2023张宇《基础30讲-高数》.pdf

;K宇数学教育系列丛卄启師敬昌同噩O主编张宇【高等数学分 北京理工大学出肱社张宇数学教育系列丛书一卜启航教角同憩O主编张宇【高等数学分册】张宇数学教育系列丛书编委(按姓氏拼音排序)蔡燧林 陈静静 方春贤 高昆轮 胡金德 贾建厂 李志龙 刘硕 柳叶子吕倩秦艳鱼沈利英史明洁石臻东 王慧珍王燕星 吴金金徐兵严守权亦-(笔名)曾凡奉名)张乐张青云张婷婷 张宇 郑利娜朱杰妙北京理工大学出施私版权专有侵权必究版权专有侵权必究图书在版编目(CIP)数据张宇考研数学基础30讲.高等数学分册/张宇主编.北京：北京理工大学出版社,2021.8ISBN 978-7-5763-0122-9I.张 U.张01高等数学-研究生-入 学考试-自学参考资料IV.013中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第166519号出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司社址/北京市海淀区中关村南大街5号邮编/100081电话/(010)68914775(总编室)(010)82562903(教材售后服务热线)(010)68944723(其他图书服务热线)网址/http：/www.bitpress,经销/全国各地新华书店印刷/天津市蓟县宏图印务有限公司开本/787毫米X1092毫米 1/16印张/19责任编辑/多海鹏字数/474千字文案编辑/多海鹏版次/2021年8月第1版2021年8月第1次印刷责任校对/周瑞红定价/99.80元责任印制/李志强图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线，本社负责调换彳做了竹久第牧爼傅顷、-、更沒糾旻72込幺曲，祝衣参紛H八矢陕怨胃电;二、灯空收C淵辨曲亍了的次、沁/k润乜;三、乡汉彳务眦好為彳数孚知、残悴以乡彖蓉荐砂多耳旳歼踐迄钊了一盗/刃掀叩心 略滋次屜*目吃坯心衣力佬t卑理黑存不詡承.很哲4汛用 久飲滦T!曲,K二-申八冷孑均臣*2022版前言这本书是专门供学生考研数学基础复习之用的。之所以叫张宇考研数学基础30讲,是因为将考研 数学中的全部基础知识系统化和科学化地分成了 30个部分，希望考生一讲一讲地学，一关一关地过，最终 建立起考研数学的基础知识结构，实现真正意义上的夯实基础。一、这是真正意义上的考研数学基础教材考研数学命题并没有指定教材，学生可以自行选择市面上的各种教材进行复习，但有一个专业问题：市面上的数学教材大多是为大学数学教学而编写的，依据的是本科教学基本要求,鲜见真正意义上按照 全国硕士研究生招生考试数学考试大纲（简称考试大纲）编写的数学教材，尤其是基础教材，本书就是 在多年一线考研辅导基础上做出的最新成果。二、这是真正意义上的全程视频讲解我全程讲解了这本书，并且将讲解视频做了两种系统。一种是整讲观看系统：扫描书中每一讲开篇的 二维码，可以观看这一讲全部的视频讲解，使得知识具有完整性和连贯性，适合第一遍起步复习。另一种 是逐点观看系统:扫描书中知识点旁的二维码，可以有针对性地观看对应这一知识点的视频讲解，适合第 二遍查漏补缺，巩固知识。三、这是基础课笔记这是我在基础课上讲出来的笔记，学生可以听着课跟我一页一页地学，我把笔记写好了，你可以集中 精力认真听，不需再记大量笔记，我几乎把要说的话一句一句都写出来了，请务必搞懂吃透。四、这是课后作业每讲后面的习题与附录基础300题作为课后作业，所有题目均有详细解答,课后务必及时落实。五、这是答疑解惑起步阶段的复习，很多学生会遇到各种问题和疑惑：知识理解上的问题，思路方法上的疑惑。本书集 中回答并希望能够切实解决学生的各种问题和疑惑。六、这是减负不是增负不论你在读哪本数学教材，本书都可以作为思考总结的笔记，放在手边随时翻阅，基础阶段的知识、思 路、题型和方法，皆会以清晰的结构呈现在你面前，把握在你手中。你若能再添砖加瓦，画龙点睛，将其内 化为你自己的，那将是极妙的。七、看到什么程度一遍当然不够。反复修炼直至字字搞懂、句句通透并熟稔于心。