=14（5 分）函数 f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为 15（5 分）已知偶函数 f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若 f（x1）0，则 x 的取值范围是 16（5 分）设点 M（x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则 x0的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17（12 分）已知数列an满足 a1=1，an+1=3an+1（）证明an+是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：+18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 DAEC 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 EACD 的体积 19（12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=20（12 分）设 F1，F2分别是 C：+=1（ab0）的左，右焦点，M 是 C上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N（1）若直线 MN 的斜率为，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|=5|F1N|，求 a，b 21（12 分）已知函数 f（x）=exex2x（）讨论 f（x）的单调性；（）设 g（x）=f（2x）4bf（x），当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值；（）已知 1.41421.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答三题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计则按所做的第一题计分，作答时请写清题号分，作答时请写清题号.【选修选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】22（10 分）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明：（）BE=EC；（）ADDE=2PB2 【选修选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为=2cos，0，（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y=x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标 六、解答题（六、解答题（共共 1 小题，小题，满分满分 0 分）分）24设函数 f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若 f（3）5，求 a 的取值范围 2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求有一个选项符合题目要求.1（5 分）设集合 M=0，1，2，N=x|x23x+20，则 MN=（）A1 B2 C0，1 D1，2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】求出集合 N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：N=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，MN=1，2，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2（5 分）设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则 z1z2=（）A5 B5 C4+i D4i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】根据复数的几何意义求出 z2，即可得到结论【解答】解：z1=2+i 对应的点的坐标为（2，1），复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（2，1），则对应的复数，z2=2+i，则 z1z2=（2+i）（2+i）=i24=14=5，故选：A【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础 3（5 分）设向量，满足|+|=，|=，则 =（）A1 B2 C3 D5 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论【解答】解：|+|=，|=，分别平方得+2 +=10，2 +=6，两式相减得 4 =106=4，即 =1，故选：A【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础 4（5 分）钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=（）A5 B C2 D1 【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC 的值代入求出sinB 的值，分两种情况考虑：当 B 为钝角时；当 B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosB 的值，利用余弦定理求出 AC 的值即可【解答】解：钝角三角形 ABC 的面积是，AB=c=1，BC=a=，S=acsinB=，即 sinB=，当 B 为钝角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即 AC=，当 B 为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即 AC=1，此时 AB2+AC2=BC2，即ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则 AC=故选：B【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 5（5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.75p=0.6，由此解得 p 的值【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.75p=0.6，解得 p=0.8，故选：A【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题 6（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A B C D 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4，组合体体积是：322+224=34 底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为：326=54 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=故选：C【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 7（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（）A4 B5 C6 D7 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论【解答】解：若 x=t=2，则第一次循环，12 成立，则 M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，22 成立，则 M=，S=2+5=7，k=3，此时 32 不成立，输出 S=7，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础 8（5 分）设曲线 y=axln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（）A0 B1 C2 D3 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】52：导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意义，即 f（x0）表示曲线 f（x）在 x=x0处的切线斜率，再代入计算【解答】解：，y（0）=a1=2，a=3 故选：D【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的