2023杨超《高数基本方法技巧总结》.pdf

GAO SHU基本方法技巧总结杨超：英雄自古多应唯，写给努力前彳亍的你!2022数学刷题班 数学冲分利器数一/二/三均适用笔记抄本，做题无所用？名师把关选好题刷对题手把手带练解锁高分新思路题目一看就会，做题一做就错?概念一看就懂，做题一做就懵？分36h刷题冲搞定君研数学制Ss 01不容no错过UC杨 超研 数 学 名 师深挖真题来源，汇集海量题库，从众多高校 题库中精选值得钻研的优质习题2019考研离数压轴题来源：2009年南京理工考题18.（本题满分10分）设dx.（0 1,22018考研数二不等式证明题来源:2006年天津市大学生 数学竞赛题（本题满分10分）已知常数上21n2-l,证明：（x-!Xx-ln2x+2jtlnx-l）0扫码购课基本方法技巧总结GAO SHU目 录一、求极限方法总结.1二、多元函数求极限的方法.9三、零零碎碎.11四、链式求导法则典型题目.14五、隐函数求导的方法隐函数的典型标志:工=工（夕，z）.16六、利用等式两边求导（如对工的偏导），证明等式.16七、总结.16八、一道好题.17九、根据二阶混合偏导相等,解方程.18十、求多元函数极值的方法.18十一、几类特殊求极值（最值）.19十二、定义法求点的二阶混合偏导.19十三、一些常见二重积分.20十四、积分公式.20十五、注意:在直角坐标系下，有曲=山（1夕.21十六、二重积分的方法.22十七、判断数项级数敛散性的方法和技巧.30十八、判断函数项级数收敛域的方法与技巧.38十九、求幕数级的和函数的一些方法和技巧.401考研数学高数基本方法技巧总结二十、求函数的幕极数展开泰勒级数.44二十一、有关抽象级数敛散性的判断方法.47二十二、一阶常微分方程的解法.49二十三、二阶线性常微分方程豊+pCz）磔+qCz）夕=心的解法.53二十四、可降阶微分方程初步，即设y=P.56二十五、常微分方程的相关数学应用.562一、求极限方法总结1.洛必达法则求极限.(1)若函数伦),gQ)同时满足：丘m/XH)=limg(jr)=0 或 lim/Xz)=limg(jr)=oo；/(x),gCr)在 ikz)内存在，且 gQ)H 0；lim/汽=A(或 oo),*J-0 g X)贝I有lim 厶茫!=lim 弓毛=A(或 oo).g 3C)g(H)(2)考生应注意的是，若您1 4 不存在(X除外)，则不能用 洛必达法则，应改用其他方法,例如：2 1X COS L，lim-=lim(2j;cos-F sin)j0 X L0 X X极限不存在，但x2 COS lim-=lim jrcos =0.q-*0 JC jC利用无穷小量x有界量=无穷小量，极限存在.(3)洛必达法则易犯错误.洛必达法则是充分不必要条件，即由lim 黑=A,可推导得r-*Ho g X)出lim弓毛=A，但在解题过程中，不能因为lim 供=A,就可以 厂工0 gvoc)LT。g(H)得岀lim厶严=A.小工0 g(H)例如:设fCz)阶可导，且lim存=2,证明：/(0)=0.X错误解法：因为lim八f)=2?可得/(0)=C)9故1考研数学高数基本方法技巧总结从而/(0)=0.上面解法是因为lim 存=2,从而以为=2,这是使L0 X LO ljc用洛必达法则的典型错误.正确解法：因为lim存=2,可得*0)=0,又由于lim-=lim一=2,厂0 X L0 X所以lim 器=0根据lim/汽存在,limg(H)=0,可得limJT-O X 一 0 gJC)厂0 X-*O=0,从而/z(0)=0.2.无穷小替换求极限.(1)无穷小替换是求极限的常用方法之一，常用的替换公式有当工-*0时:sin hh,arcsin _z h,b 1工，tan xx,arctan 匚，In(1+z)x,1 cosh /,(1+久)一1 az.(2)从考研数学的角度看，关键要理解以上几个公式的变形.