考研数学基础30讲高等数学分册感谢命题专家们给予的支持、帮助与指导，感谢编辑老师们的辛勤工作和无私奉献，感谢学生们的努 力和信任。本书是我多年基础阶段教学经验的总结，愿助潜心研读者打好地基、夯实基础，勇攀考研数学高峰。2I目录I第1讲 高等数学预备知识.1第2讲数列极限.25第3讲 函数极限与连续性.33第4讲 一元函数微分学的概念与计算.54第5讲 一元函数微分学的几何应用.75第6讲中值定理.90第7讲 零点问题与微分不等式.100第8讲 一元函数积分学的概念与计算.109第9讲 一元函数积分学的几何应用.148第10讲积分等式与积分不等式.156第11讲 多元函数微分学.164第12讲 二重积分.184第13讲 常微分方程.194第14讲无穷级数（仅数学一、数学三要求）.207第15讲 数学一、数学二专题内容.229第16讲 数学三专题内容.250第17讲 多元函数积分学的基础知识（仅数学一要求）.259第18讲三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）.271第7讲高等数学预备知识、基础知识结构考研数学基础30讲高等数学分册基础内容精讲一、函数的概念与特性1.函数设夂与y是两个变量,D是一个给定的数集，若对于每一个xED,按照一定的法则/,有一个确定的 值y与之对应，则称y为工的函数，记作y-f(x).称工为自变量，y为因变量.称数集D为此函数的定义 域，定义域一般由实际背景中变量的具体意义或者函数对应法则的要求确定.2.反函数设函数y=f(x)的定义域为D,值域为R.如果对于每一个yR,必存在唯一的工 D使得y=f(x)成立，则由此定义了一个新的函数工=心.这个函数就称为函数y=于(工)的反函数，一般记作工=/(y),它的定义域为R,值域为D.相对于反函数来说，原来的函数也称为直接函数.以下两点需要说明.第一，严格单调函数必有反函数，比如函数丿=工2(工0,+00)是严格单调函数，故它有反函数 工=a/S.第二，若把x-rCy)与y=的图形画在同一坐标系中，则它们完全重合只有把y=fa)的反函数x-=fl(y)写成y=后，它们的图形才关于，=乂对称，事实上这也是字母工与，互换的结果.3.复合函数设函数y-fCu)的定义域为D，函数“=g(_r)在D上有定义，且g(D)uD，则由2第7讲高等数学预备知识确定的函数，称为由函数“=g&）和函数y=f（u）构成的复合函数，它的定义域为D,“称为中间变量，要 掌握复合的方法，具体见例1.4.4.函数的四种特性及重要结论（1）有界性.*设/（工）的定义域为D,数集KZD.如果存在某个正数M,使对任一夂有y（_z）|M,则称/（工）在/上有界；如果这样的M不存在，则称于（工）在/上无界.【注】（1）从几何上看，如果在给定的区间，函数y=f的图形能够被直线y=M和y=M i I“完全包起来”，则为有界；从解析上说，找到某个正数M,使得（_z）|WM,则为有界.有界还是无界的讨论首先需指明区间不知区间，无法谈论有界性比如严g在（2,+Q内有界，但在（0,2）内无界.（3）事实上，只要在区间Z上或其端点处存在点说，使得lim/（）的值为无穷大，则没有任何两条直线y=-M和可以把/上的fS“包起来”,这就叫无界考研中常出这样的题目，比如例3.（2）单调性.设fQ）的定义域为D,区间/CD.如果对于区间/上任意两点，工2,当x2时，恒有fM（工2），则称*工）在区间/上单调增加如果对于区间Z上任意两点心，工2,当4 心）,则称/Q）在区间I上单调减少.i【注】后面会看到，在考研试题中常常用求导的方法来讨论函数在某个区间上的单调性，但是i?定义法不可以忘记试题中也常用到如下定义法的判别形式，请读者留意.对任意工 1,X 2 E D,Z1 T2-JT 2，有/（工）是单调增函数0；/（工）是单调减函数工2）/（工1）/（X2）a工2）/a）/*（工2）wo.（3）奇偶性.设_/&）的定义域D关于原点对称（即若zD,则一zD）.如果对于任一 zD,恒有f（Q=于（工），则称/（工）为偶函数.