2023李永乐数学一《基础过关660题》解析册 .pdf

GUT*1.4幢 低 02金榜时代考研数学系列|V研客及全国数学基础过关660题学案册)数编著李永乐 王式安 武忠祥 刘喜波 宋浩 姜晓千 铁军 李正元 蔡燧林 胡金德基础三件套:数学复习全书基础篇+数学基础过关660题+数学历年真题全精解析基础篇与数学复习全书基础篇数学历年真题全精解析基础篇结合使用，夯实基础，先人一步点明考点，刷题指南，记录错题难题，补充薄弱考点H中国农业出版社CHINAAGRICULTURE PRESS全棉胸代考研数学名师团BAaix/|二、主3未、l i(工 一1)(jc2+?+!)2.【答案】A【分析】记U=X2，则X=1时=1，du苍=X(_2)=_ 1：一1 Ldjc所以 d_y=dz.3.【答案】C【分析】dx(/)=2zsin jc2.d石4.【答案】D【分析】由已知=InG+C,/(z)=InJ x=|jcd(/(j;)=z/(z)dx=21n x rx+C 答案选(D).5.【答案】B【分析】令 t 1,则j e72T_1 dj?=j eltdt (e7 ez)|=2e3,所以选(E).6.【答案】A【分析】+y,xy=y+b=(工+j?)2 一 2xy.u=x+y,-v xy,fu,v=u2 2u,或改 l己成 f(x,y)x2 2y.=o_ o 5 7.【答案】一arc；n z+存尹-+(arctan)2+C【分析】arctan x X2arctan x,ax 一Cretan 工1-x2djc.竺晋ch：=Jarctan xd(|)arctan xxh(1+J?)arctan xT1+arctan xxif 占)wCretan hx1+z2+x+Ci.竽字，dz=寺(arctan xY+C2，所以J 1十力 Zarctan x 小1+*严xarctan jc,1,x2 1 z 丄、2丨厂-十 ln；:T 一 (arctan x)十 C./1十力/&【答案】一9，13【分析】由题设可知f(l)=a+b+1=5/z(l)=3ojc2+2bx+1|工=1=3a+26+1=0严+b+l=5 I2ah2b+2=10 I a=9(3a+2b+l=0(3a+2b+1=0(b=139.【答案】0C2 f2【分析】zy(1z)(iz=j?d/(j?)=jef(QJ 0 J 02 C2/&)clz=4-4=0.0 Jo10.【答案】2j：y2cos(2j：-hy)2/3/sin(2z+y)92j:2ycos(2j：-h y)x2y2 sin(2jc+,y).【分析】由二元函数求偏导的链式法则dz dz du,dz dv o 2 二=二二十二 =Zucos v y u sin v dx du dx dv dx2=2jcj/2 cos(2jt+y)一 2j：2y2 sin(2jc+y)dz dz du,dz dv o 2=二-+=/况cos v x 一 u sm v dy du d y dv dy=2x2ycos(2x+y)y2 sin(2j?+y)1 6 吕寺数字题【答案】0【分析】由e(a,+s),y&+2)*工)=/(2)可知，/(工)是以2为周期的周 期函数的充分必要条件为7(2)=0.因为 Mx e(X,十*),/&+2)*2)=f(2),所以/(2)=/(-1+2)-/(-I)=/(I)1).而函数*工)为定义在(-OO,+oo)的奇函数，故于(2)=2/(1).因此当且仅当/(1)=0时是以2为周期的周期函数.0,|z|V 施2【答案】4(4,4 (4 jc2)2,0,W x W/2I 2 I 荷【分析】解不等式丨/()|2,即丨4-X2|2,解得施冬乞三屈或一#-72,所以当血 x冬頁或底 x三一雄时,/(/(je)=4(4 jr2)2,当|x|76时)=0.3【答案】72【分析】于(”+m=分+4=2,所以/(J7)=x2 2,lim/(j;)=7.工一3难吗？不会做？