2023李林《概率论与数理统计辅导讲义》.pdf

?2023李林考研数学系列 概率论与数理统计 辅导讲义（数学一、三通用）编著李林不靠押题靠实力考研数学就选李林!CC-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉,是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-”7回扫码领取视频课程 李林老师新浪微博中国原子能出版社zXX TTT Eil李林考研数学系列 概率论与数理统计编导讲义（数学一、三通用）SfflW-T TT不靠押题靠实力考研数学就选李林！回-“-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉,是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-”7扫码领取视频课程 李林老师新浪微博中国原子能出版社前言刖概率论里面有一个著名的谜题，叫钱包悖论，其内容是：甲、乙两人进行一场赌局，其规则是：由第三者计算甲、乙两人钱包里的钱，钱少者 可以赢走钱多者的钱。甲对于这场赌局的想法是：若乙的钱比我少，我会输掉我现有的钱；但若乙的钱比我 多，我会赢得多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多，所以这场赌局对我有利。而乙的想法也是如此。可是一场公平的赌局怎么可能对两人都有利呢？于是悖论产生。钱包悖论应该如何解释呢？这里卖个关子，希望读者学完本书能自己利用概率统计的 有关知识（数学期望、贝叶斯分析等）进行回答。现实生活中还有很多有趣的概率统计例 子，比如对世界杯比赛结果的预测，再比如最近这些年很火的大数据，皆充斥着概率统计 思想。本书正是基于考研应试的目的，帮助读者提高解题能力，真正学懂概率论与数理统 计这一学科。关于本书本书是为准备考研复习概率论与数理统计的考生编写的辅导讲义，由编者根据多年的 辅导班讲稿改写而成，本书也可作为非数学专业学习概率论与数理统计的参考书。概率论与数理统计是考研数学的重要部分，本书力求以较少的篇幅，在较短的时间 内，帮助同学们理解基本概念，掌握基本理论和公式，提高解题能力。本书每章由四部分组成：1.考试要求；2.内容与方法提要；3.典型例题分析;4.习题演练。本书具有以下特点：一、内容全面，方法典型本书按照最新考研数学大纲顺序，共分八章介绍概率论与数理统计的考试内容，内容 全面，总结考试中各类题型的解题方法，方法典型，澄清一些常规错误与疑惑，以便考生 提高应试能力。二、题型齐全，难度适中本书以中等难度的题目为主，所选题目力求典型性、全面性、综合性。全书通过探究 考试命题规律，让考生能更清晰地掌握解题方法。李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义考试复习建议编者根据多年考研辅导经验，提出如下两点复习建议：1.概率论与数理统计的特点是：概念性强，公式多。其重点是理解基本概念和公式，在理解的基础上，熟练掌握公式及应用。2.把握复习的主线：概率论的主线是概率分布，熟练掌握常用分布是基础，根据题 设条件，求一维、多维随机变量的分布是重点；统计学的主线是以样本为基础、统计量为 工具、统计推断为目标，如参数估计、假设检验等统计推断。本书适用于考数学一或数学三的考生，对有不同要求的部分给出了说明。编者在多年 的教学过程中，借鉴和参考了若干国内外的优秀著作，在此向这些作者表示衷心的感谢！由于作者水平有限，本书仍有很多地方需要改进与提高，恳请读者和广大同人提岀宝 贵的意见和建议。最后，衷心祝愿广大考生考上自己理想的学校！2目录目 录第一章 随机事件及其概率.（1）第一节随机事件及其运算.（1）第二节概率的定义及其计算.（3）第三节概率计算公式.（7）第四节独立性和综合应用.（16）习题演练.（20）习题演练解答.（21）第二章一维随机变量及其分布.（25）第一节离散型随机变量及其概率分布.（25）第二节连续型随机变量及其分布.（29）第三节 一维随机变量的函数的分布.（36）习题演练.（41）习题演练解答.（42）第三章多维随机变量及其分布.