2023余丙森《概率论语数理统计辅导讲义》.pdf

新文直全国考研数学培训用书 o森哥考研数学O 与数理统什辅导併义适用：基础、强化题型拆解详尽编著*余丙森J/0难题解法多祥口碑教材:近百万考生的上岸之选http:/WWW.SI NOPEC-PRESS.COM新文直森哥考研数学概率论与数理统计 辅导讲义余丙森编著中圜5祀出駅朮图书在版编目(CIP)数据森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义/余丙森 编著.一北京：申国石化出版社,2021.3(2021.11重印)ISBN 978-7-5114-6191-9I.森n.余m.概率论-研究生-入学 考试-自学参考资料数理统计-研究生-入学考试-自 学参考资料IV.021中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第047296号未经本社书面授权，本书任何部分不得被复制、抄袭,或者 以任何形式或任何方式传播。版权所有，侵权必究。中国石化出版社出版发行 地址:北京市东城区安定门外大街58号 邮编：100011 电话：(010)57512500 发行部电话：(010)57512575 http：/www.sinopec- E-mail：press 三河市航远印刷有限公司 全国各地新华书店经销787毫米x 1092毫米16开本15.5印张386千字2021年3月第1版2021年11月第3次印刷 定价：4&00元概率论与数理统计是一门非常重要的数学基础课 程，也是多数院校理工科学生的必修课，在考研数学（数学一、数学三）中的占比大约为20%20%。本书依据新 考研数学大纲的考试要求编写而成，旨在为参加全国 硕士研究生招生考试（数学一、数学三）的考生提供一 本实用且精炼的辅导讲义。本书在讲稿的基础上对知识点进行了补充和丰富，精心提炼后最终编成。全书分为基础篇和强化篇两个 部分。其中基础篇共七章，是根据新考研数学大纲要 求，在逐条分析大纲内容的基础上，选取了历年真题 中考查较多的知识点，讲解了部分基础和中等难度的 知识点及例题；强化篇共八章，这部分对本章内容进 行全面总结，以一些重点的类型为主，搭配多道例题 总结解题方法，这些例题十分贴近研究生招生考试真 题，难度和综合性又略在考研难度之上，最后配有更 加适合考研的综合性题目供考生进一步巩固。由于考 研数学概率论与数理统计针对数学一和数学三的要求 不同，强化篇第七章设计有习题（一）和习题（二），其 中习题（二）仅针对数学一的考生。希望考生正确对待书中例题，当做习题一样独立 思考后完成，确实没有思路再去看答案，保证将书中 的每道题都弄明白、搞清楚，并且要按时复习这些 题目。本书末附有真题，包含了 2011201120212021年硕士研究 生招生考试数学真题中的概率论与数理统计题目及详 尽的解析，希望考生做完这1111年真题后，多分析、多 归纳、多总结，掌握各种常考题型。限于本人能力，书中难免存在不足之处，欢迎广大学子、同行专家 批评指正。欢迎同学们扫码关注微信公众号和微博，我会在微信公众号不定期 发布书内重难点专题讲解视频。余丙森2021年11月回余丙森微信公众号余丙森新浪微博 2 001010012016028029033047050055062064第章術随机事件及其概率基础练习题基础练习题解答弟一早術一维随机变量及其分布基础练习题基础练习题解答068第五章倆大数定律和中心极限定理第三章倆第六章術二维随机变量及其分布072数理统计的基本概念基础练习题078基础练习题基础练习题解答079基础练习题解答第四章俪第七章倆数字特征081参数估计基础练习题085基础练习题基础练习题解答085基础练习题解答第一章俩第五章術087随机事件及其概率162大数定律和中心极限定理091强化练习题092强化练习题解答163强化练习题164强化练习题解答弟一早術096 一维随机变量及其分布第六章術166数理统计的基本概念103强化练习题106强化练习题解答171强化练习题173强化练习题解答第三章俪112二维随机变量及其分布第七章稠178参数估计125强化练习题129强化练习题解答181强化练习题（一）183强化练习题（一）解答191强化练习题（二）第四章術138数字特征151强化练习题154强化练习题解答193强化练习题（二）解答第八章196假设检验199练习题200练习题解答n戶附录203 20112021年考研数学概率统计 真题217 20112021年考研数学概率统计 真题解答 2 第一章随机事件及其概率ill考试要求1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事 件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概 率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以 及贝叶斯(Bayes)公式.3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立 重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.一、样本空间、随机事件及相关运算(一)随机事件随机试验E的特征(1)在相同的条件下，试验可重复进行；(2)试验所有可能结果事先已知；(3)每次试验的具体结果事先未知.样本点 随机试验的每一个基本可能结果称为一个样本点.样本空间n 随机试验的所有样本点全体组成的集合称为样本空间.随机事件 数学上称样本空间的子集为随机事件，常用大写的字母 或A,G=1,2,)等表示事件.在实际问题中，随机事件指可能 发生，也可能不发生的随机现象.若试验出现的样本点3 6 4,就称A发生；否则，称A不发生.基本事件：由单个样本点组成的集合称为基本事件；样本空间也称为基 本事件空间.必然事件X2 每次试验中必然发生的事件称为必然事件，即为全集；不可能事件0 每次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件，即 为空集.(-)事件的关系与运算事件的三种关系与四种运算(1)子事件(事件的包含)A UE：事件A发生必导致事件B发生.(2)相等事件A=B：A CZ B且A二B.