1996-2014年全国初中数学竞赛试题及答案.pdf

第 1页1996年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题第一试第一试一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分42分，每小题分，每小题7分）分）AMNBM=NCMND不确定A有一组B有二组C多于二组D不存在3如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC，则阴影部分的面积等于 4设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于A4B8C6D05如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的A内心B外心C重心D垂心6如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有A4个 B8个C12个D24个二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分28分，每小题分，每小题7分）分）2如图，在ABC中，AB=AC，ABN=MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于_第 2页3设1995x3=1996y3=1997z3，xyz0，且4如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60至ABCD的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是_第二试第二试一一、（本题满分（本题满分20分）分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数二二、（本题满分（本题满分25分）分）设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：OPF=OEP三三、（本题满分（本题满分25分）分）已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值1996年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案第一试第一试第 3页一、选择题一、选择题1B2A3B4D5A6C二、填空题二、填空题第二试第二试一、一、解解据 题 意 m+11=n+9，且 整 除 mn+9m+11n+145，而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得综上可知，每人捐款数为25元或47元二、二、证证作AD、BO的延长线相交于G，OE三、三、解解据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1，0)中，故经检验，符合题意，a+b+c=11最小第 4页1998 年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题 6 分，共 30 分）1、已知 a、b、c 都是实数，并且cba，那么下列式子中正确的是（）（）bcab（）cbba（）cbba（）cbca2、如果方程0012ppxx的两根之差是 1，那么 p 的值为（）（）2（）4（）3（）53、在ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC 的面积等于（）（）12（）14（）16（）184、已知0abc，并且pbacacbcba，那么直线ppxy一定通过第（）象限（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四5、如果不等式组0809bxax的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数 a、b 的有序数对（a、b）共有（）（）17 个（）64 个（）72 个（）81 个二、填空题：（每小题 6 分，共 30 分）6、在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF=_。7、已知直线32 xy与抛物线2xy 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于_。8、已知圆环内直径为 acm，外直径为 bcm，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_cm。9、已知方程015132832222aaxaaxa（其中 a 是非负整数），至少有一个整数根，那么 a=_。10、B 船在 A 船的西偏北 450处，两船相距210km，若 A 船向西航行，B 船同时向南航行，且 B 船的速度为 A 船速度的 2 倍，那么 A、B 两船的最近距离是_km。三、解答题：（每小题 20 分，共 60 分）11、如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=1，A=900，点E 为腰 AC 中点，点 F 在底边 BC 上，且 FEBE，求CEF 的面积。12、设抛物线452122axaxy的图象与 x 轴只有一个交点，（1）求 a 的值；（2）求618323aa的值。ABCEF第 5页13、A 市、B 市和 C 市有某种机器 10 台、10 台、8 台，现在决定把这些机器支援给 D 市 18台，E 市 10 台。已知：从 A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 300 元和 700 元；从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元。（1）设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，求总运费 W（元）关于 x（台）的函数关系式，并求 W 的最大值和最小值。（2）设从 A 市调 x 台到 D 市，B 市调 y 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，用 x、y 表示总运费 W（元），并求 W 的最大值和最小值。