2023李林数学二《880题》解析册.pdf

?2023李林考研数学系列精讲精练880题傲学二解析分册）蕴含6套卷和4套巻的解题思想编著李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林!-CC-880题是一套凝结我大量血利1功力的习题集,不偏不怪，会让你有一种考硏题就会这么考的感觉。”7 1回回扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社V穿越数学45份考冉知识清单重点要点靶向击破200余道炉真题集训涵盖高疝线代概率时空高额袴点1 口日题带你45个考更深度透析考情揭秘有的放矢讲精练880题:数学三解析分册）Ffe 讽!丄出、j：鼻綁李林（数学二试题分册）SILU丄也也:眄繍李林2023镇著李林李林考研数学系歹c精讲精练880题（数学二解析分册）不靠押题靠实力 考研数学就选瑚不靠押题靠实力 考研数学就选李林!不靠押题靠实力 考研数学就选李林!2023李林考研数学系列精讲精练880题&?:W-um=um=学数 車蛙TRTR题费 押学 B数 不it李林*SSSSSS学系列轄讲精练8 8 0 题 竽总盘 甲 h h C-精讲精练日日口题带 你 逃 离 数 学 迷 宫 李林年度大作高数/线代/概率一网打尽基础题与真题难度持平综合题略难于真题拓展题用来冲刺高分880题是一套凝结我大量心血和功力的习题集，不偏不怪，会让你有一种考研题就会这么考的感觉。扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社”7目 录解析分册高等数学第一章函数、极限、连续.1基础题.1综合题.7拓展题.18第二章一元函数微分学及其应用.20基础题.20综合题.35拓展题.46第三章一元函数积分学及其应用.48基础题.48综合题.62拓展题.84第四章多元函数微分学及其应用.85基础题.85综合题.91拓展题.99第五章二重积分.101基础题.101综合题.110拓展题.118第六章微分方程及其应用.120基础题.120李林考研数学系列精讲精练880题（数学二解析分册）综合题.125拓展题.132线性代数第七章行列式.133基础题.133综合题.137拓展题.141第八章矩阵.142基础题.142综合题.149拓展题.154第九章向量.155基础题.155综合题.160拓展题.165第十章线性方程组.167基础题.167综合题.172拓展题.176第十一章相似矩阵.177基础题.177综合题.185拓展题.194第十二章二次型.196基础题.196综合题.199拓展题.2032第一章 函数、极限、连续 高等数学第一章 函数、极限、连续8基础题一、选择题（DC.解 对函数/（x）取绝对值，得丨/Xz）|=|z丨|sin力丨ecosx，其中丨sin jc 不恒等于0,ecos0,故根据丨刃可断定_/&）不是有界函数，也不是周期函数.再由f（O）=O,f（）=y=0,可知/（J?）不是单调函数.V 6（oo,4-oo）,有/(x)=1(鼻)sin(z)|ecos(_x)=|zsin z|em3x=/(x),故/（工）是偶函数,C正确.（2）D.解 在区间（0,号）内,sin x单调增加,cos x单调减少，任取,x2 C（冷），且 m cos（sin 氐），所以函数/（-）单调减少.又 cos J7i cos x2,则 sin（cos 小）sin（cos x2），故函数 g（H）单调减少，D 正确.【注】复合函数的单调性：设函数水工）单调增加，gQ）单调减少，则_/LfQ），ggQ）都单调增加（假设复合有意义）；yg（2）,g/（広）都单调减少.复合函数的奇偶性：设*工）是偶函数，g（z）是奇函数，则/&）,/g（z）,g/（z）都是偶函数；ggQ）是奇函数（假设复合有意义，可利用奇偶性定义证明）.（3）B.