量子力学简明教程.pdf

普通高等教育“十三五”规划教材 河南科技大学教材出版基金资助 量子力学简明教程 尤景汉 琚伟伟 主 编 李同伟 王 翚 副主编 内 容 简 介 本书简明扼要地讲述了量子力学的基本概念和基本原理，针对每部分内容都附有若干典型习题的讲解。期望通过本书使读者对量子力学有系统的理解。本书共6章，主要内容包括绪论、波函数和薛定谔方程、量子力学中的力学量、态和力学量的表象、微扰理论、自旋与全同粒子。本书可作为普通高校物理类本科生的教材或参考书，也可供相关领域的读者参考。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 量子力学简明教程/尤景汉，琚伟伟主编.北京：电子工业出版社，2016.6 普通高等教育“十三五”规划教材 ISBN 978-7-121-28267-6 I量 II尤 琚 III量子力学高等学校教材 IVO413.1 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2016）第 045012 号 策划编辑：王晓庆 责任编辑：郝黎明 特约编辑：张燕虹 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7871092 1/16 印张：12.75 字数：326 千字 版 次：2016 年 6 月第 1 版 印 次：2016 年 6 月第 1 次印刷 定 价：35.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：(010)88254113，。前 言 量子力学是现代物理学的理论基础之一，是研究微观粒子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。量子力学自创立以来已取得了巨大的成功。量子力学不仅成功解释了原子、原子核的结构，固体结构、元素周期表和化学键，超导电性和半导体的性质等，而且促成了现代微电子技术的创立，使人类进入了信息时代，促成了激光技术、新能源、新材料科学的出现。历史上，没有哪一种理论成就可以如此深刻地改变人类的观念、人类社会的生产和生活。因此，作为当前高校物理类及相关专业的学生，学好量子力学就显得尤为重要。然而，作者在对本科生授课的过程中发现，很多学生反映量子力学太抽象，较难理解。尤其是对于初学者来说，比较浅显的教材可以使学生对量子力学的基本概念和基本原理有个初步的把握。因此，作者根据多年的教学经验，结合授课讲义，编写了这本书。考虑到目前高校的实际教学时数，本书在编写过程中力求精练，讲解深入浅出，数学推导清楚而简洁，目的是使学生能够在较短的时间内对量子力学这门课有个初步的理解。同时，针对每一章，我们还选择了一些典型的习题并给出解答，以帮助学生检查自己的学习情况。本书的参考教学时数在 72 学时以内，可作为普通高校物理、应用物理、材料物理、光学及相关专业本科生的教材或参考书，也可供相关领域的读者参考。本书由尤景汉、琚伟伟担任主编，负责全书统稿，由李同伟、王翚担任副主编。具体分工如下：尤景汉编写第一章、第二章，琚伟伟编写第三章，李同伟编写第四章、第五章，王翚编写第六章。在编写本书时，我们还参考了一些量子力学教材，特别是周世勋教授的 量子力学教程，借鉴了其中的部分内容。本书的出版得到了河南科技大学物理工程学院以及教务处的大力支持，得到了国家自然科学基金（11404096、U1404609、U1404111）、河南省高等学校重点科研项目（16A140008）、河南科技大学博士科研启动基金、河南科技大学教材出版基金的资助。在此，我们一并表示衷心的感谢。量子力学作为一门还在发展和不断完善的基础理论，要想在有限的篇幅内概括出它的全貌，为读者提供满意的参考书，对作者来说是一件较难的事情，加上我们水平有限，书中错误之处在所难免，希望广大读者提出宝贵意见。