研究
高考
试题
视角
案例
成龙
余小芬著
书书书!#$!%!&!(!)*+,-./!0123!45!6!7!#$%&!#(!89:;?ABCDEF#GHIJ$EK!LMNOPQR#%&()*!+,-.*(/*/0 1.&/%&./2!)8%!#)D%$G%!%):;/=/ST!&)3 1 4%)2*.!UVQWXYZ!#&%&(_(2&2Ya!)*+,-./01234!DEF!GHI#!$!LMNOPQR%!&!EKbcdefcg%2&1&1 0!(!LMNOPQR)!*!+,-.*(/*/0 1.&/%&./2+!,!hijk4lm-./0!(05 56%1&5 5+!1!&)*02!3!%*4n$!4!%&(o p_Q+!4!%&(o p_q4l5!6!2 4)&r!$789:7;MstuvWY#wAWRxyz|(!&%(0 2&(2&(&%(0 2&1*&%(0 2&(&%4!u?#?!1&1 0NWRXY?4?=#w?PQR?(?!7 8 8 9!#9:;);?)=前 言高考是我国选拔各类人才的最重要方式,涉及千家万户的利益和万千学子的梦想。从某种意义上讲,高考是教育公平的重要体现。如何应对高考一直是教育工作者,尤其是一线教师思考的主要问题。解决这一问题,首先要清楚地认识到试题是选拔学生的途径和载体;同时,试题是构成高考试卷的单元。因此,研究高考可以转移到研究试题上来。如何研究试题呢?首先应明确研究的视角。哪些视角应纳入研究的范畴,哪些视角需要成为研究的焦点,哪些视角做到适可而止即可,都应仔细斟酌。在结合高考命题实际、综合研究因素的情形下,我们提出了研究高考试题的1 1个视角,即研究高考试题的功能、研究高考试题的布局、研究高考试题的立意、研究高考试题的背景、研究高考试题的解法、研究高考试题的变式、研究高考试题的推广、研究高考试题的评价、研究高考试题的优化、研究高考试题的规律和研究高考试题的解答技巧。这些视角可分为三个大的方面,即命题层面、研究层面和解答层面。其中,命题层面重在明确试题的功能、试卷结构和命题意图;研究层面主要分析素材的选取、方法的梳理和规律的揭示;解答层面重在分析答题的技巧,消除非智力因素的影响等。这些视角相互渗透、相互连通,构成一个完整的研究体系。本书在撰写过程中力求体现如下特点:(1)语言通俗易懂。书中尽量使用通俗的语言,回避生涩词语,以便于推广使用。(2)典型案例贯穿始终。书中选取的案例丰富,且具有典型性、示范性。书中共选取案例3 0个,涉及1 6 0余道典型试题,这些试题具有一定的难度、深度和广度,是研究高考的范例。(3)研究方法宜于迁移。研究案例使用的方法是中学常见的方法,如解法研究、变式研究、推广研究等,这些方法是研究高考试题的常见方法,容易引起读者的共鸣,同时这些方法也便于研究者实现迁移。衷心感谢为本书的出版提供大力支持和资助的内江师范学院数学与信息科学学院和科研处、教育部本科教学工程内江师范学院“数学与应用数学专业综合改革试点”项目(Z G 0 4 6 4)、四川省教育厅“数学与应用数学专业教学综合改革项目”、四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目(Z Y 1 6 0 0 1)、内江师范学院“数学与应用数学专业转型发展改革试点”项目(Z X 1 7 0 0 3)、内江师范学1院2 0 1 6年度校级学科建设特色培养项目(T 1 6 0 0 0 9,T 1 6 0 0 1 0,T 1 6 0 0 1 1)、内江师范学院教材出版基金;感谢为本书的出版付出辛勤劳动的四川大学出版社的编辑们;感谢为本书的出版提供热情帮助的彭家寅、曾意、赵思林、王新民、潘超、李红霞、徐小琴、吕荣春、杨坤林等老师;感谢本书引用研究成果的作者。同时也真诚感谢关心、支持本书出版的所有亲人、朋友,谢谢你们的支持和帮助!由于时间及知识水平所限,本书内容在编写上难免有不足之处,恳请大家批评指正。