线性代数及其应用.pdf

2010年度教育部高等学校高职高专计算机类专业教学指导委员会优秀教材 湖南省职业院校教育教学改革研究项目成果教材 线性代数及其应用 王坤龙 编著 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 112内 容 简 介 本书共分为五章：行列式、矩阵、线性方程组、特征值和二次型等，并介绍了在相关学科的具体应用案例。书中内容注重培养学生的抽象思维能力以及分析问题和解决问题能力，力求通俗易懂，深入浅出；利用矩阵的初等变换给出了线性代数中的相关知识，突出了行列式、向量、矩阵及其运算、线性方程组、矩阵特征值等内容，在经济预测与决策、投入产出分析、层次分析法，以及在物理学、化学计量学、量子力学、电磁场理论等学科的具体应用案例，展现了线性代数“应用广泛性”的这一学科特性。每章节配置了适量的自测题和习题，便于测试学生的综合运用和掌握线性代数知识的能力。本书可作为高职高专、专升本等层次的“线性代数”课程的教材或参考教材。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 线性代数及其应用/王坤龙编著.北京：电子工业出版社，2014.10 ISBN 978-7-121-23308-1.线.王.线性代数高等学校教材.O151.2 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2014）第 107431 号 策划编辑：施玉新 责任编辑：施玉新 文字编辑：刘 佳 印 刷：三河市鑫金马印装有限公司 装 订：三河市鑫金马印装有限公司 出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：11.75 字数：300.8 千字 版 次：2014 年 10 月第 1 版 印 次：2014 年 10 月第 1 次印刷 定 价：29.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：（010）88258888。序 言 线性代数是大学数学的重要组成部分，但是，目前大多数线性代数课程的教材所关注的还是对其理论知识本身的介绍和讲解，内容和形式单一，对于学习者特别是职业教育形势下的学生来讲，缺乏与实际应用的联系。因此，在线性代数教材中增加实际应用教学内容的必要性愈来愈突显。本书在秉承传统介绍和讲解线性代数理论知识的基础上，从不同学科、不同视角，引入了一定量的实际应用案例，更有利于学生对知识的理解和掌握。编者结合高职高专教育线性代数课程教学基本要求以及多年来的数学教学及教改经验，为适应高职高专等职业教育学生的教学需要，经过潜心努力，编写了本教材。希望能使学生在掌握线性代数最基本的概念、理论和方法的基础上，帮助他们解决日常生活、生产技术及经济管理中的一些实际问题。2014 年 3 月 目 录 第一章 行列式 （1）第一节 n 阶行列式 （1）一、全排列及其逆序数 （1）二、二、三阶行列式 （2）三、n 阶行列式 （4）习题 1.1 （7）第二节 行列式的性质 （8）习题 1.2 （11）第三节 行列式按行（列）展开 （12）习题 1.3 （18）第四节 克莱姆法则 （19）习题 1.4 （22）第五节 向量及行列式在运动学、牛顿力学中的应用 （23）一、质点运动的速度 （23）二、质点运动的加速度 （24）三、叠加运动方程 （24）四、牛顿运动定律 （24）五、物体运动转动定理 （25）第一章自测题 （26）第二章 矩阵 （29）第一节 矩阵的概念 （29）一、矩阵的概念 （29）二、矩阵与线性变换 （31）习题 2.1 （32）第二节 矩阵的运算 （33）一、矩阵的加法 （33）二、数与矩阵的乘法 （34）三、矩阵的乘法 （35）四、矩阵的转置 （37）VI 五、共轭矩阵 （39）习题 2.2 （39）第三节 矩阵的初等变换 （40）习题 2.3 （44）第四节 逆矩阵 （45）一、矩阵的行列式 （45）二、逆矩阵 （46）习题 2.4 （51）第五节 矩阵的秩 （51）习题 2.5 （54）第五节 矩阵运算在线性规划中的应用 （54）一、线性规划问题的数学模型 （55）二、单纯形法 （60）第六节 多元线性回归分析预测法的应用 （65）第二章自测题 （66）第三章 线性方程组 （69）第一节 高斯消元法 （69）习题 3.1 （72）第二节 向量组的线性相关性 （73）一、n 维向量及其运算 （73）二、向量组的线性相关与线性无关 （74）三、线性方程组、向量组、矩阵之间的联系 （77）习题 3.2 （79）第三节 向量组的秩 （80）一、向量组的等阶 （80）二、向量组的秩 （80）三、向量组的秩与矩阵的秩 （81）习题 3.3 （82）第四节 线性方程组解的结构 （83）习题 3.4 （88）第五节 运用矩阵运算讨论线性方程组的解 （89）第六节 线性代数在电磁理论中的应用 （89）一、矢量微分运算 （90）二、场的概念 （90）三、导体系的电位与电位系数 （91）第三章自测题 （92）VII第四章 特征值 （96）第一节 矩阵的特征值与特征向量 （96）一、特征值与特征向量 （96）二、特征向量的性质 （99）习题 4.1 （100）第二节 相似矩阵 （100）一、相似矩阵的概念 （100）二、相似变换矩阵的求法 （101）习题 4.2 （103）第三节 向量的正交化 （104）一、向量的内积 （104）二、标准正交基 （104）三、向量组的正交化 （105）习题 4.3 （107）第四节 实对称矩阵的对角化 （107）习题 4.4 （110）第五节 层次分析法（AHP）的应用 （110）第四章自测题 （117）第五章 二次型（120）第一节 二次型的一些概念 （120）一、二次型的概念 （120）二、二次型的矩阵表示 （120）三、二次型的标准型 （121）习题 5.1 （122）第二节 二次型的标准型 （122）一、对称矩阵的合同关系 （123）二、用正交变换将二次型化为标准型 （124）三、用配方法将二次型化为标准型 （125）习题 5.2 （127）第三节 实二次型的分类与判定法 （128）一、实二次型的分类 （128）二、正定二次型和正定矩阵的判别法 （128）习题 5.3 （130）第四节 在投入产出模型预测法中的应用 （131）一、投入产出模型 （131）二、国民经济投入产出预测 （134）第五节 综合应用 （138）一、在量子力学中的应用 （138）VIII 二、在化学计量学中的应用 （139）第五章自测题 （141）习题解答（142）参考文献（179）后记（180）1 行列式的理论是对求解n元线性方程组的需要而建立起来的，它是研究线性代数的一个重要工具，在其他学科方面也有着广泛的应用.