2023张宇《基础300题-概率论》.pdf

张宇数学教育系列丛书一上启航教育同烝的皿卧本书配套习题课 扫码听讲O主编张宇基砂和聽(【概率论与数理统计分册】张宇数学教育系列丛书 一-基型和O主编张宇【概率论与数理统计分册 D张宇数学教育系列丛书编委(按姓氏拼音排序)蔡燧林 陈静静 方春贤 高昆轮 胡金德 贾建厂李志龙刘硕 柳叶子吕倩 秦艳鱼 沈利英 史明洁 石臻东 王慧珍 王燕星 吴金金徐兵 严守权亦一畲色曾凡畲色 张乐 张青云 张婷婷 张宇 郑利娜朱杰习题演练第1讲 随机事件与概率.3第2讲 一维随机变量及其分布.4第3讲 多维随机变量及其分布.6第4讲 随机变量的数字特征.8第5讲 大数定律与中心极限定理.10第6讲数理统计.11参考答案第1讲 随机事件与概率.17第2讲 一维随机变量及其分布.19第3讲 多维随机变量及其分布.22第4讲 随机变量的数字特征.27第5讲 大数定律与中心极限定理.31第6讲数理统计.33习题演练第7讲随机事件与概率1.1设A,B,C是三个事件，则A,B,C中恰好有一个发生的事件是().(A)AUBUC(B)ABUBCUCA(C)ABCUABCUABC(D)QABJBCJCA1.2在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于半”的概率为1.3袋中有3个新球，2个旧球，有放回抽取两次，每次抽取1个，则第二次抽取到新球的概率 为().2 3 2 3(a)4(b)4(c)4(D)圭4 5 5 101.4已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则和事件AUB的概率P(AUB)=_.1.5设随机事件A,B及其和事件AUB的概率分别是0.4,0.3和0.6.若耳表示B的对立事件，那 么积事件屈的概率P(AB)=_.1.6 已知 P(A)=P(B)=P(C)=+，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=，则事件 A,B,C 全不发生的4 16概率为_.1.7 已知两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=_.1.8设工厂A和工厂B的产品次品率分别为1%和2%,现从由A厂和B厂的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是_.1.9对于任意两个事件A和B,下列说法正确的是().(A)若AB#0,则定独立(B)若ABM0,则有可能独立(C)若AB=0,则定独立(D)若AB=0,则A,B 定不独立1.10 设A,B,C为三个相互独立的事件，且OVP(C)V1,则在下列给定的4对随机事件中不相互独 立的是().(A)AUB与 C(B)AC与巴(C)AUBC(D)AB-C1.11 随机事件A,B相互独立，已知只有A发生的概率为只有B发生的概率为则P(A)考研数学基础30讲第2讲一维随机变量及其分布2.1设是连续型随机变量X的概率密度，FQ)为其分布函数，则().(A)O/()0,60)bf2(j?),z0为概率密度，则a,b应满足().(A)2a+36=4(B)3a+26=4(C)a+6=1(D)a+6=2(Ax,1zV2,2.7 设 X/()=Jb,2WzV3,且 P1VXV2=P2XV3.o,其他，求：常数A,B；分布函数F(z)；P2XV4.2.8设随机变量X的概率密度为(2工，0工1,2=1。，其他习题演练以Y表示对X的三次独立重复观察中事件岀现的次数，则PY=2=_.2.9假设测量的随机误差XN（0,102）,求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对 值大于19.6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.注：(1.96)=0.975,另附表A1234567 eA0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001 210设随机变量X的概率密度为几则2X的概率密度为几 5)=()1 1 2(A)门二 2、宀；、2(C)7t(1+4j/2)7t(4+j/)2 7r(4+j/2)2.11设XE(*),令Y=minX,2,求Y的分布函数F(y).