2023届厦门市高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知集合，则=（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知与之间的一组数据： 1 2 3 4 3.2 4.8 7.5 若关于的线性回归方程为，则的值为（ ） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 6．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 7．复数的虚部是 ( ) A． B． C． D． 8．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ） A． B． C． D． 9．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A．400米 B．480米 C．520米 D．600米 10．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ） A．（0，1）∪（1，e） B． C． D．（0，1） 11．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 12．函数在上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________． 14． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____． 16．记为数列的前项和.若，则______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值. 18．（12分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，. （1）若，求直线AP与平面所成角； （2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有，并证明你的结论. 19．（12分）已知正项数列的前项和. （1）若数列为等比数列，求数列的公比的值； （2）设正项数列的前项和为，若，且. ①求数列的通项公式； ②求证：. 20．（12分）设，，，. （1）若的最小值为4，求的值； （2）若，证明：或. 21．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点． （1）写出曲线C的一般方程； （2）求的最小值． 22．（10分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点 （1）求证：平面平面； （2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据等差数列公式直接计算得到答案. 【题目详解】 依题意，，故，故，故，故选：D． 【答案点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 2、D 【答案解析】 利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【题目详解】 ， 对应的点， 对应的点位于复平面的第四象限. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求 【题目详解】 ，所以 . 故选：D 【答案点睛】 此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 4、B 【答案解析】 ,选B 5、D 【答案解析】 利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解. 【题目详解】 利用表格中数据，可得 又， ． 解得 故选：D 【答案点睛】 本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 6、B 【答案解析】 由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【题目详解】 由题意原几何体是正三棱柱，． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体． 7、C 【答案解析】 因为 ，所以的虚部是 ，故选C. 8、A 【答案解析】 由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【题目详解】 由题,因为,所以, 设,则由,可得,解得, 可将三棱锥还原成如图所示的长方体, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以, 所以外接球的体积. 故选:A 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力. 9、B 【答案解析】 根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【题目详解】 设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示： 由题意可得，解得； 且满足， 故解得塔高米，即塔高约为480米. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题. 10、D 【答案解析】 原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论. 【题目详解】 由题意，a＞2，令t， 则f（x）＝a⇔⇔ ⇔⇔． 记g（t）． 当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2， 又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根． 则⇔， 记h（t）（t＞2且t≠2）， 则h′（t）． 令φ（t），则φ′（t）2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2． ∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由，可得，即a＜2． ∴实数a的取值范围是（2，2）． 故选：D． 【答案点睛】 此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题. 11、D 【答案解析】 由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可. 【题目详解】 依题意得 由，得 即，解得. 故选:. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 12、C 【答案解析】 根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解. 【题目详解】 由可知函数为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B； 当时，， ，排除选项D， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得当AE＝EF＝2时，△AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值． 【题目详解】 由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC， 又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE， 又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC， 于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF， ∴△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝2， 而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2， 当且仅当AE＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF的面积最大， 三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为： VP﹣AEF＝＝＝． 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 14、 【答案解析】 分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列． 【题目详解】 第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法． 15、 【答案解析】 代入求解得,再求准线方程即可. 【题目详解】 解：双曲线经过点, , 解得,即． 又,故该双曲线的准线方程为： ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题. 16、1 【答案解析】 由已知数列递推式可得数列是以16为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解． 【题目详解】 由，得，． 且， 则，即． 数列是以16为首项，以为公比的等比数列， 则． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）证明见解析 【答案解析】 （1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【题目详解】 （1）因为，所以， ① 又椭圆过点， 所以 ② 由①②，解得 所以椭圆的标准方程为 . （2）证明 设直线：， 联立得， 设，