2014年第十四届中环杯决赛试题与标准答案-四年级详解.pdf

第第 1414 届“中环杯”中小学生思维能力训练活动届“中环杯”中小学生思维能力训练活动 四年级决赛答案四年级决赛答案 一、填空题：一、填空题：1.【答案】750【解答】754.715.92525 34.715.92525 14.1 15.9252514.1 15.925 30750 2.【答案】43【解答】从两位数开始尝试即可。3.【答案】11【解答】4421 11 4.【答案】273【解答】容易发现，10、11、12月里的日期已经包含在1月的表示中了，最后有效的就是19月里的日期，一共有36531 3031273（天）。由于每一天都有一个三位数与之对应，所以有273个这样的三位数。5.【答案】4【解答】作BICD。容易知道，135KHD。在五边形ADHKB中，通过内角和为540很容易求出135ABK。在梯形ABCD中，利用内角和为360很容易求出45BCD。所以7CIIBCDABAD。考虑到3DHDE，所以4CH。由于45BCD，所以CHK为等腰直角三角形，所以22114444CHKSCH。IKGEFDCBAH433 6.【答案】12 【解答】首先对上底面三个点进行染色，有3 2 16 （种）方法。一旦上底面定了之后，比如下左图中的颜色，那么下底面就只有两种染色方法了，如下中、右图。所以一共有6 212（种）染色方法。RGB BGRGBR GRRGBB 7.【答案】60【解答】首先，这五个数的平均数为242755643455xx，所以x肯定是5的倍数。根据题意，55不可能是中间的数，中间的数只能是x或27。接下来分类讨论：（1）如果中间的数是27，也就意味着27x，所以3434405x。在这个范围内的质数只有37，此时15x；（2）如果中间的数是x，也就意味着2755x。根据题意，3|x。结合我们之前的推导，有5|x，所以15|x。在2755x范围内，15的倍数只有30、45。将30、45代入345x，发现只有当45x 时，34435x是一个质数。综上所述，满足条件的x为15或45，它们的和为60。8.【答案】1984【解答】从左边的数字谜中可分析出“决”和“成”相差 1，“赛”和“功”相差3。右边的数字谜中，显然有19中环。（1）若右边算式个位没有向十位进位，则“力”、“棒”分别是0 4、，“强”、“杯”是8 3、或6 5、。当“强”、“杯”是8 3、时，剩下的四个数字就是2 5 6 7、，能满足左边数字谜“决、成差 1，赛、功差3”的要求。当“强”、“杯”是6 5、时，剩下的四个数字就是2 3 7 8、，无法满足左边数字谜“决、成差 1，赛、功差3”的要求。（2）若右边算式个位向十位进位了，14力棒，“力”、“棒”只能分别是8 6、；10强杯，“强”、“杯”只能分别是3 7、。此时剩下的四个数字就是0 2 4 5、，无法满足左边数字谜“决、成差 1，赛、功差3”的要求。综上所述，只有“力”、“棒”分别是0 4、，“强”、“杯”分别是8 3、时，满足我们的要求，此时“中环杯棒”最大为1984。9.【答案】43【解答】我们知道，62 3、93 3，所以只要学生的人数n满足0 mod3n，都可以用6粒装、9粒装这两种盒装巧克力表示。如果43n 且1 mod3n，我们可以用4032k k表示这样的人数，也就是说可用两盒20粒装的巧克力与若干盒6粒装或9粒装盒装巧克力来表示。如果43n 且2 mod3n，我们可以用2038k k表示这样的人数。综上所述，超过43个学生，全部可以用这三种巧克力表示人数。而43显然无法表示，所以43就是我们要求的最大值。10.【答案】28【解答】由于最后结果的末尾恰好有两个零，所以必须恰好经过两条粗线。