(D)27t(l+b)2.12设X是连续型随机变量，其概率密度为且丄T/（工）斗丄T、o.,0=工 3工5,其他，XVI,1X0,Q0,0,其他.求：(l)/x|Y(ly)，/Y|X(jdx)；(2)PX2|Y1.3.7已知随机变量Xt与X2的概率分布分别为一10101X】111,X?11、TTT且 PX1X2=O=1.(1)求X与X?的联合分布律；(2)问X.与X2是否独立？为什么？3.8设(X,Y)在区域D=(z,y)|工十1上服从均匀分布，求(X,Y)的边缘概 率密度几(工)，/y()，并讨论X和Y的独立性.3.9设(X,Y)的分布律为则随机变量Z=X+Y的分布律为_3.10设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为(6工，OWzVlOWyVlI,/()=【0，其他.求随机变量Z=x+Y的概率密度.3.11设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(z,y)|lW_zW3,1=)=3上的均匀分布，求随 机变量u=丨xY I的概率密度p(u).3.12设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布,V=minX,Y.求V的概率密度 fvM.3.13已知随机变量X,Y相互独立，X服从标准正态分布,Y的概率分布为y-11p13T4求Z=XY的概率密度fM.考研数学基础30讲随机变量的数字特征4.1设连续型随机变量X的概率密度为9十云)辽(_*，+=)，则 EX().(A)等于0(B)等于1(C)等于兀(D)不存在4.2已知随机变量X,Y相互独立，且都服从泊松分布，又知EX=2,EY=3,则E(X+Y)2=().(A)10(B)25(0 30(D)514.3已知连续型随机变量X与Y有相同的概率密度，且(3工妙，0工,/(工)=9(00),0,其他Ea(X+2Y)=4，则 a=().u(A)y(B)y(C)y(D)y4.4设随机变量X的概率密度为/kjca,00)-又知EX=牛，则Ha分别为4.5设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=0,rV 1,0.2,1WzV2,0.5,2乞5,19则EX=4.6设随机变量X的概率密度为/&)=$*、0,0VzV2其他，则E伶)=4.7设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为X01P11T2公众号 陈叨叨杂货铺 免费分享习题演练则随机变量Z=maxX,Y的数学期望EZ=_(3 10 3 2二/1 4.8 设(X,Y)f(x,y)=0,必有().(A)P|X-C|e=E(|XC|)(B)P|X-C|e(|XC|)e(C)P 1 xeggE(丨X二少(D)P|Xeg冬彗e 4.12设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为p(0p0,有旦 p|+$x+叫0)的简单随机样本,是未知参数，戈是样本均 值，则下列各式是统计量的为()(A)(B)工(X：“)2(C)X(D)(Xp)?+/6.2设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,3,而&,Xg和匕，,丫9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U=x+-+x9心+比服从_分布,参数为6.3设XNZ)，WX是来自总体X的样本，右3)服从S分布,则(c,)为().(A)(V3,3)(B)(,3)俘,4)(D)(g)6.4设&,Xz,-,X(/?2)为来自总体XN(O,1)的简单随机样本，灭为样本均值，&为样本方 差，则().