解 由/（J：）=a/1 J：+J；2 yi+J；+J72=/（工），知/（X）是奇函数.l+8/+Z+J：2+J 2+，-2同理，可得lim 2）=-1,故D错误，根据极限的有界性，可知C错误.1李林考研数学系列精讲精练880题(数学二解析分册)(4)D.解 由题可得 lim 丁 孚丫=lim-+lim-77r=0.故 D 正确.x+o J X4-00 gx)X+00/x)(5)D.解 当工一 0时，gf+oo,sin丄在一1和1之间振荡，且重复函数值为零，故可排除X XA,B 取九=-(/I=1,2,)，则当 j?”-*0 时，2mv+号y(2”)=(2+*)兀2-OO,故gsin(j;-*0)不是无穷小，也不是有界量.再令yn=丄(“=1,2,)，则当了”0时，X X TITX.心,)=0,因此当。时,吝吩不是无穷大.(6)C.解 由已知，可得 lim(1Q用 上+6)=0,x-oo 无十 J.故 1a=0,a+b=0,解得 a=1,b=1,C 正确.【注】【注】由 (“且2,故=3.(8)A.解 由于応供=lim 吃=2 lim 心=2 lim 丄=0 V 1,x-H-oo gJC)x-oo SC 工-*+8 JC 匚-+8 3C,故当工充分大时，g(z)=工 0,V 1，即/()1,X-*4-OO gJC)x-*-|-OO JC+8 2故当久充分大时，g(z)=e 0,1,即h(x)g(z).A正确.g(z)【注】此题本质是无穷大量阶的比较：从低阶到高阶有lnAn,rf,an,n ,n(n-*oo),其中人鼻l,a0,al.(9)C.解 对于C：用反证法，若lim(a”bQ存在，则lim(a”仇)+(a”+b”)=lim2a，极“f 8 n-*-oo“f oo限存在，与已知lima”不存在相矛盾，故C正确.2第一章 函数、极限、连续（10）A.解/（a：）在鼻=0处间断，考虑间断点处的左、右极限.c 丄 ./2+e7 sin=limRf 0_2+e占-sin x:T 十/2+e i sin 2 1 4-e7 I Ilimxo2+e7-sin x=2 1=1，=lim.亠x-o+1+故#=0是/&）的可去间断点，A正确.二、填空题JC=limsin工JC1+e x呷1+e2,12e=+e=+1=1,(1)1.1,0,解I 于(2)I _/&)由|f(x)|i.=1.解当 EfO 时,(1+ax2)1 2,cos jc 13=-2 寺工2，故a解x-0一2.sin 2j;+e2ar 1 sin 2x e2ar 1 9,r 2zr。丄 lim-=lim-H lim-=Z 十 lim-=2 十 厶a.x-*0 3C-x-*0 JC x-0 3C x-*0 JC.又由函数连续的定义，可得2+2a=a,解得a=2.(4)P4-H*+8存在，则有P 2.当P0e，-2+2cos x J?limx-*0t2 2+2cos xv 2h 2sin jc=映 1 1 1 cos X=冷丄1，-2=lim-r0 工f 0 X0 JCa+(b 1)工+2+仏一寺)分+。(工3)=lim-z-=0 9x-0 X由上式，可得 a=0,6=l,c=0,d=寺，故 a+b+c+d=o o三、解答题（1）证 令右（攵）=flQ+/（2）,f2 Q）=_/（工）一/（J7），则/1（Z）=/（H）+/（-T）=/i（X）,fl（2）=Z）/（-T）=一 f2（Z）,故/1（）是偶函数，九（小是奇函数，所以f（）=/（#）+y（尤）|f一 工）（2）解 由已知，a/Xz）+好（）=,在式中用代替工，得（+）+”（#）=CH.再由 Xa Xb,得（a?b2）/（jt）=一 be 工.由|a|工|b|,知/（z）=x宀d）而 所以/（#）是奇函数.