解解 答答1根据不等式性质，选 B2由=p2-40 及 p2，设 x1，x2为方程两根，那么有 x1+x2=-p，x1x2=1又由(x1-x2)2=(x1x2)2-4x1x2，3如图 3271，连 ED，则又因为 DE 是ABC 两边中点连线，所以故选 C4由条件得第 6页三式相加得 2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有 p=2 或 a+bc0当 p=2 时，y=2x2，则直线通过第一、二、三象限y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限故选 B，的可以区间，如图 3272+1，382，383，388，共 8 个，98=72(个)故选 C第 7页6如图 3273，过 A 作 AGBD 于 G因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以 PEPF=AG因为 AD=12，AB=5，所以 BD=13，所7如图 3-274，直线 y=-2x+3 与抛物线 y=x2的交点坐标为 A(1，1)，B(-3，9)作 AA1，BB1分别垂直于 x 轴，垂足为 A1，B1，所以8如图 3275，当圆环为 3 个时，链长为第 8页当圆环为 50 个时，链长为9因为 a0，解得故 a 可取 1，3 或 510如图 3276，设经过 t 小时后，A 船、B 船分别航行到 A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以11解法 1 如图 3277，过 C 作 CDCE 与 EF 的延长线交于 D因为ABEAEB=90，CEDAEB=90，所以 ABE=CED第 9页于是 RtABERtCED，所以又ECF=DCF=45，所以 CF 是DCE 的平分线，点 F 到 CE 和 CD 的距离相等，所以所以解法 2 如图 3278，作 FHCE 于 H，设 FH=h因为ABEAEB90，FEH+AEB=90，所以 ABE=FEH，于是 RtEHFRtBAE因为所以12(1)因为抛物线与 x 轴只有一个交点，所以一元二次方程第 10页有两个相等的实根，于是(2)由(1)知，a2=a1，反复利用此式可得a4=(a1)2=a22a+1=3a+2，a8=(3a2)2=9a212a4=21a13，a16=(21a+13)2=441a2546a169987a610，a18(987a610)(a1)987a21597a610=2584a1597又因为 a2-a-1=0，所以 64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1所以 a18323a6=2584a1597323(-8a13)=579613(1)由题设知，A 市、B 市、C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，x，18-2x，发往 E 市的机器台数分别为 10-x，10-x，2x-10于是W=200 x300 x+400(18-2x)800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800 x17200第 11页W=-800 x17200(5x9，x 是整数)由上式可知，W 是随着 x 的增加而减少的，所以当 x=9 时，W 取到最小值 10000 元；当x=5 时，W 取到最大值 13200 元(2)由题设知，A 市、B 市、C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，y，18-x-y，发往 E 市的机器台数分别为 10-x，10-y，xy-10于是W=200 x+800(10-x)+300y700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)=-500 x-300y+17200W=-500 x-300y+17200，且W=-200 x-300(x+y)+17200-20010-3001817200=9800当 x=10，y=8 时，W=9800，所以 W 的最小值为 9800又W=-200 x-300(xy)17200-2000-30010+17200=14200，当 x=0，y=10 时，W=14200，所以 W 的最大值为 14200第 12页19991999 年全国初中数学竞赛试卷年全国初中数学竞赛试卷一、选择题（本题共一、选择题（本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分每小题均给出了代号为分每小题均给出了代号为 A A，B B，C C，D D 的四个结论，其中只有一个是正确的请将正确答案的代号填在题后的括号里）的四个结论，其中只有一个是正确的请将正确答案的代号填在题后的括号里）1一个凸 n 边形的内角和小于 1999，那么 n 的最大值是（）A11 B12 C13 D142某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米，按每立方米 0.8元收费；如果超过 60 立方米，超过部分按每立方米 1.2 元收费已知某用户 4 月份的煤气费平均每立方米 0.88 元，那么 4 月份该用户应交煤气费（）A60 元 B66 元 C75 元 D78 元3已知，那么代数式的值为（）ABCD4在三角形 ABC 中，D 是边 BC 上的一点，已知 AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（）A30 B36 C72 D1255如果抛物线与 x 轴的交点为 A，B，项点为 C，那么三角形 ABC的面积的最小值是（）A1 B2 C3 D46在正五边形 ABCDE 所在的平面内能找到点 P，使得PCD 与BCD 的面积相等，并且ABP 为等腰三角形，这样的不同的点 P 的个数为（）A2 B3 C4 D5二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分）分）7已知，那么 x2+y2的值为8如图 1，正方形 ABCD 的边长为 10cm，点 E 在边 CB 的延长线上，且 EB=10cm，点 P 在边 DC 上运动，EP 与 AB 的交点为 F设 DP=xcm，EFB 与四边形 AFPD 的面积和为 ycm2，那么，y 与 x 之间的函数关系式是（0 x10）9已知 ab0，a2+ab2b2=0，那么的值为10如图 2，已知边长为 1 的正方形 OABC 在直角坐标系中，A，B 两点在第象限内，OA与 x 轴的夹角为 30，那么点 B 的坐标是第 13页11设有一个边长为 1 的正三角形，记作 A1（如图 3），将 A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作 A2（如图 4）；将 A2的每条边三等分，并重复上述