(A)n XN(O,1)(B)wS2 才()(0出3心1)(D)F(l,”_)工X1=25 56.5设心，夂2，広5为来自总体N(,/)(C7O)的样本观测值，若 另I=5,工云=9,则样本方i=1 i=1差 =_.6.6设X,X2,X3，X4为来自总体N(p/)O0)的简单随机样本，则统计量丫=(X：盯 服1=1从_分布，其自由度为_6.7设X-X2,，X”是来自总体N(p,/)(“0)的简单随机样本，记统计量T=丄 X=则77 =1ET=_.6.8从装有1个白球和2个黑球的罐子里有放回地取球，记10,取到白球,X(U,取到黑球，这样连续取5次得样本X,X2，X3，X4，X5.记Y=X|+X2+“+X5,求：(1)Y 的分布律,EY,E(0)；考研数学基础30讲（2）EX,E（S2）（其中乂，&分别为样本X!，X2,-,X5的样本均值与样本方差）.6.9 口袋里有N个大小相同重量相等的球，每个球上写上号码 U2,，N,从中任取一个球，设其号码为X,又X|X”（MN）为取自总体X的简单随机样本，来为样本X|X”的样本均值，将EX,DX表示为N的函数.6.10设总体X服从参数为入的指数分布，X|,X2，“，X”是取自总体X的一个简单随机样本，则参）.数入的矩估计量为（A）A(B)T(OX(D)yX设玄=弘（X】，X2,，X”），N=N（X“X2,X”）是未知参数0的两个估计量，则）.（B）充分非必要条件（D）既非充分也非必要条件).6.11（仅数学一）D久CD/是从比弘更有效的（A）必要非充分条件（C）充分必要条件6.12（仅数学一）设Xt,X2,X3取自存在有限数学期望和方差/的总体X,下列统计量中不为总 体X数学期望戶的无偏估计量的是（A）几=*X】+X2+yX33加2=寺&+存2+备X3(C)=yX1+yX2+yX31 9 1(D)知=*X】+扌X2誇&6.13设X“X2,，X”是取自总体X的一个简单随机样本，X的概率密度为/In 9,0,工$0,工0,0（91,求参数9的矩估计量.6.14设总体X服从参数为p（0Vpl）的01分布，X】，X2“，X”是取自总体X的一个简单随 机样本，求参数p的最大似然估计量.6.15设总体X的概率分布为X0123P621一3020230(1 0)其中0（OV0V*）为未知参数，给定总体X的样本值为3,1,3,0,3,1,2,3,求参数0的最大似然估计值.6.16设某种元件的使用寿命X的概率密度为（2厂一，工$0,/（工;0）=|0,x140cm.由样本观察值计算得夂=170 cm,s=16,a=0.O5,to.o5（15）=1.75,则检验的结果为（）.（A）接受H。，可能会犯第二类错误（B）拒绝H。，可能会犯第二类错误（C）接受H。，可能会犯第一类错误（D）拒绝H。，可能会犯第一类错误13参考答案随机事件与概率1.1(C)解 事件A,B,C中恰好有一个发生，是指其中必有一个发生同时另外两个不发生，因此,所述事件应表示为ABCJAB CJABC.另夕F，A U B U C表示三个事件中至少有一个发生,ABUBCUC瓦表示三个事件中至少有两个同时不发生，又由0 ABUBCUCA=ABUBCUCA=ABUBCUCA,则表示三个事件中至少有两个同时发生，综上讨论，应选(C).1 71.2訂(或0.68)解 设这两个数为工和y,则(工)的取值范围为图中正方 形G,那么“两数之和小于号”即“工十”，此时(工,丁)的取值范围为图中阴影部 分D.本题为几何概型求概率题，所求概率为p=篦蠶.而G的面积为1,D的面积为l-yX(y)=羡，故 P=|j(或 0.68).1.3(B)解本题是古典概型中连续抽取问题的概率计算.连续抽取通常分有放回抽取和无放回抽取两种方式，其中，有放回抽取，每次抽取都是在袋中新、旧球的数量不变的情况下进行，每次抽取结果 相互独立，因此，第二次抽取到新球的概率为辛，故选(B).0【注】若是无放回抽取，设A(=l,2,，5)表示第d次抽取到新球，则有A2=A1A2UA?A2,又j1)=辛9卩(人1)=彳9于是由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A；)P(A2|A7)-yX-|-+yXy=y,结果表明第二次抽取到新球仍然与第一次是否抽取到新球无关，这就是所谓的“抽签原理”.p(A R)1.4 0.7 解 由 0.8=P(B|A)=?y，得 P(AB)=0.8P(A)=0.8X0.5=0.4.故P(AUB)=P(A)+F(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7.1.5 0.3 解 由已知得 0.6=P(AU