可以看数学复习全节基础蕩 高数第一章函数圾除连绽X4【答案】e2【分析】因为lim coscos 0=1,所以只须求lim fsin +cos 工-+oo JC 3C方法1转化为求这是指数型(1)极限，用求指数型极限的一般方法:J Hm 占11(sin#+cos)-+oot=-1/2,1 力-ln(sin 2t+cos)lim jcln sm 十 cos =lim-工f+00 OC JC/t A+t洛必达.2cos 2t 一 sin t=“.jim _._ _-=法则o+sin 2t+cos t=J=eSJ=(e2)1=e2.7 数学基础过关660题数学一（答策册）方法2 用求f型极限的方法:J=limX-+oo IlimgX-*-+(S1n|+cos|-l)+i 严+3+k)x(sin吕+cos1)1其中lim x(sin2 丄 1 i 十 cos 1t=Tx-4-oo X X/洛必达法则=J=e2,/=(e2)1=e2.1.sin 2t+cos t 一 1lim-i0+tlim(2cos 2t 一 sin t)=2o+51I【答案】-1+l=T-【评注】这里先作恒等变形后利用了等价无穷小因子替换:（1+i）a 1 M（/f 0）.方法2 这是求X*型的极限，先转化为#型极限，然后再用洛必达法则.Xt=-丄 _1_=Um=limU(l+z)-to+t(-o+Lb 6=丄+丄=丄6 6 3 6【答案】0【分析】这是#型极限，先作如下变形:j;sin x1 2sin x+sin 2x!吧-p-可用的方法是洛必达法则（计算较繁）与泰勒公式.注意泰勒公式sin x-7-和+心）（十0）（左项系数为0）=xsin jc2=工(工2+o(jc4)=jc3+o(z4)一 2sin x=一 2(h-+z3+o(jc4)=一 2工+-yj?3+o(j?)8 高等数学就要把sin_z展开到*项:sin=2jc *(2工)3+o(z4)=2工一工3+o(j?)o 3相加得jcsin x2 一 2sin x+sin 2工=0+o(z4)(z f 0)因此7 _ lim。丐)=0HfO X【评注】如果求r jcsin j;2 2sin x+sin 2xI=hm-s-Zf 0 Xsin jc=x 4-工3+o(h5)(z f 0)6 IzO然后可得j;sin x2 2sin x+sin 2jc=4-z5+o(h5)(z f 0)4于是壬 z5+o(z5)I=lim-z-=+0=z 2$4 47【答案】当n!【分析】方法1用等价无穷小因子替换/1 x 一 1=(1+工)弓 一 1 (jc 0)m得 COS X 1=/1+COS X 1 1 工-(JC f 0)9 于是mJ=(yCOS X 一)+)(ATcOS 工一)+).(/(cos 工 一)+)D(1COSZ)L1limZf 0cos x 1X/(cos 工)+1COS JC 一 1)+1 1V(cos 力 一)-pT cos jc 一 1cos x 一 1(COS J?1)=lim-0 COS X 一 1=*X X X 丄Z o n方法2 用等价无穷小因子替换:ln(1+t)(0)(cos 01)(cos 工一1)ncos X 一 1cos x 一 1XX1X1n!(cos h)齐 一 1 In(cos 工)贏 一 1+1=In cos x Qx 0)m因此I=lim(cos 丄一 1)(pcos 工一1)(/cos 工一1)TfO(cos X 一 1)T_ 曲*Jcos zln jcos hIn cos 工TfO(cos X l)w_1 9 数学基础过关660题数学一（答案册）方法3于是【分析】其中因此,*X XX 丄 limZ 3 n 0ln”T cos j:（cos x 1）T=A limn!oln（cos h 1）+1cos x 1n1用极限的四则运算法则，这是n 1个极限的乘积，分别求每个#型极限lim 1 7cos 2 o 1 一 cos xlimx-0（cos J；）1 sin x msm xlim 1 4cos 工%|m 1 /cos z 工-o 1 一 cos x x-0 1 cos xlim 1 cos 7X0 1 COS X|x|x|xn1 n【答案】e这是00。