编 者 2016 年春于河南科技大学 目 录 第一章 绪论 1 第一节 经典物理学的困难 1 一、黑体辐射问题普朗克公式 1 二、光电效应问题 2 三、原子的线状光谱及规律问题 3 四、原子结构问题 3 五、固体与分子的比热问题 3 第二节 早期的量子论观点 4 一、普朗克量子论 4 二、爱因斯坦的光量子论 4 三、玻尔的量子论 6 四、微观粒子的波粒二象性 8 第三节 量子力学的建立 9 一、海森伯（Heisenberg）的矩阵力学 9 二、薛定谔（Schrdinger）的波动力学 10 习题一 10 第二章 波函数和薛定谔方程 11 第一节 波函数的统计解释 11 一、微观粒子的波粒二象性 11 二、玻恩（Born）对波函数物理意义的统计解释 12 三、波函数的归一化 14 四、波函数的性质 14 第二节 态叠加原理 16 一、态叠加原理 16 二、态叠加原理实例 16 三、对态叠加原理的说明 18 第三节 薛定谔方程 19 一、自由粒子的薛定谔方程的建立 19 二、一般力场的薛定谔方程 20 三、多粒子体系的薛定谔方程 21 第四节 粒子流密度和粒子数守恒定律 21 一、概率分布随时间的变化及连续性方程 21 二、粒子数、质量、电荷守恒定律 22 VI三、波函数的标准条件 23 四、波函数一般是复数 23 第五节 定态薛定谔方程 24 一、不含时薛定谔方程 24 二、能量本征值和能量本征值方程 25 三、定态及其特点 26 四、含时薛定谔方程的一般解 26 第六节 一维定态的一般性质 27 第七节 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化 30 一、自由粒子波函数的规格化 30 二、本征函数的箱归一化 32 第八节 方形势阱 34 一、一维无限深势阱 34 二、方形势阱 38 第九节 线性谐振子 44 一、参考模型 44 二、线性谐振子的本征问题 45 三、结果讨论 47 第十节 势垒贯穿 48 一、一维散射现象 49 二、方程的求解 49 习题二 53 第三章 量子力学中的力学量 54 第一节 算符及其运算规则 54 一、算符 54 二、算符的运算规则 54 三、算符的对易关系 57 第二节 厄米算符的本征问题 60 一、厄米算符的本征值必为实数 60 二、厄米算符本征函数的正交性 61 三、厄米算符本征函数的完备性 65 第三节 坐标算符和动量算符 65 一、坐标算符 65 二、动量算符 66 第四节 角动量算符 67 一、角动量算符 67 二、角动量算符的本征问题 68 第五节 共同完备本征函数系 力学量完全集 70 VII一、共同完备本征函数系 70 二、力学量完全集 71 第六节 力学量的平均值 71 第七节 展开假定 74 一、断续谱的情况 74 二、连续谱情况 76 三、简并的情况 76 第八节 不确定关系 79 一、不确定关系 79 二、不确定关系的物理意义 81 第九节 电子在库仑场中的运动 83 一、粒子在中心力场中的运动 83 二、电子在库仑场中的运动 85 第十节 氢原子问题 87 一、两体问题化为单体问题 87 二、单体方程的解 89 三、结果讨论 90 第十一节 力学量平均值随时间的变化 守恒定律 94 一、力学量的平均值随时间的变化规律 94 二、守恒定律 94 习题三 96 第四章 态和力学量的表象 98 第一节 状态的表象 98 一、表象 98 二、坐标表象和动量表象 99 三、波函数的矩阵表示 101 第二节 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示 102 一、力学量算符F的矩阵表示 102 二、量子力学公式的矩阵表示 106 第三节 幺正变换 113 一、A 表象与 B 表象的变换关系（基矢变换）114 二、力学量F由A表象到B表象的变换 115 三、波函数(,)u x t由A表象到B表象的变换 116 四、幺正变换的重要性质 116 第四节 狄拉克符号 118 一、左矢和右矢 118 二、标量积 119 三、基矢组 120 VIII四、算符的狄拉克符号表示 121 