（3）证 任取x-i,jc2 G（a,a）,且比 4,由已知，I 于（22）_/（0）|乜一Q 丨=工2 81 而/（Z1）/（J；2）C I/（-r2）于（21）|W 広2 劝，故心）+工1 N时，有丨工”一a|0,3正整数M，使得当2kNx时，有k-*-ooI JC2k a|0,3正整数M，使得当2+1 N2时，有 bf8I工2卄1 a|N时，有与同时成立，即丨工”一a|V e,故limj：=a.8(5)解(I)9 i x jcsin x lim-OO 9 I 丄x 十 resin xlim工f81 sin xx1+sin 丄x x=1.4第一章 函数、极限、连续(U)limx-4-ooa-+6-+占3=limX-+oo3+启+定+占一3)+占+十_33而limZ-+8吕+定+占一33 丄X故原式=glnSc)3(o/c)T.(皿)limHf 0limX0(N)(V)(VI)j_ _1_ N+6了士 c33Hm(1)+(b：1)+(c 1)Hf+8 1O XyOn a+In 6+In c)=ln(abc),ln(sin咚十 eT =lim ln(sin+eO-In bln(e2x2)x-*-0 ln(e2,rjc2)In e2xIn 14 2 sin jcIn 1=limx-0lim(l+沁芒=limx-0=e3 limx-*0lim x-0 x-031n(l+jc)0-otan xJCx 2 sin x 2lim(-e)=1.Zf 0 X31n(l+z)e e3xe,3limx-031n(l+x)T-113e3 IiJn(l+Q”x-0=limee-1)X,L 0Z3X2=limex x-0limcot x(工o sin jc11x(MI)lim(l 一 x2)i-/-，=lim(l0 工一0 x2故原式=e2limjr0limx-0 x sin x=3旨 lim1+j：Hf 0tan x xtan x sin x xH3=limZ-*02x丄33 x lim r=工f0 xx sin xJ?3-Aes2*1T1 2-3C1 cos x i.2 I厂乜討=_z工2)-去广心.而lim 二 1，=lim 土(1+J日 z 1 yi x2 zjc21=一 2,(VH)limsino+(6)解(I)依题意，得=limesinxlnx gf()+lim sin ef o+：In xlim x*In x&fo+lim甲=W*。+ee=1.而*九(兀+1)n2 n n12-n-I-I -I-n2+n+1 zz2+zz+2+1)n2 n n n2+/?+1 n根据夹逼准则，原式(D)limn*oo-n(n+1)n2+72+n寺，limZj n-oo+1)n2+h+11Ilim-1+2|-+/z-J+2+(?1)n-oo15李林考研数学系列精讲精练880题（数学二解析分册）=lim九f 8十 1)n(n 1)=lim 丄、,.2“.=李.扼/z(九+)+Jrtjn 1)2 7?（in）由乔1二！=+（药丄1_卄1）知2 卄2 _ 1 当攵工0时，有f（j：）=lim 丄1JC 十丄1_1故原式=lim y(1 j.1=1(2/T+l)+1-2n+lT*)+12n 1 2n+18(IV)由1 w J1+寺+丄WST，而limT=1,故由夹逼准则，原式=1.Z n n-oo艺W）而=lim 1+limnn-oo2故原式=eiln3=尽1+73 T号迈-1)严=limz?-=imn(y/3 1)=-ln 3,Li Li f oo Z”fOOn-oo8【注】【注】常用结论:lim/n=1,lim l(a 0).flOO“一co解 心在（0,2k）内的间断点为工=于，竽,，牛由lim _/（2）=+00,lim y（_z）=+oo,可知夂=手,=学为第二类间断点.-（7）+”（竽）+4 4由Iim/（J7）=1,lim/（j;）=1,可知a=苹=与为第一类（可去）间断点.3tt 7n 4 4（8）解 先求极限得到 g 的表达式,再讨论fS 的连续性.n-*-oo0,t2，一19 0 V丨力丨V 1,丨无|=1，故在（一9 1）9|工|1 9(一1,0),(0,1),(1,+oo)内 g 连续.又lim/(a:)=1,lim f(工)1,+x1 X1lim/(j7)=19X0lim/(j?)=一1,lim/(j:)=1，X-*l 工-*1+所以 g 在工=0,土 1处间断，是第一类间断点，其中工=0是可去间断点.(9)