(3)并事件A U 中孚少有一个发生”，也称为事件4与事件Bn 的和事件;类似地，称U 为个事件人1,人2,的和事件；称U 为森哥考研数学 概率论与数理统计辅导讲义基础篇读书冷 可列个事件A1,A2,的和事件.笔乜壬丿-孕(4)交(积)事件AB：UA,B都发生”,也记做A 类似地，称介为”个&=1事件A1?A2，-,A,的积事件;称n人 为可列个事件A,A2，-的积事件.怡=1(5)对立事件：若A U B 且AB=0,则称事件A与事件B互为逆 事件.又称B为A的对立事件，记为A=B.(6)差事件A B：“A发生，而B不发生”.A B A AB AB.(7)互不相容(互斥)事件:AB=0,指的是事件A与事件不能同时发生.1.基本事件是两两互不相容的.2.三种关系是指：包含、相等、互不相容；四种运算是指：和、积、差、逆.事件的运算律交换律:A U B U A,AB=BA；结合律：(A U B)U C=A U(B U C),(AB)C-A(BC)；吸收律：若A CZ B,则有AB=A,A U B=B；分配律：(&u B)n c=(a n o u(B n o；(A n B)u c=(4 u o n(B u C)；德摩根律(对偶律)：A u B=AB,AB=A u B.例 W/J 设是任意两个随机事件，化简(A U B)(A U B)(A U B)(A U B).险(A U B)(A U B)(A U B)(A U B)=E(A u B)(A u B)1 n(A u B)(A U B)=:(a n A)u b n:(a n A)u b)z=(0 U B)n(0 U B)=B n B=0.例 叵迓7 个工人生产了 3个零件，以事件=1,2,3)表示她生产的第i个零件是合格品，试用A,(f=1,2,3)表示下列事件：(1)只有第1个零件是合格品Bi；(2)3个零件中只有1个合格品B2；(3)3个零件中有1个合格品B3;(4)第1个是合格品，但后两个零件中至少有1个次品B4；(5)3个零件中最多只有两个合格品B5；(6)3个零件都是次品B6.理(1)5=A1A2A3.(2)2 A!A 2 A 3 U A i A 2 A 3 U A,A 2 A 3.(3)3个零件中有1个合格品是指至少有1个合格品，故b3 u a2 u a3.(4)131=A (A 2 U A 3)A.i(A2A 3)=A A 2 A 3=A)A f A 2 A 3.第一章随机事件及其概率(5)法一 3个中至少有1个不合格品，艮=Ai U A2 U A3.法二 3个都是合格品的对立事件，艮=瓦忑石.(6)法一 B6 AA2A3.法二 3个中至少有1个合格品的对立事件，illB6=Aj u a2 U a3.本题的实质是考查用事件的运算符号来描述用普通语言表达的随机 事件，以便今后运用公式计算概率.同时，占5与B6的两个结果，验证了德 摩根律的成立.另夕卜，从b5,b6的结果都可以发现，一个事件往往有多个等 价的表达方式，在以后的概率计算中，要选择一个容易利用概率公式进行 计算的表达方式.如在b8的两个表达式中，第一种两两互不相容的分解表 达式一般是较适合概率计算的.二、概率和条件概率，古典概型和几何概型，全概率(-)概率的概念概率直观上是指一个事件发生可能性大小的数量指标.概率的统计定义 在不变的条件下，重复进行次试验，事件4发 生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，且一般来说，”越大，摆动幅度越 小，则称常数p为事件A的概率，记作P(A)=p.概率的公理化定义 设随机试验E的样本空间为0,对于E的每个 事件A赋予一实数P(A),如果F(-)满足以下条件：(1)非负性：对于每一个事件A,有P(A)0；(2)规范性：对于必然事件。，有P(Q)=1；(3)可列可加性：若A1?A2，-,是两两互不相容的事件，则有P(U a,)=Sp(a,),就称P(A)为事件A的概率.概率的性质性质 1 p(0)=0,p(n)=1,o p(a)i.性质2 若A1，A2,，A”是两两互不相容的事件，则有HA】U U A”)=P(AQ-P(A).性质3 求逆公式:P(A)=1-P(A).性质 4 减法公式：P(A-B)-P(AB)-P(A)-P(AB).特别地，当B C A时,P(A B)=P(A)-P(B),由此可得P(B)P(A).性质5 加法公式：P(A U)=P(A)+P(B)P(A)；P(A U B UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)P(AC)+P(AEC)；特别地，若A i A?,，A”两两互斥，即A,Aj=0,i,j=1,2,，7?,i H j,则 P(人 U A2 U-U A)=P(A,)+P(A2)-F(A).森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义基础篇例工TN7 设为两个随机事件,P(AB)=P(AB),已知PGA)卫，则 P(B)=_.画由 P(AB)=P(AB)=P(A UB)=1-P(A U B)-1-P(A)+P(B)-P(AB),P(B)=1-P(A)-1-p.例 TFZ7 设 P(A)=P(B)-P(C)=,P(AB)=O,P(AC)=K-4得P(BC)=丄，则事件A,B,C全不发生的概率为 O理由P(AB)=0得P(ABC)=O,A,B,C全不发生表示为ABC,P(ABC)=P(A U B U C)=1-P(A U B U C)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)P(BC)+P(ABO1,1,1 1 1,-0-04 4 4 8 8/=亍(-)古典概型和几何概型古典概型(1)特征4中的样本点有限，且每个样本点发生的可能性相同.1-(2)公式:F(A)=竺，其中m为A包含的基本事件数皿为0中基本事71件的总数.常用结论:设N件产品中有M件次品，从中任取n件，则其中惟朿k件 次品的概率为CmCj-M 甘十门”_ N(N 一1)N (n 1)J，貝甲 C/n=；Cn“！例 HN7 10个产品中有4个次品，从中任取3个，求至少有1个次品的概率.固设4表示“取出的3个产品中次品的个数恰为i个=0,1,2,3,B表示“至少有1个