当 x Xo 时，若(p(jc)f 0,则 sin卩(h)爭(工)，(3)arcsin cpjc)卩(工)，ep(x)1(p(jc),tan 爭(工)cpCjc),arctan卩(工)爭(工)，In 1+爭()(jc),1 cos 申(工)-|-2(jc),1+卩(工)。一1 acp(jc).2考研数学高数基本方法技巧总结将变形为lim L二普sm工），其中当工o时,sin为无lo sin x穷小量，此时为2角色，则-ysin2 x原极限=lim-=jo sm x Z（3）无穷小替换求极限常见错误.一般地，乘、除运算时可以用等价无穷小替换，加、减运算时不能 用等价无穷小替换，但可以略去高阶无穷小.例如:求1曲工_护r0 X错误解法：由V f 0,sin工工，贝I原极限=lim=0.厂0 x正确解法：lim 3一严=lim 1-CTX厂0 jc d 6x丄云_ 2 _ 1但在等价无穷小替换时,有的情况下加、减运算也可以用.例如:求lrni亠血工.D JC利用sin x匚,则原极限=lim+=2.X结果正确，原因是什么呢?考生可以自己独立思考一下为什么有 时在加、减运算中又可以用等价无穷小替换，在以后的课程里会陆续 告诉大家真正原理.3.泰勒公式求极限.（1）在考研数学中，我们解决#型极限的一种核心方法便是利 用泰勒公式展开求极限，这可以极大提高做题速度.常见的泰勒展开 式有8个，即当工0时：3考研数学高数基本方法技巧总结 sin x=x 777je3+吉工5+o（jr5）,3!0!cos jc=1 省分+*工+0&）,tan h=h+-yj;3+o（z3）,arctan x=x-h3+-7-jr5+o（j?5）,3 0 arcsin jc=h+丽工3+。（分）,In（1+je）=jc jc2+-y,z3+o（x3）,于2 e1=+工+可+丽+0（乂3）,（1+工）。=1+or-JC2+0&2）.（2）考生在掌握以上几个泰勒公式的同时，还必须掌握泰勒公 式的变形，即，当时若卩（2）f 0,则有 sin 爭（工）=卩（z）（乂）+吉卩5（工）+o（b（_z）,cos cpO=1 *护（工）+吉0（工）+。（卩Q）,tan 爭（工）=卩（h）+（j?）+o（b（h）,arctan 卩（工）=爭3（jc）+丁护（乂）+o（b（工）,arcsin cp（x）=o sin xlim（1-右/（1+工+右）+工+0（乂2）=P：=-1.lim co汙疔其中,畤=1+d x sin xO（J?），故計+（1-J；2-|jc4原极限=2!十4!jr-*Oyr n,aoh+2口1十血工心+切 仇刃+&工厂1+仇工宀-Qo m=n9、9 m 0X J：26.遇到oooo型极限，有以下常用方法：（1）通分，把0000化为或兰；0 OO（2）有理化（遇到 一）；（3）倒代换（当工*时，求极限函数中含有丄因子）；X（4）提取X,把0000化为0 00（见强化教材）.例求lim（当-r）.jo x jcsin jc）解:原极限=lim再口厂0 x sin x_r3lim-V厂o x1例求lim”(l+)z令t=产解:原极限一_-lim 5 1 七 =lim 10 t ff o t1-27.遇到严，卅，0型极限.7考研数学高数基本方法技巧总结共用方法“幕指函数指数化”，即念)2=严心=严山心,从而转化为求g(j：)ln/(jr)的极限.考研数学中经常考1型，见到1型,有公式1=eA.有两种情况：(D liml+/()?a)=/=e上.I推导过程为：因为lim(l+=e,推广为liml+yO)河=x-0 匸e,从而limLl+*力)2=liml+伦)护心如=e昱心如.(2)lim/(jr)g(x)lim/(jr)=1,limg(工)=liml+/Q)1禺2T2=趨X-=11/1 3x例 lim(1+2jc)6 7=e2；例 lim(1-)=e-3；(6)lim eJ=+,J4-00oo JC/.