五、本征方程的狄拉克符号表示 122 六、薛定谔方程的狄拉克符号表示 122 七、平均值公式的狄拉克符号表示 123 八、表象变换的狄拉克符号表示 123 九、对照表 124 第五节 线性谐振子与占有数表象 125 一、产生算符和消灭算符 125 二、粒子数算符 126 三、a、a+对n的作用 127 四、N的本征解 128 五、能量本征值及本征态 128 六、占有数表象（粒子数表象）中a、a+、N、H、x、p的矩阵表示 130 习题四 132 第五章 微扰理论 133 第一节 非简并定态微扰理论 133 一、一级近似解 134 二、二级近似解 135 三、结果讨论 136 第二节 简并情况下的微扰理论 139 第三节 变分法 145 第四节 氦原子基态 146 一、氦原子体系的哈密顿及本征方程 146 二、用变分法求解氦原子基态能量 147 第五节 与时间有关的微扰理论 150 第六节 跃迁概率 153 一、常微扰 153 二、周期性微扰 154 第七节 光的发射和吸收 选择定则 157 一、光的吸收和受激辐射 157 二、选择定则 158 习题五 160 第六章 自旋与全同粒子 162 第一节 电子自旋 162 一、电子自旋的实验依据 162 二、电子自旋的特点 163 第二节 电子的自旋算符和自旋函数 164 一、自旋算符及其性质 164 IX二、自旋算符的矩阵表示 165 三、自旋波函数 166 四、电子态函数的普遍形式 170 第三节 正常塞曼效应 173 第四节 两个角动量的耦合 175 一、两个角动量的相加（耦合）175 二、角动量算符2J、zJ、21J、1zJ、22J、2zJ之间的对易关系 176 三、耦合表象与无耦合表象的关系 177 第五节 全同粒子的特性 180 一、全同粒子 180 二、全同性原理 181 三、全同粒子体系的波函数与哈密顿算符及其特性 181 四、玻色子（Bosons）和费米子（Fermions）182 第六节 全同粒子体系的波函数 泡利原理 183 一、两个全同粒子体系的波函数 183 二、N个全同粒子体系的波函数 184 三、忽略L-S耦合情况下的体系波函数 186 第七节 两个电子的自旋函数 188 一、单体近似下两个电子的自旋波函数 188 二、2S、zS的本征值 188 三、讨论 189 习题六 192 附录 A 基本物理常量 193 参考文献 194 第一章 绪 论 1 第一章 绪 论 第一节第一节 经典物理学的困难经典物理学的困难 一、黑体辐射问题普朗克公式 所谓热辐射是指任何物体都不停地向周围辐射电磁波。19 世纪末，人们认识到热辐射与光辐射都是电磁波，于是，开始研究辐射能量在不同频率（波长）范围中的分布问题，特别是对黑体辐射进行了较深入的理论和实验研究。黑体是能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射的物体。当黑体在单位时间内单位面积上吸收的电磁波能量与辐射的电磁波能量相等时，处于热辐射平衡态。处于热辐射平衡态的黑体，其辐射能量密度随频率变化的实验结果如图 1-1 所示。实验得出，处于热辐射平衡态的黑体辐射能量按频率（或波长）分布的曲线只与黑体的绝对温度有关，而与黑体的形状及组成的物质无关。许多人企图用经典物理学来说明这种能量分布的规律，推导与实验结果符合的能量分布公式，但都未成功。其中较为著名的有两个：（1）1894 年，维恩（Wien）分析了实验数据然后根据热力学知识得出一个经验公式，即维恩公式 2/31dedcTc=（1-1）其中，1c、2c是两个经验参数，T 为平衡时的温度。结果表明，公式与实验曲线在高频部分符合，但在低频部分不符合。（2）1900 年，瑞利（Rayleigh）和金斯（Jeans）根据经典电动力学和统计物理学，得出了一个黑体辐射能量公式，即瑞利金斯公式 238ddkTc=（1-2）其中，c为光速，k为玻耳兹曼常数。结果表明，此公式在低频部分与实验比较符合，但当时，是发散的，与实验明显不符（即所谓的“紫外发散灾难”）。