（46）第一节二维随机变量.（46）第二节独立性.（55）第三节多维随机变量的函数的分布.（63）习题演练.（70）习题演练解答.（71）第四章随机变量的数字特征.（77）第一节随机变量的数学期望与方差.（77）第二节协方差和相关系数.（85）习题演练.（103）习题演练解答.（104）李林考研数学系列概率塑与数理暂辅导型 第五章大数定律与中心极限定理.（110）第一节大数定律.（110）第二节 中心极限定理.（113）习题演练.（115）习题演练解答.（116）第六章数理统计的基本概念.（118）第一节基本概念与统计量.（118）第二节抽样分布.（121）习题演练.（129）习题演练解答.（130）第七章参数估计.（134）第一节 点估计.（134）第二节估计量的评判标准（仅数学一要求）.（140）第三节区间估计（仅数学一要求）.（148）习题演练.（153）习题演练解答.（154）第八章假设检验（仅数学一要求）.（160）第一节显著性检验.（160）第二节两个正态总体的假设检验.（164）习题演练.（167）习题演练解答.（167）附 录.（169）附录1 标准正态分布表.（169）附录2/分布表.（170）附录3 才分布表.（171）附录4 F分布表.（172）2第一章 随机事件及其概率第一章随机事件及其概率0考试要求-1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型 概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式.3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的 概念，掌握计算有关事件概率的方法.第一节 随机事件及其运算内容与方法提要1.三个基本概念（1）随机试验如果试验满足以下三个特性：可以在相同的条件下重复进行；每次试验的可能结果不止一个，且事先可以明确试验的所有可能结果；进行一次试验前不能确定哪一个结果会岀现.则称试验为随机试验，简称试验.（2）样本空间试验的所有可能结果所构成的集合，称为该试验的样本空间，用。表示样本空间中的 元素，称为样本点（或基本事件）.（3）随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，在大量重复试验中具有某种规律性的试验结果，称为随机事件，简称事件.事件可理解为样本空间的一个子集；在试验中，当且仅当事件A所包含的某个样本点出 现时，事件A才发生.2.事件之间的关系与运算事件是样本空间的子集，所以事件之间的关系与运算就是集合的关系与运算，只是术语不同且赋予了概率的含义.（1）事件之间的关系关系符号概率论集合论包含关系A(Z B事件A发生必有事件B发生A是B的子集相等关系A=B事件A与事件B相等A与B相等对立关系A事件A的对立事件A的余集互斥关系（或互不相容）AB=0事件A与事件B不能同时发生A与B的交集是空集（2）事件之间的运算1李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义运算符号概率论集合论事件的和A U B或A+B事件A与B至少有一个发生A与B的并集事件的积A A B 或 AB事件A与B同时发生A与B的交集事件的差A-B事件A发生而事件B不发生A与B的差集(3)事件的运算法则分配律:a n(B u C)=(A n B)u(A n C).交换律:A u B-B U A；AB=BA.结合律：(A UB)UC=AU(BU C)；(AB)C=A(BC).对偶律:A U =AB；AB=A U B.还原律:A=A.补兀律：A U A=d.吸收律:若ACZB,则AB=A，且A U B=B.矛盾律:A n A=0.蕴涵律：若AB=0,则AuP,BU兀 差积律:A-B=A n B=A-A C|B(4)文氏图直观上可用几何图形表示集合.事件之间的关系与运算也可以用几何图形直观表示，这 类图形称为文氏图，如图1-1所示.AUB A0QQAAcBHUH(3QQ4CBQA-B0图1-1典型例题分析【例1 利用事件的运算表示下列各事件:(1)A出现，,C都不出现；(3)A,B,C都出现；(5)A,B,C不都出现；(7)A,B,C不多于一个出现；(9)至少有一个出现，C不出现.