2023李林《线性代数辅导讲义》.pdf

?2023李林考研数学系列 线性代数 辅导讲义（数学一、二、三通用）编著李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林！“-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉,是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-乃71扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能岀版社回z真学李林考研数学系列线性代数 辅导讲义（数学一1 二诵田），”、编著李林不罪押题罪实力考研数学就选李林!回3扫码领取视频课程李林老师新浪微博_-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉,是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-乃、中国庾辛合已屮出耐、十图书在版编目（CIP）数据李林考研数学系列线性代数辅导讲义/李林编著.北京：中国原子能出版社,2021.1（2021.11重印）ISBN 978-7-5221-1057-8i.李n.李皿.线性代数一研究生一入 学考试一自学参考资料IV.0151.2中国版本图书馆CIP数据核字（2020）第211485号李林考研数学系列线性代数辅导讲义出版发行 责任编辑 特约编辑 印 刷 经 销 开 本 印 张 版 次 书 号中国原子能出版社（北京市海淀区阜成路43号100048）付凯刘亮三河市长城印刷有限公司全国新华书店787mmX 1092mm 1/1610 字数 256千字2021年1月第1版2021年11月第2次印刷ISBN 978-7-5221-1057-8 定 价 46.80 元网 址:http:/ 发行电话=010-68452845E-mail:atomepl23 版权所有侵权必究前言侈刖 B爱丽丝漫游仙境是一部家喻户晓的童话故事著作，关于该书的作者刘易斯卡罗 尔，据传还有这样一段趣事：当时该书出版之后，社会反响轰动，其中英国女王维多利亚看了书之后极为喜欢，便 吩咐左右，卡罗尔先生以后有了新书一定要第一时间拿给她看。于是一年多后，女王陛下 收到了一本行列式基础及其在线性方程组与代数几何中的应用。没错，卡罗尔本身还是一名数学家，这部1867年出版的行列式著作包含了我们所熟 知的m m个方程、”个未知数的线性方程组有解的充要条件以及用行列式研究直线的位置关 系（考研曾考过）等众多理论。爱丽丝的奇遇我们暂时搁下，不过浪漫的卡罗尔留下的代数与方程方面的理论却值得 我们学习。我们这本辅导讲义以考研应试为目的，旨在帮助读者理解线性代数，去探寻线 性代数里的美丽仙境。关于本书本书是针对全国硕士研究生入学考试复习的辅导讲义，由编者根据多年在考研辅导班 的讲稿改编而成；本书也可作为非数学专业的本科生学习线性代数的参考书。线性代数是考研数学的重要组成部分，本书力求以较少的篇幅，帮助同学们厘清基本 概念，掌握基本理论和公式，提高解题能力。本书每章由四部分组成：1.考试要求；2.内容与方法提要；3.典型例题分析；4.习 题演练。本书具有以下特点：一、内容全面，方法简洁本书按照考研数学大纲顺序，分六章介绍线性代数的考试内容，全面总结了考试中各 类题型的解题方法，澄清了一些常犯错误与疑惑。二、题型齐全，难度适中本书对典型例题进行分析，力求覆盖箸试中的各种题型，以中等难度题目为主，由浅 入深，探究考研命题规律，提高考生应试能力。李林考研数学系列线性代数辅导讲义考试复习建议编者根据多年考研辅导经验，提出两点建议：1.线性代数的特点是：内容联系紧密，计算量较大。计算准确是基础，全面掌握各 概念之间的关系是重点。2.把握线性代数主线：“一个中心”“一种方法”。如下图所示，“一个中心”就是矩 阵的秩，“确定什么”常用到矩阵的秩；“一种方法”就是初等变换，“求什么”常用到矩 阵的初等变换。本书适用于考数学一、数学二、数学三的考生，对有不同要求的部分给出了说明。