2012年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）.pdf

2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一选择题一选择题 1（5 分）已知集合 A=x|x 是平行四边形，B=x|x 是矩形，C=x|x 是正方形，D=x|x 是菱形，则（）AAB BCB CDC DAD 2（5 分）函数的反函数是（）Ay=x21（x0）By=x21（x1）Cy=x2+1（x0）Dy=x2+1（x1）3（5 分）若函数是偶函数，则=（）A B C D 4（5 分）已知 为第二象限角，则 sin2=（）A B C D 5（5 分）椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x=4，则该椭圆的方程为（）A B C D 6（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当 n1 时，Sn=（）A（）n1 B2n1 C（）n1 D（1）7（5 分）6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A240 种 B360 种 C480 种 D720 种 8（5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E 为 CC1的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（）A2 B C D1 9（5 分）ABC 中，AB 边的高为 CD，若=，=，=0，|=1，|=2，则=（）A B C D 10（5 分）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=2|PF2|，则 cosF1PF2=（）A B C D 11（5 分）已知 x=ln，y=log52，则（）Axyz Bzxy Czyx Dyzx 12（5 分）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，定点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角 当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（）A8 B6 C4 D3 二、填空题（二、填空题（共共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 20 分，在试卷上作答无效）分，在试卷上作答无效）13（5 分）的展开式中 x2的系数为 14（5 分）若 x，y 满足约束条件则 z=3xy 的最小值为 15（5 分）当函数 y=sinxcosx（0 x2）取得最大值时，x=16（5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 三、三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题，小题，共共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤在试卷上作答无效！算步骤在试卷上作答无效！17（10 分）ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列，其对边 a，b，c 满足 2b2=3ac，求 A 18（12 分）已知数列an中，a1=1，前 n 项和（1）求 a2，a3；（2）求an的通项公式 19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，PA=2，E 是 PC 上的一点，PE=2EC（）证明：PC平面 BED；（）设二面角 APBC 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小 20（12 分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球（1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1：2 的概率；（2）求开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率 21（12 分）已知函数（1）讨论 f（x）的单调性；（2）设 f（x）有两个极值点 x1，x2，若过两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y=f（x）上，求 a 的值 22（12 分）已知抛物线 C：y=（x+1）2与圆（r0）有一个公共点 A，且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l（）求 r；（）设 m，n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m，n 的交点为 D，求D 到 l 的距离 2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题一选择题 1（5 分）已知集合 A=x|x 是平行四边形，B=x|x 是矩形，C=x|x 是正方形，D=x|x 是菱形，则（）AAB BCB CDC DAD 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】直接利用四边形的关系，判断选项即可【解答】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以 DA，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以 BA，CA，正方形是矩形，所以 CB 故选：B【点评】本题考查集合的基本运算，几何图形之间的关系，基础题 2（5 分）函数的反函数是（）Ay=x21（x0）By=x21（x1）Cy=x2+1（x0）Dy=x2+1（x1）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】直接利用反函数的求法求解即可【解答】解：因为函数，解得 x=y21，所以函数的反函数是 y=x21（x0）故选：A【点评】本题考查函数的反函数的求法，考查计算能力 3（5 分）若函数是偶函数，则=（）A B C D 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】直接利用函数是偶函数求出 的表达式，然后求出 的值【解答】解：因为函数是偶函数，所以，kz，所以 k=0 时，=0，2 故选：C【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的解析式的应用，考查计算能力 4（5 分）已知 为第二象限角，则 sin2=（）A B C D 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出 cos，然后利用二倍角公式求解即可【解答】解：因为 为第二象限角，所以 cos=所以 sin2=2sincos=故选：A【点评】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力 5（5 分）椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x=4，则该椭圆的方程为（）A B C D 【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】确定椭圆的焦点在 x 轴上，根据焦距为 4，一条准线为 x=4，求出几何量，即可求得椭圆的方程【解答】解：由题意，椭圆的焦点在 x 轴上，且 c=2，a2=8 b2=a2c2=4 椭圆的方程为 故选：C【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题 6（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当 n1 时，Sn=（）A（）n1 B2n1 C（）n1 D（1）【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出【解答】解：Sn=2an+1，得 Sn=2（Sn+1Sn），即 3Sn=2Sn+1，由 a1=1，所以 Sn0则=数列Sn为以 1 为首项，公比为的等比数列 Sn=故选：A【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7（5 分）6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A240 种 B360 种 C480 种 D720 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】直接从中间的 4 个演讲的位置，选 1 个给甲，其余全排列即可【解答】解：因为 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的 4 个位置，所以不同的演讲次序有=480 种 故选：C【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力 8（5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E 为 CC1的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（）A2 B C D1 【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A平面 BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OEC1A，从而 C1A平面 BDE，直线 AC1与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距离，设为 h，在三棱锥 EABD 中，VEABD=SABDEC=22=在三棱锥 ABDE 中，BD=2，BE=，DE=，SEBD=2=2 VABDE=SEBDh=2h=h=1 故选：D 【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题 9（5 分）ABC 中，AB 边的高为 CD，若=，=，=0，|=1，|=2，则=（）A B C D 【考点】9Y：平面向量的综合题菁优网版权所有【分析】由题意可得，CACB，CDAB，由射影定理可得，AC2=ADAB 可求 AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：=0，CACB CDAB|=1，|=2 AB=由射影定理可得，AC2=ADAB =故选：D 【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用 10（5 分）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=2|PF2|，则 cosF1PF2=（）A B C D 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求 cosF1PF2的值【解答】解：将双曲线方程 x2y2=2 化为标准方程=1，则 a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|PF2|=2a 可得 m=2，|PF1|=4，|PF2|=2，|F1F2|=2c=4，cosF1PF2=故选：C【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题 11（5 分）已知 x=ln，y=log52，则（）Axyz Bzxy Czyx Dyzx 【考点】72：不等式比较大小菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】利用 x=ln1，0y=log52，1z=，即可得到答案【解答】解：x=lnlne=1，0log52log5=，即 y（0，）；1=e0=，即 z（，1），yzx 故选：D【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题 12（5 分）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，定点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角 当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（）A8 B6 C4 D3 【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】根据已知中的点 E，F 的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数【解答】解：根据已知中的点 E，F 的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为 F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为 G，在 DA，且 DG=，第三次碰撞点为 H，在 DC 上，且 DH=，