丄例求lim(沁f.jr-0 JC/解:A=lim(沁一1 f=lim 血 h 2=g,lO 3C/LO x b故原极限=e_e.8.几个易混淆的极限.lim曲三=1,j?0 JC(2)lim里口=0(无穷小量X有界量=无穷小量),(3)limx sin =0,j?-*0 oc 1sm(4)lim x sin =lim-=1,roo OC r-*8 1X(5)lim丄sin丄不存在，a0 X X8公众号 干货小灯泡考研数学高数基本方法技巧总结(7)lim e=0,(8)lim arctan 工=手，J；-4-00 Z(9)lim arctan x .J-oo Z二、多元函数求极限的方法1.直接代入法（有限次不改变连续性，函数值=极限值）.2.整体法.女口:lim 2弓-=4.z，E+巧一3.不等式放缩，使得原式绝对值小于等于一个有极限的式子，则 存在极限（如果极限为0,则就为0）；不同的趋近方式，有不同的极限，则原式极限不存在（如：lim 种证明方法即设=工，y-*（0,0）X 十 y匕,发现不同方向，极限值不同，但不可以用它来证明极限存在）.4.利用以前的知识，如幕指函数（换底、用基本极限），等价无 穷小.5.不等式放缩，然后夹逼.如：lim（j;2+y2）2x y=1 夕2（工2+护）2.6.极坐标代换（适合于分式结构,分母有X2+y2）.如:limz,y(0,0)=0.0.设 x=pcos 0,夕=psin 0,且（h,夕）-*（0,0）时,p 确定a的范围，使得lim（丨工甲打广=。（答案a2）.a,）f（0,0）x r y7.分子（母）有理化.女口:lim/引-=2.4 L(00)J巧+1 19考研数学高数基本方法技巧总结&一些常用的等价无穷小.当工0时，有：1 COS X ；e 1 乂；ln(l+工)乂；(1+x)a 1 or;女口：iim亠中T(答案寺)；Cr,y)-*(0,0)工十夕 6lim tanQ2+?+y_i)(答案 2)工+)_19.一些能拆的就拆掉.如：lim 1二也七2)=0.乂，尸(0,0)+y)ex10.对于有界量的处理.女口:lim(Hsin F ysin 丄)W lim(|x|+|y|)=0.工，y-(0,0)y 工)工、y(0,0)11.利用积分中值定理解题.女口：求极限lim当 ef cosQ+jOdrdy(先说明连续，则可以用定理，答案：兀).12.利用导数定义方法(下题中,没说函数连续，只说在一点处可 微,而用定义法求导！).设一元函数/在原点附近可微，且/(0)=0,求J f(J亡+3/)dzd_yiim-:答案lo+兀t 313.利用重积分的定义.1()考研数学高数基本方法技巧总结2巾j：2 sin yixAy=.o W 无 W1 o 0时,有极值对于驻点：A=瓷(氐，夕0),E=亢 Qo,),C=Go,yo)A 0,极小值，A VO,极大值；当AC-B2 0时，无极值；当AC-B2=0时,不确定，定义判断、直观判断.对于偏导数不存在的点:也用定义判断、直观判断.求最值时，还要考虑边界上的点.2.有条件极值.(1)代入法，化成无条件极值；(2)拉格朗日乘数法.如：抛物面z=土+；/被平面工+夕+z=1截得一椭圆，求原 点到椭圆的最长、最短距离.可设 L(h,y,z,“，A)=jc2 y2+z2 a:2+j/2)+Cz+y+z1)，求5个偏导，解五元方程，再由实际情况取舍(解 方程的时候不要忘了用两式子相比的方法!)18考研数学高数基本方法技巧总结十一、几类特殊求极值（最值）1.在两条曲线上设点求最值.女口：求曲线J*=庄与直线十2一3=0,的最短距离.b=o z=o分别在两条曲线上设点P1 3,yx,引），卩2（乂2,夕2,?2），代换，最后得二元函数，答案y.2.椭圆域.如：求函数夕）=2工2+6+）2在椭圆域F+2）2 W 3上 的最大值和最小值.（先处理去+2y 3的情况，分别对 D 求导，联立方程,求出驻点;再考虑+2；/=3的情况，用拉格朗日乘数法.）十二、定义法求点的二阶混合偏导女口：已知函数