解 利用事件的运算关系可得：(2)都出现，C不出现；(4)A,B,C都不出现；(6)A,B,C至少有一个出现;(8)A,B,C恰有两个出现；(1)AB C；(2)AB C；(3)ABC；(4)AB C；(5)ABC；(6)A+B+C；(7)ABC+ABC+瓦B C-AB C 或 AB+EC+AC；(8)ABC+ABC+ABC；(9)(A+B)C.2第一章 随机事件及其概率【例2】写出下列试验的样本空间：(1)掷两枚硬币；(2)连续掷一枚硬币，直至岀现正面.解(1)用1表示正面，用0表示反面，则样本空间Q=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)用1表示正面，用0表示反面，则0=(1),(0,1),(0,0,1),(0,0,0,1),.第二节概率的定义及其计算蓉与方法提要A A1.概率的定义(1)古典定义若随机试验的样本空间Q仅含有限个等可能的样本点(也称为古典概型)，则事件A发 生的概率为P(A)=mn其中m为有利于事件A的样本点数皿为O的样本点数.(2)几何定义若随机试验满足：样本空间。是一个可度量的(几何)区域；每个试验结果岀现的可能性是相同的(试验结果落在O中任一区域的可能性与该区 域的几何度量成正比)，则L(Q)其中A表示。中任一个可度量的子集,L(A),L(d)分别表示A与Q的度量，如长度、面积、体积等.(3)统计定义在“次独立重复试验中，事件A发生的频率具有稳定性，即它在某一数p附近波动，且当71 越大时，波动越小，则称频率的稳定值为事件A发生的概率，即P(A)=p.(4)公理化定义设随机试验E的样本空间为Q,对于每一个随机事件AUC赋予一个实数，记为P(A).若满足以下三个条件：非负性:P(A)0；规范性：P(d)=1;可列可加性：若事件人,A2，-,A，-两两互不相容，有P(yA!)=则称P(A)为事件人的概率.3李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义2.古典概型与几何概型的概率计算（1）古典概型的概率计算，主要有三类问题:摸球问题;随机入盒问题;随机取数问n pn i题.其计算常用排列、组合公式:P；r=-一:一,C*丄=一-一（m 77）.（72 一 m）!m!m!（n 一 m）!（2）几何概型是从古典概型的有限等可能结果到无限等可能结果的推广.一般解决方 法：直接计算法；引入变量法.F典型例题分析，题型一摸球问题【例1】设袋中装有m个白球和“个黑球.（1）从袋中任取a+b个球，求所取的球恰含有a个白球和b个黑球的概率（a n)个盒子中，求下列事件的概率：(1)某指定的个盒子中各有一个质点；(2)”个盒子中各有一个质点；(3)指定的某盒中恰有m(m n)个质点.解(1)由已知，每个质点有N种放法，故个质点有N种放法.设A=某指定的n个盒子中各有一个质点，则有利于A的样本点数相当于兀个质点 在n个盒子中的全排列，共有九!种，故(2)设B=“个盒子中各有一个质点，则有利于B的样本点数为C；以(C；表示兀个 盒子的选法)，故(3)设C=指定某盒中恰有m个质点，则从n个质点中取加个的取法有种，其余 质点均有N 1种放法，故【例4设有12名毕业生，其中有3名博士生，将他们随机地平均分到三个科室，求:(1)每个科室分别有一名博士的概率；(2)3名博士分到同一科室的概率.121解 由已知，基本事件总数为2 C9 I由于将3名博士生平均分配的分法有Pi=3!种，其余9名毕业生的分法有厂冷种，故3IXQI有利事件数为 从而所求概率为(3!)3/(4!)3 55-(2)由于3名博士生分到同一科室的分法有G种，其余9名毕业生的分法有Q|3X91-种，故有利事件数为，从而所求概率为1 I/I I V/I I5李林考研数学系列概率论与数理统兰辅导讲土【注】可归入“入盒问题”来处理的实际问题有很多，如：乘客问题：客车上有名乘客，它在N个站点都停，乘客下车的各种可能情形；放球问题：将n个球放入N个盒子的可能情形；生日问题皿 个人的生日的可能情形，此时N=365天.处理这类问题时，要分清什么是“质点”、什么是“盒”，