2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）.pdf

2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1（5 分）设集合 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2，则UA=（）A1，2 B3，4，5 C1，2，3，4，5 D 2（5 分）若 为第二象限角，sin=，则 cos=（）A B C D 3（5 分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=（）A4 B3 C2 D1 4（5 分）不等式|x22|2 的解集是（）A（1，1）B（2，2）C（1，0）（0，1）D（2，0）（0，2）5（5 分）（x+2）8的展开式中 x6的系数是（）A28 B56 C112 D224 6（5 分）函数 f（x）=log2（1+）（x0）的反函数 f1（x）=（）A B C2x1（xR）D2x1（x0）7（5 分）已知数列an满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）B C3（1310）D3（1+310）8（5 分）已知 F1（1，0），F2（1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为（）A B C D 9（5 分）若函数 y=sin（x+）（0）的部分图象如图，则=（）A5 B4 C3 D2 10（5 分）已知曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，a=（）A9 B6 C9 D6 11（5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）A B C D 12（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2），过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则 k=（）A B C D2 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分分.13（5 分）设 f（x）是以 2 为周期的函数，且当 x1，3）时，f（x）=x2，则 f（1）=14（5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 种（用数字作答）15（5 分）若 x、y 满足约束条件，则 z=x+y 的最小值为 16（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，则球 O 的表面积等于 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式；（）设 bn=，求数列bn的前 n 项和 Sn 18（12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C 19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB与PAD 都是边长为 2 的等边三角形（）证明：PBCD；（）求点 A 到平面 PCD 的距离 20（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判（）求第 4 局甲当裁判的概率；（）求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率 21（12 分）已知函数 f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求 a=时，讨论 f（x）的单调性；（）若 x2，+）时，f（x）0，求 a 的取值范围 22（12 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为（I）求 a，b；（II）设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1（5 分）设集合 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2，则UA=（）A1，2 B3，4，5 C1，2，3，4，5 D 【考点】1F：补集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意，直接根据补集的定义求出UA，即可选出正确选项【解答】解：因为 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2 所以UA=3，4，5 故选：B【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键 2（5 分）若 为第二象限角，sin=，则 cos=（）A B C D 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】由 为第二象限角，得到 cos 小于 0，根据 sin 的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出 cos 的值【解答】解：为第二象限角，且 sin=，cos=故选：A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键 3（5 分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=（）A4 B3 C2 D1 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3 故选：B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键 4（5 分）不等式|x22|2 的解集是（）A（1，1）B（2，2）C（1，0）（0，1）D（2，0）（0，2）【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可【解答】解：不等式|x22|2 的解集等价于，不等式2x222 的解集，即 0 x24，解得 x（2，0）（0，2）故选：D【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力 5（5 分）（x+2）8的展开式中 x6的系数是（）A28 B56 C112 D224 【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 6 求出 x6的系数【解答】解：（x+2）8展开式的通项为 T r+1=Cx 8r2 r 令 8r=6 得 r=2，展开式中 x6的系数是 2 2C82=112 故选：C【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 6（5 分）函数 f（x）=log2（1+）（x0）的反函数 f1（x）=（）A B C2x1（xR）D2x1（x0）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】把 y 看作常数，求出 x：x=，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数注意反函数的定义域【解答】解：设 y=log2（1+），把 y 看作常数，求出 x：1+=2y，x=，其中 y0，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化 7（5 分）已知数列an满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）B C3（1310）D3（1+310）【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0 数列an是以为公比的等比数列 a1=4 由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 8（5 分）已知 F1（1，0），F2（1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为（）A B C D 【考点】K3：椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1再由 AB 经过右焦点 F2且垂直于 x 轴且|AB|=3 算出 A、B 的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出 a2=4，b2=3，从而得到椭圆 C 的方程【解答】解：设椭圆的方程为，可得 c=1，所以 a2b2=1 AB 经过右焦点 F2且垂直于 x 轴，且|AB|=3 可得 A（1，），B（1，），代入椭圆方程得，联解，可得 a2=4，b2=3 椭圆 C 的方程为 故选：C【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题 9（5 分）若函数 y=sin（x+）（0）的部分图象如图，则=（）A5 B4 C3 D2 【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（x+）中参数的物理意义菁优网版权所有【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期 T=2（）=，所以 T=，所以=4 故选：B【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力 10（5 分）已知曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，a=（）A9 B6 C9 D6 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得 a 的值【解答】解：y=x4+ax2+1，y=4x3+2ax，曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，42a=8 a=6 故选：D【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题 11（5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）A B C D 【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用【分析】设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则 D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，2，1），设 CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|=，故选：A【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键 12（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2），过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则 k=（）A B