编 者在多年的教学过程中，借鉴和参考了若干国内外的优秀著作，在此对这些作者表示衷心 的感谢！由于作者水平有限，本书仍有很多地方需要改进和提高，恳请读者和广大同人提出宝 贵的意见和建议。最后，衷心祝愿广大考生考上自己理想的学校！2目录夕目 录第一章行列式.1第一节行列式的概念与性质.1第二节克拉默法则.10第三节 讨论丨A丨=0的问题.11习题演练.13习题演练解答.14第二章矩阵.、.19第一节矩阵的概念与运算.19第二节伴随矩阵.21第三节可逆矩阵.22第四节矩阵的秩.24第五节初等矩阵.25第六节矩阵方程.34习题演练.36习题演练解答.39第三章向量.46第一节向量及其运算.46第二节向量组的线性相关性与线性表示.47第三节相关性常用结论.57第四节维向量空间（仅数学一要求）.63习题演练.67习题演练解答.70第四章 线性方程组.76习题演练.91习题演练解答.93第五章相似矩阵.100第一节特征值与特征向量.100李林考研数学系列线性代数辅导讲义第二节矩阵相似.105第三节实对称矩阵.114第四节确定参数.119习题演练.122习题演练解答.124第六章二次型.133第一节二次型的概念及其标准形.133第二节正定二次型与正定矩阵.141习题演练.146习题演练解答.1482第一章 行列式第一章行列式-0考试要求S-1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.3.会用克拉默法则.第一节行列式的概念与性质厂内誉与方法提要J|一、概念1.行列式的定义Qii2-%1 A|=a2022-S=2(I)/,1“2,心Cl2 Q”其中,/；）表示排列的逆序数，即丨A|是所有在不同行、不同列的个 元素乘积的代数和.2.行列式按行（列）展开公式n丨 A|=Azl+al2Ai2 al2Ai2+，知A“j=n=ayAij+a2jA2j a2jA2j+anjAnjanjAnj=，a%,其中A,为ay的代数余子式，即A,=（-1）!W,;,M,为丨A丨中去掉第/行及第j j列元素 后的一1阶行列式.【说明】【说明】a,141+ai2Ak2 ai2Ak2-aAk,aAk,=0（，工怡），即一行与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和为零.123此外A u与切的取值无关.例如，456第一行元素的代数余子式与789a ab bc c1456第一行元素的代数余子式是相同的789李林考研数学系列线性代数辅导讲义3.行列式的性质(1)行列式与它的转置行列式的值相等，即丨A丨=丨AT|.(2)若某行(列)有公因数4可将k k提到行列式符号外.(3)两行(列)互换，行列式的值变号.(4)将某行(列)的怡倍加到另一行，行列式的值不变.(5)若某行(列)所有元素都是两个数的和，则可将其写成两个行列式之和例如,【说明】行列式的性质是计算行列式的基础.dd+bi a2 a2+b2b2 2X3X4=-2.【注】一般地，箭形行列式D卄=Ao bb b2b2Ai002 0 a2 an an 0 0=Ao-S V1 5;=1 人 da2 a2 0 入2*an an 0 000Ai0bnbn00 右:1000.九=（入o 一 g 右入2 入（九 H O,z=1,2,，zz）.若 A,=0（/=1,2,，），则 D卄 1=0.其他箭形行列式丨、丨，丨刁丨，丨Z丨也可类似地计算.【例3】计算行列式4 3 0 0D414 3 00 14 30 0 144第一章 行列式解 所给行列式是三对角形行列式，一般可用递推法.将2按第1列展开，得=4D3 3D2,430300D4=4X(-1)1+1143+1X(1)1+2143014014故 D4-D3=3(0302)=32(D2D4=D3D3+3=4+322a2aa2a2+3312aD)=32 X(13-4)=3,从而D2+33+34=D+32+33+34+34=121.【例4】证明：D=(九+l)a.a2a212a2a1证法1D”为三对角形行列式，用递推法.