第一节 n 阶行列式 一、全排列及其逆序数 定义定义 1.1 n 个不同元素按一定的次序排成一个有序数组，称为 n 级全排列，简称排列.n 个不同元素的全排列的种数共有 n!个.一般地，我们只讨论从 1 到n这n个数的全排列，将 1，2，n 这n个自然数的任意一个排列记成12na aa.对于n个不同元素的任一排列，我们要考虑各元素之间的次序，通常规定从小到大的次序为标准排列（或称自然排列）即 12n.定义定义 1.2 在n个不同元素的任一排列中，如果两个元素的先后次序和标准次序不同，那就称这两个元素构成一个逆序.一个排列中所有元素的逆序之和，称为这个排列的逆序数.显然，标准排列的逆序数是 0.例如，在排列 2413 中，21、41、43 都构成逆序，而且只有这三个逆序，所以说 2413 的逆序数等于 3.下面讨论排列逆序数的一般求法：设12na aa是自然数 1，2，n的一个排列，先看元素1a前面有多少个数和1a构成逆序，即有多少个数比1a大，设为1t个；再看2a的前面有多少个数比2a大，即有多少个数和2a构成逆序，设为2t个；如此继续下去最后设na前面有nt个数比na大.那么这个排列的逆序数等于12ntttt=+.例例 1 求排列 632514 的逆序数.解解 在排列 632514 中，6 排在首位，逆序数是 0；3 前面有一个比它大的数，逆序数是 1；2 前面有两个比它大的数，逆序数是 2；5 前面有一个比它大的数，逆序数是 1；1 前面有四个比它大的数，逆序数是 4；4 前面有两个比它大的数，逆序数是 2；排列 632514 的逆序数若记为t，则 t=0+1+2+1+4+2=10.例例 2 求排列 13(21n-)(2n)(22n-)2 的逆序数t.2解解 显然 1，3，21n-，的逆序数均为0，2n的逆序数为0，22n-的逆序数为2，24n-的逆序数为4，2的逆序数为22n-.因此，所求排列的逆序数为 t=0+2+4+(22n-)=n(1n-).定义定义 1.3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.例如，632514为偶排列，2413为奇排列.定义定义 1.4 将一个全排列中任意两个元素对调位置，其他元素不动，这种形成新排列的方法称为对换，把相邻两个元素对换称为相邻对换.例如，排列3124经元素3和4的对换，变成新排列4123.在对换下，排列的奇偶性会有变化.如3124是偶排列，4123是奇排列。可见，对换将改变排列的奇偶性.定理定理 1.1 一个排列中的任意两个元素对换后，得到的新排列与原排列有不同的奇偶性.证证 先证相邻对换的情形.设有全排列121lka aa abbb，对换a与b，其余元素不动，得到新排121lka aa babb.当ab时，对换后使a增加一个逆序，而b和其他元素的逆序都没有变，因此，新排列比原排列的逆序数增加1；当ab时，对换后得到的新排列比原排列的逆序数减少1，所以，相邻对换改变了排列的奇偶性.再证一般对换的情形.设排列为111lknaa abb bcc，a和b之间有k个元素，先把b和它左边的1k+个元素依次作1k+次相邻对换，得到111lknaa babb cc，再把a和它右边的k个元素依次作k次相邻对换，得到的新排列为111lknaa bbb acc，经过这样21k+次相邻对换就达到a和b对换的目的，而每次相邻对换都改变排列的奇偶性，所以，新排列与原排列的奇偶性不同.前面我们提到，标准排列的逆序数是0，是偶排列，因此不难得到下面推论.推论推论 奇排列调成标准排列需作奇数次对换；偶排列调成标准排列需作偶数次对换.定理定理 1.2 2n时，n个元素的所有排列中，奇偶排列的个数相等，各为!2n个.证证 假设n！个排列中有s个奇排列，t个偶排列，此时stn+=！.欲证s=t，先将所有奇排列的头两个数都作一次对换，这样就得到了s个不同的偶排列.已知偶排列共有t个，所以st。同理，将所有偶排列的头两个数都作一次对换，这样就得到了t个不同的奇排列.已知奇排列共有t个，所以ts.故s=t.这就证明了全部n！个排列中，奇偶排列的个数各有2n！个.二、二、三阶行列式 求解方程组 11 1122121 12222a xa xba xa xb+=+=用消元法解方程组，2212(1.1)(1.2)aa-得 112212211122212()a aa axbab a-=-又2111(1.1)(1.2)aa-得 122111222121211()a aa axbab a-=-当112212210a aa a-时，方程组的解为（1.1）（1.2）3122212211121121122122111221221bab ab abaxxa aa aa aa a-=-，.（1.3）为了记忆方便，引入记号 1112112212212122aaa aa aaa=-.等式左端称为二阶行列式，可用字母D表示，其中横向称为行，竖向称为列，二阶行列式有两行两列，每个数1 2ijaij=（，）称为行列式的元素.ija 的第1个下标i 表示它在