型极限，先作恒等变形1=1血討（1+吕）=elime?In（1+7lim 1+JE-OO X，Z?等价无穷小 e，）因子替换lim=0工亠8 2xex洛必达法则（x-*oo）又891 n!丄5=m2，3，?）【答案】1【分析】x sin（血）/_TdtXt=Ssin$止X3 S 5=I=lim0sm s i-as sX2limx-0洛必达 法则 lim 导 Xx 工0 2sm xL10【答案】In 2 2 3sm E、/sm 尢 2-z X Zx-X ixV x xlim-X0 LXsm 工3%工=寻 x 1 X 0=1.6Z3【分析】lim x2（2 一 2审）=lim 2审（2厂审 一 1）+oo R-+oo=lim x2（2工（屮）1）10lim jc2In 2J7+1)=In 2.高等数学&6 G【答案】n【答案】1lim xa ln(j?2+x)【分析】lim(jr2Z-*()+=+Q=e=e=1122【分析】方法1这是oo o型的数列极限，转化为求#型的函数极限，然后用洛必达法则.2arctan 一 arctannnI=limn-*oo2n1limlo+2arctan 2工 一 arctan-:1十力limx2_ 1+4jc2|4*(1+龙严(1+Climlo+2工(1+莎一1limZ-*0十工(1+4/)(1+刃2+心2)2+h-=2(1+心)(1+工)2+G)22(1+je)2工方法2 这是oo 0型极限，为简化计算设法寻求arctan -arctan 一的等价无穷小,n 72 十 1它是 fO=arctan x2arctan arctann 十1的改变量/()/(存j).由拉格朗日中值定理，它可改写成2-0-4!)=(1-1i+e2272+1n(n+1)n(n+1)n f oo)22其中当77 十 1 n因此，/=limn2 7?f X)时:-2.oo+1)8【评注】设 lim=oojim%=Umzn=a.woo n*-cc 一*8求形如I=limxE/(j;a)f(zn)”一oo的数列极限(*0型)，可考虑用拉格朗日中值定理，转化为求I=lim#”(y Z)/($,)8其中g”在；y”与zn之间.11【分析】显然Qxn=2(1丁”-1)1=2 jc+i=f(x)Cn=1,2,3,)单调.1+因此z”收敛，记limz”=a.九f 8对递归方程九=土 两边取极限得a=耗&，艮卩1 十 Xn-i 1 十 aa2 一 a 一 1=0解得a=-*【评注】也可按定义证明8单调考察_L_(2_)=-1.1+久”丿 1+/1+_Z”_1 1+z”_JSyy_(l+g)(l+)1,2,3,)又q=1 V久2=j 由归纳法可知工”/.14【分析】【答案】2前1+工十3）由 lim-口=3X0 工()当工-0时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，进一步有lim+3）=0.X0 X/因此，当工0时屛1+工+冲卄3 X/X乂+心）所以（1）可写为lim-=3,因此lim 了号=2.x.0 00 工-0*2715【答案】【分析】lim El刃2十/3=lim攵f 0 3C h-*0rln(1 工)+工+jcf(工)一工 L x2 x2而limrf 0ln(1 工)+z，所以limx-0于（工）一11712x116【答案】In 3【分析】1，-In x.(In x)*.,.一 1-丄 1“丁 lim lim+oO X-4-OO17【答案】一i，o【分析】由泰勒展开，当工-OO时,=_沖_柑+心)所以 a=1,6=0.18【答案】P【分析】因为丨z I是分段函数，分界点是z=0,又lime*不存在，但lim=+oo,lime-=工-*o+Hf 0一0,所以要分别求左、右极限.lim工-()+i-a+bexlim-