2014年第十四届中环杯决赛试题与标准答案-五年级详解.pdf

第第 1414 届“中环杯”中小学生思维能力训练活动届“中环杯”中小学生思维能力训练活动 五五年级决赛答案年级决赛答案 一、填空题：一、填空题：1.【答案】1203【解答】11.99 73 1.09 29711.99 73 1.09 11 2711.99 73 11.99 271199，而2211318422，所以和为119941203。2.【答案】11【解答】4204 mod138148 mod1316164 mod13，所以420 814 16164 8 416 83 811 mod13 。3.【答案】45【解答】设甲班原有5k个人，则乙班原有7k个人。根据题意，列出方程5349735kkk。所以甲班原有学生545k 人。4.【答案】50【解答】显然，9|966428 91 405 mod911|966428 91 405 mod11ABABABAB。考虑到ABAB、同奇偶，所以可能的方程组有5550ABAABB或144610ABABAB。由于9B，所以只有一种可能，所以50AB。5.【答案】400【解答】联结EF。由于33ABAEEFACAF/BC，所以1FBDEBDSSS，所以122403EBDEDCEBCABCSSSSSS，为一个定值。显然，当1220SS时，12SS最大为400。OFEABCD 6.【答案】67111【解答】如下左图，我们知道0124abceX XXabcdX XabcXXX，由于1124abcdX XdabcXXX，然后利用1111abcdX XabcX Xb。至此，我们得到下右图。而247abcXXXc或2，而且我们还可以推出25ea。接下来分类讨论：edcba4102 e1c1a4102（1）若7c，如下图，由于170aeX XX，显然十位数向百位数的进位最多是1，所以a e的个位数必须是9或0。（1.1）为了取得乘积的最大值，从大到小进行尝试。如果9a，为了保证a e的个位数必须是9或0，则1e 或0，显然不可能；如果8a，为了保证a e的个位数必须是9或0，则5e，从而得到817 215175655，满足所有要求。（1.2）为了取得最小值，从小到大尝试。如果5a，为了保证a e的个位数必须是9或0，则2e（当 然e还 可 以 等 于4 6,8、，这 里 是 为 了 求 最 小 值），从 而 得 到517 212109604。至此，当7c 时，最大值为175655，最小值为109604。e171a4102（2）若2c，如下图，由于170aeX XX，显然十位数向百位数的进位最多是1，所以a e的个位数必须是9或0。（2.1）为了取得乘积的最大值，从大到小进行尝试。如果9a，为了保证a e的个位数必须是9或0，则1e 或0，显然不可能；如果8a，为了保证a e的个位数必须是9或0，则5e，从而得到812 215174580，满足所有要求。（2.2）为了取得最小值，从小到大尝试。如果5a，为了保证a e的个位数必须是9或0，则2e（当 然e还 可 以 等 于4 6 8、，这 里 是 为 了 求 最 小 值），从 而 得 到512 212108544。至此，当7c 时，最大值为174580，最小值为108544。e121a4102 综上所述，本题的最大值为817 215175655，最小值为512 212108544，差为175655 10854467111。7.【答案】9【解答】容易知道，这15位选手一共需要比赛21515 7C（场），产生15 7 2210（分），所以理论上最多有2101020（人）能够拿到奖品。接下来，我们要证明，不可能有10人同时拿到20分或以上。假设1210,A AA同时拿到20分或以上，也就意味着111215,AAA一共只能拿到 10分或以下。考虑到111215,AAA之间有2510C（场）比赛，产生了20分的总分，所以不可能只得到10分或以下。至此，理论上最多只能有9个人，接下来举例：129,A AA互相之间全部打平，然后129,A AA每个人都战胜了101115,AAA中的所有人，这样129,A AA每个人都可以得6 2820（分）。8.【答案】2013，4023【解答】由于小明以匀速进行跑动，且沙漏以相同的速率在漏沙子，所以a、bc、de、fg构成一个等差数列，设其公差为k，则3fgak。由于fg是3的倍数，所以3|33|aka。而题目又告诉我们a是2的倍数，所以a是6的倍数。由于09a，所以6a。其次，由于2622 3deakkk是5的倍数，所以推出2,7,12,17,k。由于36310031fgakkk，所以所有可取的2,7,12,17,22,27k。接下来检验一下6bcakk是否为质数，容易发现6,13,20,27或6,23,40,57均符合我们的要求，所以2013debc 或4023。9.【答案】120【解答】我们直接分类讨论：（1）如果从“难”开始一笔画，则能产生6 212（个）字串（其中数字6表示第一步有6个选择：“中”、“环”、“杯”、“真”、“的”、“好”均可以；数字2表示顺时针一笔画还是逆时针一笔画）。（2）由于对称性，我们来研究从“中”开始一笔画，能产生多少个字串。