如果对于任一 zD,恒有/（）=于（工），则称/（工）为奇函数.我们熟知的 是，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.【注】设/（刃是定义在一/,门上的任意函数，则F1（）=/（）-/（-J：）必为奇函数；F2（）=/（）+/（-）必为偶函数.显然 W（J?）=-/（J?）+_/（工）是偶函数,T（X）=-/（J?）/（J?）是奇函数，而/Xz）=*_/（工）+_/（工）+寺/（工）一_/（刃=“（2）+u（z）.（1）奇函数y=f的图形关于坐标原点对称，当/&）在工=0处有定义时，必有/（0）=30考研数学基础30讲高等数学分册i（2）偶函数 KE的图形关于丁轴对称，且当y（o）存在时，必有/（o）=o.:（3）函数y=f（Q与y=_g的图形关于工轴对称；函数=*工）与y=/（-x）的图形关于y I轴对称；函数y-f与y=W的图形关于原点对称.i（4）函数y=f（x）的图形关于直线xT对称的充分必要条件是 IJW=f2TQ 或/（工+T）=/（T-）.I（4）周期性.设/（工）的定义域为D,如果存在一个正数T,使得对于任一工WD,有工士TWD,且/（工+T）=/Xz）,则称/&）为周期函数，T称为/（工）的周期.从几何图形上看，在周期函数的定义域内，相邻两个长度为T 的区间上，函数的图形完全一样.（5）重要结论.事实上，关于fS 和j7（Odz的性质才是这部分知识的重点，先提前总结在这里：若 g 是可导的偶函数，则/（工）是奇函数，见例4.4（1）；若 2）是可导的奇函数，则/（工）是偶函数，见例4.4（2）；若*工）是可导的周期为T的周期函数，则/（工）也是以T为周期的周期函数，见例4.5；连续的奇函数的一切原函数都是偶函数，见例&3；连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数，见例&3；若连续函数 g 以T为周期且/（工）吐=0,则f（x）的一切原函数也以T为周期，见例&6；J 0 若/（JC）在（a,b）内可导且f（JC）有界9则fO 在（a,b）内有界.【注】证明 因为/（!）在（a,6）内可导，所以m在（a,6）内连续，因此对任意工心a,b）,1/（0）存在.对任意xC（a,6）,不妨设JC.XO，对于（工）在“工訂上应用拉格朗日中值定理，有/（工）一/（To）=/（）（攵一工0）,g（工,工0），则1/（-）|0,使得对任意工（a,6）,有I|/()|/(o)I+kxx|0时，二才都有定义.(2)常用的無函数(见图l-3(a)-(c).y,y=,y=X 严+3 I(3)当xQ时，由y=x与y=,y4x,y=n広(见图1-5(b)具有相同的单调性且与y=3C具有相反的单调性，故见到&T,运时，可用“来研究最值 见到丨“|时，由丨u =v/zZ,可用u2来研究最值；见到W1U2U3时，可用ln(“i“2“3)=ln 1+ln u2+ln u3来研究最值见到+时，可用“来研究最值(结论相反，即+与“的最大值点、最小值点相反).s 以上，可使得计算简单方便.图1-3指数函数.y=a(aO,aHl)(见图 l-4(a).图1-4【注】【注】(1)定义域：(-00,4-00).值域.(0,4-00).(2)单调性：当al时，=/单调增加；当0=logaj;(a0,al)(见图 l-5(a)l时,ylogax单调增加；当OVaVl时,j/=logax单调减少.(3)常用的对数函数-y=lnxC 自然对数：lnz=logR,e=2.718 28-)(见图 l-5(b).(4)特殊函数值 JogJ=0,loga=l,ln 1=0,In e=l.(5)极限：limln x=o,lim In x+o.Jo+Zf+oo(6)常用公式：工=e(工0),/=/=6心(“0).三角函数.(i)正弦函数与余弦函数.正弦函数y=sinz(见图l-6(a),余弦函数y=cos工(见图l-6(b).图1-66第7讲高等数学预备知识(ii)正切函数与余切函数.正切函数y=tan 见图l-7(a),余切函数y=cot 见图l-7(