2014年第十四届中环杯决赛试题与标准答案-八年级决赛.pdf

第十四届野中环杯冶中学生思维能力训练活动初二年级决赛得分院一尧填空题院渊每小题 5 分袁共 50 分袁请将答案填写在题中横线处遥 冤1.方程渊x2-11x+1冤渊x2-11x+2冤噎渊x2-11x+100冤=0 的所有实数根的和为遥2.已知 a尧b尧c 0袁 且 x 满足ax+b姨+bx+c姨+cx+a姨=a-bx姨+b-cx姨+c-ax姨袁则 x=遥3.已知 a=-3姨+5姨+7姨袁b=3姨-5姨+7姨袁c=3姨+5姨-7姨袁 计算院a4渊a-b冤渊a-c冤+b4渊b-a冤渊b-c冤+c4渊c-a冤渊c-b冤=遥4.如图袁吟ABC 的三边长度 AB=7袁BC=8袁AC=9袁点 D 在 AC 上袁使得蚁CBD=45毅袁则 BD=遥5.小钱尧小王尧小张尧小孙尧小陶都很喜欢运动袁每人都喜欢羽毛球尧排球和壁球中的一种或几种遥 已知没有人三种运动都喜欢袁 但有人同时喜欢羽毛球和排球袁也有人同时喜欢排球和壁球袁还有人同时喜欢羽毛球和壁球遥 那么五个人各自爱好的球类运动共有种不同的组合方式遥6.已知一元三次方程 x3-x-1=0 有三个根 x1尧x2尧x3袁则1+x11-x1+1+x21-x2+1+x31-x3=遥7.方程组x+x+2yx2+y2=2y+2x-yx2+y2=0扇墒设设设设设设缮设设设设设设的解为遥8.已知正整数 n臆1000000袁且n姨-n姨12014渊其中x表示不大于 x 的最大整数冤袁则满足条件的 n 有个遥9.如图袁 在平行四边形 ABCD 中袁BC 边上恰好有 8 个点 E1尧E2尧噎尧E8渊图中只画出了 3个点冤袁满足BEiBC=1i+1渊i=1尧2尧噎尧8冤袁比如BE1BC=12袁BE2BC=13尧噎尧BE8BC=19遥在 AB 边上有 998 个点 G1尧G2尧噎尧G998袁这 998 个点将 AB边平分为 999 段遥 我们从 BC 边上选取一个点Ei袁 从 AB 边上选取一个点 Gj渊一共有 8伊998种选法冤袁联结 AEi并延长袁交 DC 延长线于点F袁联结 FGj尧FB遥 这么多选法中袁使得S吟GjBOS吟FBO的结果是一个纯循环小数的选法有种遥10.如果一个正整数 b渊b逸2冤满足以下的条件袁我们就称其为野恒生银行数冶院存在两个正整数 x尧y渊0 xb袁0yb冤袁使得 x+yb是xy的整数倍遥 那么袁小于等于 100 的野恒生银行数冶一共有个遥二尧动手动脑题院渊每小题 10 分袁共 50 分袁除第 15 题外袁请给出详细解题步骤遥 冤11.用 2 个 1伊2 的小长方形可以拼成图 1 所示的图形袁有两种拼法袁如图 2尧图 3渊黑色小长方形和白色小长方形互换位置袁视为同一种拼法冤遥 用 11 个 1伊2 的小长方形恰好拼成如下图形袁那么共有多少种不同的拼法钥12.已知 a尧b尧c尧x 都是正数袁且满足xb+渊1-x冤ca=xc+渊1-x冤ab=xa+渊1-x冤bc袁求证院a=b=c遥ABCD第 4 题ADFCBGjOHE4E2E1第 9 题图 1图 2图 3图 4注意院每小题前的野阴冶由阅卷人员填写袁考生请勿填写遥13.如图袁D尧E尧F分别是吟ABC 中BC尧CA尧AB 上的点袁 满足 BD=CE=AF且蚁BDF=蚁CED=蚁AFE遥 求证院吟ABC 是一个等边三角形遥14.已知四个非负整数 m尧n尧N尧k 满足方程渊n2+1冤2k窑 渊44n3+11n2+10n+2冤=Nm袁求证院m=1遥15.将图 2 中的 10 艘小船放入图 1 的表中袁 小船中的每一块占据一个方格遥每艘船都是水平或竖直放置袁并且任意两艘船不会相邻渊如果一艘船中的某一格与另一艘船中的某一格相邻袁就认为这两艘船相邻冤遥表中右边和下面的数字表示这行尧这列中小船占据的方格数量袁有波浪线的地方表示这里不能放置船遥图中已经给出了两个方格渊方块与船中的方块对应袁圆与船中的圆对应冤遥 请你画出最后的结果渊注意院圆尧方块尧半圆要画清楚冤遥ABCDEFGHIJKLMNOPQRST31402121241261220132图 1图 2ABFCED