当时，按第1列展开，得DnDn=2aD”_i 22 Dn2Dn2,故D ciD=ciDD ciD=ciDa?D”2D”2 a(Di aD”2)(Di aD”2)=a2=a2(D”_2 aO_3)=a$(D2 aDi)a.a.n3从而当时，有D”=a十 aD”_i=a+a（an_1+aD-2）aD-2）=2a+a2D2=a2D2=（=（一 2）a+a7,-2D2=（n=（n 一 l）a+aT.Dj=（z2 一 1）a+2a=2a=（九+1）a.显然当n n=1时,D=2a,故Dn=Dn=5+l）a对所有正整数均成立.证法2 用数学归纳法.当=1时，Di=2a,结论成立；当九=2时,D2,D2=3a23a2，结论成立.假设对小于n n的情形结论成立，将DnDn按第1列展开，得利用加边法，将其化为箭形行列式，即D”D”=2aD-!2aD-!a2a2 D_2=-2a na-2a naT anT an-)ai=(7?+1)a，故D”=G+l）a对所有正整数均成立1aa2 aa2 Q1Q”、【例5】设7心上2）阶矩阵A=応 a2ana2an，计算行列式丨AEA I.、必1ana2 ana2 2a”解A-aa如*a aa*a*I AE-A|=a2CLa2CLA 一 al al a2ana2an9ana2 ana2 A 一a2na2n10=ix x 一 1-11X将第2,3,4列都加到第1列，得111X 1100X1-1Z十11=X10X01X 一 11-11X001-11110000X(一1)427/=计算d4a2a2b3b300bzbz30解D D00仇00a4解法1交换第2,4两列、第2,4两行将其化为分块对角形行列式.6第一章 行列式解法2直接按第1行展开.00bbD4 D4=0063=0Q30bb00QlbbQ363hhb2b2Q2(14 )(23 b2b3).b2b3).Qibibi00仇a4a40000 0Q3“300 0b2b22CL i CLCL1b2b200a2a2D4=ay=ayQ30一 bb063()0a4640a2 b2a2 b2,一 bi 仇3 a3a3a2仇 b3 a3b3 a3b2b20(2124 6i64)(a223 6263).【注】此形(类)行列式也称“品”形行列式.a ab b【例9】计算n21a ab bb ba a解法1(a+6),得b b将第n n+,n,na a2n-1,-,1行，再提取公因式D2”n n血(a+b)+2,，2九行分别加到第1111b b1 1b ab aa a=(a+6)01 10 a a 一 b ba a b ba2a2 62)解法2三角形/,、/八帚肓(+b)”a_by=b)”a_by=用递推法.当九=1时，=a2 62;当兀$2时，按第一行展开，得D2”=aD?”一2 b2b21)2-2=(a?b2b2)D2n-2D2n-2故 D2=(a2【例10计算Dn Dn=-(22 b2yxD2=b2yxD2=(a2 b2Yb2Y入+QiQi入+血 Qia2 a2 A+”=1时，Di=A+;当时，用拆项法，得解当D,D,+CL02 0+a,QiA+a2 0+aQia2 a2 入十7 7气李林考研数学系列线性代数辅导讲义入+Qi2*0入+Qi02 an anQiA+a2 0+Qi入+02“an anQi.AQia2 a2 an anA 0-00 A 0=AD-!+.1 a2 a2 anan=AD_!+anXnx+anXnx=A(AD-2+a_JL2)十给入”-】=+%i 入 I+a”入 i=ADi+入i H-+a”入li=F+a”T+幺2入”一1-a”_i 入+a/T=入十 A-1(2i+a2 a2+anan).【注】【注】本题可看作是例6的特殊情形，因此也可用加边法.由于各行元素相加都相 等，因此也可将第2,3,-,/?列元素都加到第1列进行求解.【例11】计算行列式Qi-10.00Q2JC一 1.00D”=030 x x.00a”一100.J?1anan00 0X解 D中的第1皿行都只有两个元素非零,选取含0较多的行(列)展开是计算行列式的基本方法本题按第行展开，当n n=1时,D=；当九$2时，有Qi-10 01 00 0Q2X1 0X 一 10 0Dn Dn=x x5