2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf

2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知集合 A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为（）A5 B4 C3 D2 2（5 分）已知点 A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）3（5 分）已知复数 z 满足（z1）i=1+i，则 z=（）A2i B2+i C2i D2+i 4（5 分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）A B C D 5（5 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线 C：y2=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（）A3 B6 C9 D12 6（5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 7（5 分）已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和，若 S8=4S4，则 a10=（）A B C10 D12 8（5 分）函数 f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（）A（k，k+），kz B（2k，2k+），kz C（k，k+），kz D（，2k+），kz 9（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（）A5 B6 C7 D8 10（5 分）已知函数 f（x）=，且 f（a）=3，则 f（6a）=（）A B C D 11（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则 r=（）A1 B2 C4 D8 12（5 分）设函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a的图象关于 y=x 对称，且 f（2）+f（4）=1，则 a=（）A1 B1 C2 D4 二、二、本大题共本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分分.13（5 分）在数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前 n 项和，若 Sn=126，则 n=14（5 分）已知函数 f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则 a=15（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最大值为 16（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0，6）当APF 周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a=，求ABC 的面积 18（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD（）证明：平面 AEC平面 BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积 19（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 （xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.（un vn），其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=20（12 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x2）2+（y3）2=1 交于点 M、N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）若=12，其中 O 为坐标原点，求|MN|21（12 分）设函数 f（x）=e2xalnx（）讨论 f（x）的导函数 f（x）零点的个数；（）证明：当 a0 时，f（x）2a+aln 四四、请考生在第请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题则按所做的第一题记分【记分【选修选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】22（10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（）若 OA=CE，求ACB 的大小 五、【五、【选修选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=2，圆 C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求 C1，C2的极坐标方程；（）若直线 C3的极坐标方程为=（R），设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 六、【六、【选修选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】24已知函数 f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知集合 A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为（）A5 B4 C3 D2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：A=x|x=3n+2，nN=2，5，8，11，14，17，则 AB=8，14，故集合 AB 中元素的个数为 2 个，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2（5 分）已知点 A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之【解答】解：由已知点 A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（4，3），则向量=（7，4）；故选：A【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒 3（5 分）已知复数 z 满足（z1）i=1+i，则 z=（）A2i B2+i C2i D2+i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z1，进一步求得 z【解答】解：由（z1）i=1+i，得 z1=，z=2i 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 4（5 分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）A B C D 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【解答】解：从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共 10 种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题 5（5 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线 C：y2=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（）A3 B6 C9 D12 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出 A，B 坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线 C：y2=8x 的焦点（2，0）重合，可得 c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得 y=3，所以 A（2，3），B（2，3）|AB|=6 故选：B【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 6（5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则r=8，解得 r=，故米堆的体积为（）25，1 斛米的体积约为 1.62 立方，1.6222，故选：B【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础 7（5 分）已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和，若 S8=4S4，则 a10=（）A B C10 D12 【考点】83：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：an是公差为 1 的等差数列，S8=4S4，8a1+1=4（4a1+），解得 a1=则 a10=+91=故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8（5 分）函数 f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（）A（k，k+），kz B（2k，2k+），kz C（k，k+），kz D（，2k+），kz 【考点】HA：余弦函数的单调性菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图