著 者2 0 1 8年8月2研究高考试题的视角与案例目 录第1章 研究高考试题的功能(1)1.1 测评选拔功能(1)1.2 科研选题功能(2)1.3 命题示范功能(3)1.4 知识延展功能(3)1.5 思维训练功能(4)1.6 思想承载功能(5)1.7 教学导向功能(6)1.8 德育渗透功能(7)第2章 研究高考试题的布局(8)2.1 研究试题题型分布(8)2.2 研究试题难度分布(1 2)2.3 研究试题分值分布(1 4)2.4 研究试题内容分布(1 6)第3章 研究高考试题的立意(2 2)案例1 2 0 0 5年大纲卷理科2 2题立意分析(2 2)案例2 2 0 0 9年新课程理念下高考数学“亮题”赏析(2 3)案例3 高考数学探究性试题简析(2 8)案例4 高考数学创新型试题的七种类型及评析(3 3)第4章 研究高考试题的背景(3 9)案例5 高考数学命题的选材研究(3 9)案例6 对含有高等数学背景的高考试题的研究(4 5)案例7 与三角形相关的高考向量试题命题视角分析(5 2)第5章 研究高考试题的解法(5 9)案例8 2 0 0 7年高考数学四川卷理科2 2题的解法研究(5 9)案例9 2 0 1 6年高考数学四川高考数学理科2 1题的解析(6 2)案例1 0 2 0 1 7年高考数学江苏卷理科1 2题的多解(6 5)案例1 1 2 0 1 7年高考数学全国卷理科1 8题的多解(7 0)案例1 2 活用导数解三角函数题(7 6)1 案例1 3 巧构图形 妙解试题 以高考中与向量有关的最值(范围)问题为例(7 9)案例1 4 特殊化思想巧解2 0 1 2年高考题(8 3)案例1 5 利用数学思想解高考恒成立问题(8 6)案例1 6 对两道分段函数题目的错解分析(9 1)案例1 7 2 0 1 6年四川高考理科2 1题的典型失误及教学建议(9 4)第6章 研究高考试题的变式(1 0 0)案例1 8 对一个向量最值问题的多种变式(1 0 0)案例1 9 对2 0 1 7年高考全国卷理1 2题的变式(1 0 2)第7章 研究高考试题的推广(1 0 5)案例2 0 对一道高考试题的推广(1 0 6)案例2 1 2 0 0 7年福建卷文科第2 2题()问的推广(1 0 8)案例2 2 2 0 1 1年全国卷理科第1 5题的推广(1 1 1)第8章 研究高考试题的评价(1 1 3)案例2 3“深情回望”与“启迪未来”对2 0 1 3年高考四川卷(理)第1 5题的评析(1 1 3)第9章 研究高考试题的优化(1 1 7)案例2 4 几个试题命制失误案例及优化(1 1 7)案例2 5 参考答案仅供参考(1 1 9)第1 0章 研究高考试题的规律(1 2 4)案例2 6 2 0 1 52 0 1 7年高考数学全国卷导数命题的几个视角(1 2 4)案例2 7 2 0 1 12 0 1 7年高考数学全国卷函数图像命题的几种视角(1 2 9)案例2 8 2 0 1 02 0 1 8年高考数学全国卷“概率与统计”专题分析(1 3 6)第1 1章 研究高考试题的解答技巧(1 4 7)案例2 9 全国卷函数客观题“多想少算”的解题策略(1 4 7)案例3 0 基于高考阅卷视角的解答题策略得分法(1 5 5)参考文献(1 6 1)2研究高考试题的视角与案例第1章 研究高考试题的功能高考试题是精心之作,有些题目立意深刻、构思巧妙、设计新颖,堪称独具匠心.高考试题是知识、能力和思想方法的载体,是命题思想、命题理念的程序化展现,具有典型性、示范性和权威性.因此,高考试题是应对高考的“最佳原型”.但在高三复习中许多一线教师并未真正认识到高考试题的价值,对其重视程度不够、使用不够充分,甚至有个别老师从未使用过高考试题,而是大量使用“宝典”“密卷”.下面就高考试题功能进行分析,以便加强教师对高考试题资源的开发与利用,从而提高备考有效性.1.1 测评选拔功能 普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版)(以下简称 标准)指出:“高考是我国最为重要的选拔性考试,数学高考命题应依据人才选拔要求,发挥数学高考的选拔功能.”因此,高考试题具有的首要功能是数学测评.数学测评的目的是考查学生学习、教师教学的成效.通过测评,诊断学生学习过程中的优势与不足;通过诊断,改进学生的学习行为和教学方式;通过改进,增强教学活动的针对性和有效性.