（2.1）“中”“难”，产生2个字串；（2.2）“中”“好”“难”，产生2个字串；（2.3）“中”“环”“难”，产生2个字串（这种情况与（2.2）类似，为了简单起见，后面的情况中，直接每个乘以2，代表以“中”、“难”构成的直线为对称轴的取法）；（2.4）“中”“好”“的”“难”与“中”“环”“杯”“难”，产生224（个）字串（后面的将“与”的部分省略，同学们应该有能力自己补全）；（2.5）“中”“好”“的”“真”“难”，产生224（个）字串；（2.6）“中”“好”“的”“真”“杯”“难”，产生1 22（个）字串；（2.7）“中”“好”“的”“真”“杯”“环”“难”，产生1 22（个）字串。如上所述，如果从“中”开始一笔画，能产生222442218（个）字串，所以只要不从“难”出发，一共有18 6108（个）字串。综上两种情况，一共有12 108120（个）字串。10.【答案】10【解答】如下图，容易发现A HC、与BHD、都是三点共线，我们只要求出CJCH、DIDH，然后利用鸟头定理即可求出CFJS与DFIS，然后利用CDHCFJDFISSS就可以求出阴影部分的面积了。由于222423555111123442CJCFCJCJCACHJAABCHDIDFDIDIDBDHIBABDH，所以利用鸟头定理，有428853151511112366CFJCFJCDHCDHDFIDFICDHCDHSCJCFSSSCH CDSDIDFSSSDHDC，所以8133131561010 220CDHCFJDFICDHCDHCDHCDHSSSSSSSSSm阴正方形，所以320nm。由于mn、都是正整数，所以20|m，所以225ma。由于m有 9 个约数，所以m只能等于2225100，所以边长为10厘米。IJFHCDGEAB 二、动手动脑题：二、动手动脑题：11.【答案】62.5千米【解答】设AB、间的距离是x千米，则我们可以列出方程11.562.51012.54xxx千米。12.【答案】17【解答】假设一个数的质因数分解如下所示：1212nrrrnxp pp，将其中质因子2去掉（当然可能本来就没有这个质因子），剩下的数代入约数的个数公式，我们可以计算出其含有奇约数的个数，比如：242023 5 7 ，它的奇约数个数有 1 11 11 18（个），是一个“中环数”。在这个过程中，我们发现，只要让一个奇质因子的指数出现偶数，那么其奇约数个数就肯定不能表示为2m了，比如293，其奇约数的个数为2 13（个）。至此，我们发现一个规律，只要一个数是9的倍数，并且不是27的倍数，那么这样的数肯定不是“中环数”。至此，理论上连续的中环数最多是：278,277,27,278nnnn，一共17个。我们可以举个例子：127,128,143都是“中环数”。13.【答案】680【解答】显然，如果输出的结果是偶数，则输入的也必须是偶数（41k 不可能为偶数）。根据题意，如果逆推的话，最后的结果应该至少会产生四条分支：（1）如果输出的结果为4k或42k，显然输入必须为偶数，则只可能321684kkkk或32161688442kkkk，只有一条分支。所以要求的结果不可能是4k或42k；（2）如果输出的结果为43k，显然不可能由“41kk”得到，则只能由“除以2”这个结果得到，所以最后一步运算肯定为8643kk。由于86k 已经是偶数了，所以之前的输入都必须为偶数，所以得到322416128643kkkk，只有一条分支。所以要求的结果不可能是43k；（3）根据前面两个结论，最后的结果应该是41k，简单分析一下得到下面的可能：4182kkk，其中82k 已经是偶数了，所以下面只可能产生一条分支。利用前面的结论，要使得上面能产生三条分支，则41km，从而得4141282mkmkkk。显然2k这条分支就结束了。为了还能造就两条分支，则41mt，所以得4141241282tmtkmmkkk。这样就能产生四条分支了。显然，t的最小值为1，此时得到所有的分支为152110858442680340170。所以，输出的最小值为85，此时羊爸爸的输入值就是680。14.【答案】66【解答】如下图，设线段DE与AH相交于点F，线段GI与AH相交于点J。容易知道11DEADAFAHBCDEAHBCABAHAHAH，22GIAGAJAHBCGIAHBCABAHAHAH。依次类推，后面每条水平线段的长度为3BCAHAH、BCAH。根据题意，每层的中间都没有产生空隙，所以这些水平线段的长度都是正整数。我们观察1BCDEAHAH，根据数论中的结论：1,AHAH互质，为了使得DE为正整数，则BC必须是AH的倍数。设BCkAH（k为整数），并且设AHx，所以11BCDEAHk xAH。同理，剩下的水平线段的长度分别为2k x、3k x、k，最后所有小正方形的个数为 11212x xkxxk。根据题意，21330166023 5 112x xkkx x ，接下来就是解这个不定方程了。由于题目说了8BCAH，所以8k，所以x、1x中必然有一个数是11的倍数。如果x、1x中有一个数是22，那么另一个数只能是21或23。而660中不含质因数7、23，不可能；如果x、1x中有一个数大于等于33，那么132 33660 x x，也不可能；由此推出x、1x中必然有一个数为11。尝试一下发现6605 12 116 11 10 ，所以有两种可能：（1）当5k、12x 时，此时意味着5BCkAH、12AH，所以60BC；（2）当6k、11x时，此时意味着6BCkAH、11AH，所以66BC。所以BC的最大长度为66。JFIGEDBHAC 15.【答案】（1）答案不唯一，下图为 4 种正确的分割方法。（2）如下图 8114434373845754