接下来分类讨论：如下图，经过这两条时，根据乘法原理，我们只要计算CD的可能性，再乘以EB的可能性，最后答案就是13252 1020CC（种）；55DCAEB 如下图，经过这两条时，根据乘法原理，我们只要计算FG的可能性，再乘以HB的可能性，最后答案就是215210220CC（种）；55FABHG 如下图，经过这两条时，根据乘法原理，我们只要计算AI的可能性，再乘以JK的可能性，再乘以LB的可能性，最后答案就是2113223 2212CCC （种）。55IAJBLK 但是要注意，同时经过三条红线段的方法被计算了三次，要全部减去（否则末尾有三个零了）。如下图，同时经过三条红线的走法为：MN的可能性，再乘以OP的可能性，再乘以QB的可能性，为1112222228CCC（种）。555NMAOBQP 综上所述，最后的答案就是2020 123 8522428 （条）路径满足要求。二、动手动脑题：二、动手动脑题：11.【答案】900米【解答】设家离银行有x米，哥哥走了180 x米，妹妹走了180 x米，从而得到关系式180180601806090180909009060 xxtxxx 米。12.【答案】8【解答】容易知道，1982 9 11 。为了使得排成的五位数是9的倍数，数字和必须为9的倍数。由于0 1 26615 并不是9的倍数，所以肯定需要将一些卡片旋转。由于只有6旋转后会发生变化，尝试一下01269180129921 ，发现这样的五张卡片必须为0、1、2、6、9。设这个五位数为abcde，为了使得其为11的倍数，则 11|acebd。对于0、1、2、6、9来说，这样的组合只有一种：ace、取1 2 6、，bd、取0 9、。最后，由于这个五位数是2的倍数，所以e必须为偶数，只能是2或6。综上所述，利用乘法原理，这样的五位数有2 2 2 18 （个）（其中第一个2表示bd、的取法，第二个2表示e的取法，第三个2表示a的取法）。13.【答案】（1）不能；（2）能，走了44239米【解答】由于这个机器人每走6次就是一个循环，要看它能否走到点Z，就是看它一个周期内是否能笔直往东方移动（不能与东方产生角度）。如下图，画出一个周期内的情况，注意：第五次行走的距离为EF，并没有标注其长度，而AF的方向就是东方。我们就是要看看，当走完一周后，要使得其最后的效果为向东方移动，那么第五次行走的长度EF应该是多少。由于这个六边形每个内角都是120，将其补成一个三角形，则GCD、HAB、IEF、GHI都是等边三角形，所以543 12GHGCCBBH 。而 52GIGDDEEIEF，所以5EF，也就是说第五次行走的距离必须为5，才能使得总效果为向东方行走。（1）由于第五次行走的距离为6米，所以行走完一个周期后，往东偏南的方向走了一段距离，之后每走完一个周期都会这样，所以无法到达Z点。（2）由于第五次行走的距离为5米，所以可能可以到达Z点。接下来我们来求一下AF的长度。容易知道12123 54HAAFFIAF ，而题目中第六次行走的距离为3米，到达点K，所以一个周期后，机器人相当于向东方移动了1米，所以肯定可以到达点Z。接下来要算算需要运动几个周期。注意，不是2014个周期。当运动完2010个周期的时候，此时已经走到了距离A点2010米的地方。在第2011个周期的第五次行走结束时，由于4AF，所以直接到达点Z。由于机器人在一个周期里行走的距离为34525322 （米），所以它一共走了22201034525442201944239（米）。KIHGFEDCAB4352 14.【答案】延长IJ，与GH的延长线的交点就是点P。【解答】如下图，我们先来计算JMN的面积。利用共边定理，有1333JMNXMNSSSS 小正六边形小正六边形。而16181836ABFAXYSSSSS大正六边形小正六边形小正六边形，所以3JMNSS大正六边形。由于6020JMNPMNSSS大正六边形，利用等积变换的内容，我们知道PJ/MN。由于IJ/MN，所以延长IJ，与GH的延长线的交点就是点P。BCDEFAMNIJHGYX 15.【答案】（1）答案不唯一，下图为 4 种正确的分割方法。（2）如下图 8114434373845754