正如斯塔弗尔比姆所说:“评价最重要的意图不是为了证明,而是为了改进.”一般来说,测评的内容包括“双基”“四能”,课程理念、学科素养等.【例1-1】(2 0 1 0年全国卷理1 0题)已知函数f(x)=l gx.若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是().A.(22,+?)B.22,+?)C.(3,+?)D.3,+?)分析:例1-1解答入口较宽,解题方法多样,既可测评学生对基础知识的掌握,又可诊断优生的直观想象素养.下面从直观想象视角分析试题的解答.如图1-1所示,作出函数f(x)=l gx的图像.因为f(a)=f(b),所以0a11-a,即a+b2.所以a+2b3,故选C.1余小芬,刘成龙.高考数学试题功能的分析 J.内江师范学院学报,2 0 1 8(1 0):1 7-2 2.(有改动)中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版)M.北京:人民教育出版社,2 0 1 7.图1-1点评:直观想象主要是指借助空间想象感知事物的形态和变化,利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括利用图形描述数学问题、启迪解决问题的思路、建立形与数的联系、加深对事物本质和发展规律的理解和认知.例1-1从直观想象视角来处理,既可避免去绝对值、不等式放缩的烦琐过程,又有利于甄别学生的思维品质和考查学生的学科素养.同时,对强调几何直观在数学学习中的作用有积极意义.1.2 科研选题功能问题是数学的心脏,问题是研究的核心,问题贯穿数学活动的始终.数学问题是指数学中要求作答或解释的疑问.广义的数学问题是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾;狭义的数学问题则是已经明显表示出来的题目,用命题的形式加以表述,包括求解类、证明类、设计类、评价类等问题.书中的数学问题指狭义的数学问题,即已有结论的题目,具有接受性、封闭性和确定性等特征.显然,高考试题本身就是数学问题,尤其一些经典的高考试题是教学研究的重点.实践表明,数学问题的提出往往是一个复杂的过程.爱因斯坦指出:“提出一个问题比解决一个问题更重要.因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题,却需要有创造性的想象力,标志着科学的真正进步.”这体现了提问的复杂性和创造性.高考试题是命题专家的精心之作,展现了命题者的智慧.高考试题以问题的形式展示给学生,所提出的问题在具有数学测评功能的同时,往往还具有研究性.【例1-2】(2 0 1 0年天津卷理2 1题)已知函数f(x)=xe-x(xR).()略;()略;()如果x1x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x22.点评:例1-2实质上是函数极值点偏移问题,可以进一步抽象.问题:如图1-2所示,已知连续函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,若方程f(x)=c的解分别为x1,x2,且x12x0.2研究高考试题的视角与案例张奠宙,宋乃庆.数学教育概论 M.北京:高等教育出版社,2 0 0 9.张奠宙,宋乃庆.数学教育概论 M.北京:高等教育出版社,2 0 0 9.潘超.试论数学问题改编的方式和要求 J.数学通报,2 0 1 4,5 3(6):2 1-2 4.图1-2该问题既是测评学生的好问题,又是研究的好课题.据不完全统计,近5年有2 0余位老师在中学数学刊物上发表了该问题的研究成果,介绍了极值点偏移产生的原因,给出了极值点偏移的定义,得到了极值点偏移问题的三种处理策略,即构造一元阶差函数、构造对数平均不等式、利用换元法构造函数.该类问题的本质为“脱”f,即若m,nA,由f(x)在区间A上为单增函数(或减函数)及f(m)f(n)(或f(m)n.不难看出,例1-2提出的问题富含生命力,具有研究价值.同时,在2 0 1 0年后的高考中该类问题频频出现,这也