数学分析中的重要定理.pdf

普通高等教育“十二五”规划教材 电子信息科学与工程类专业规划教材 数学分析中的重要定理 杨艳萍 明清河 著 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 内 容 提 要 本书是为学习数学分析课程的学生、从事数学分析教学与研究的读者而编写的。全书共分七章，系统地把数学分析中的重要定理总结和归纳为微积分基本定理、微分中值定理、积分中值定理、积分关系定理、极限关系定理、闭区间上连续函数的性质定理、实数连续性（完备性）定理七类进行研究。全书从定理的历史演变分析、定理的内容与证明分析、定理的几何意义与条件结论分析、定理间的相互关系分析、定理的应用分析、定理的推广分析等角度展开研究。本书可供数学及相关专业的本科生、研究生和从事数学分析的教学研究人员参考。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 数学分析中的重要定理/杨艳萍，明清河著.北京：电子工业出版社，2015.2 ISBN 978-7-121-25562-5.数 .杨 明 .数学分析高等学校教材 .O17 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2015）第 033543 号 策划编辑：赵玉山 责任编辑：赵玉山 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7201 000 1/16 印张：22.25 字数：487 千字 版 次：2015 年 2 月第 1 版 印 次：2015 年 2 月第 1 次印刷 定 价：49.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：（010）88258888。序 言“数学分析”是高等院校数学类各专业的主干课程之一，它是进一步学习各有关后续课程的阶梯，这门课程经过近三个世纪的发展和完善，形成了一套严密的、抽象的、形式化和逻辑性很强的理论体系。其中定理是数学分析理论体系中的重要内容，作为每一位从事数学分析教学和研究的人员，都面临着“教师如何教定理？学生如何学定理？”的问题。杨艳萍、明清河同志所著的数学分析中的重要定理，把数学分析中的重要定理进行了总结、归纳与研究。该书将数学分析中的重要定理分成微积分基本定理、微分中值定理、积分中值定理、积分关系定理、极限关系定理、闭区间上连续函数的性质定理、实数连续性（完备性）定理七类。从数学史的角度认真梳理了这些定理的历史演变，从数学方法论的角度系统总结了这些定理的证明方法，从数学教学论的角度详细分析了定理的几何意义、定理的条件与结论、定理间的相互关系、定理的应用范畴，从数学研究的角度系统归纳了定理的推广方法。本书是著者在认真学习国内外数学科学方法论的基础上，结合自己多年的数学分析课程教学和科学研究的实践，参阅大量的文献及参考书，经过反复推敲、修改和筛选，经过长时间探讨的成果。是对数学分析中的重要定理进行系统研究的一本难得的好书，也为数学分析定理的研究提供了一个很好的体例。它不仅适用于数学分析的教学研究人员和理工科专业的学生，而且对从事数学史、数学分析教学、数学分析研究来说都有很好的参考价值。王梓坤 （中国科学院院士、北京师范大学原校长）前 言“数学分析”作为数学类各专业的基础与主干课程，其理论体系的严密性与逻辑性很强，其中定理是数学分析理论体系中的重要内容。定理的历史演变、内容与证明、现实意义、相互关系、应用与推广，值得每一位教学研究人员和学习者深入研究和探讨。笔者在多年的数学分析教学与研究实践中，一直关注着上述问题，积累了许多相关的资料，并进行了深入的思考，逐渐理清了数学分析定理研究的大致框架和基本思路。首先，对前人大量的研究成果进行了认真的归纳、整理、分析，对研究、认知、教学、学习等过程开展了认真的挖掘、分析、实践；然后，对数学分析中的重要定理进行了分类，力求全面化、系统性、思辨性，使其既符合科学研究过程的一般规律，又符合教学认知过程的一般规律。按照这样的思路，本书把数学分析中的重要定理总结和归纳为微积分基本定理、微分中值定理、积分中值定理、积分关系定理、极限关系定理、闭区间上连续函数的性质定理、实数连续性（完备性）定理七类。对每类定理从定理的历史演变、定理的证明方法、定理的相关内容分析（包含定理的几何现实意义、定理的条件与结论、定理间的相互关系等）、定理的应用范畴、定理的推广方法五个侧面展开细致的研究。本书是基于数学方法论、数学教学论、数学研究的基本方法等理论依据编写的。书中对定理的历史演变分析，力求体现历史发展的原本过程；对定理的证明方法，力求体现多样化；对定理的相关内容分析，力求密切联系教学实际；对定理的应用范畴，力求体现典型、丰富；对定理的推广方法，力求体现启发性与研究性。书中题量较大、题型丰富，参考文献详细，不仅可作为教学研究的辅导材料，也可作为数学分析的学习指南和复习考研的参考书。最后，衷心感谢电子工业出版社赵玉山老师和相关编辑人员的辛勤工作，感谢我们的两个研究生吕海玲、于金倩老师为书稿校对所做的工作，正是他们的努力，才能使本书得以早日出版。由于水平有限，成书仓促，书中一定还有不少缺点和错误，恳请广大读者批评指正。杨艳萍 明清河 目 录 第 1 章 微积分基本定理 1 1.1 微积分基本定理的历史演变 1 1.1.1 微积分基本定理的发现阶段 1 1.1.2 微积分基本定理的创立阶段 2 1.1.3 微积分基本定理的完善阶段 3 1.2 微积分基本定理的内容与证明 4 1.2.1 微积分第一基本定理及其证明 4 1.2.2 微积分第二基本定理及其证明 6 1.3 微积分基本定理的相关内容分析 7 1.3.1 微积分基本定理的条件与结论 7 1.3.2 微积分基本定理的意义与作用 8 1.3.3 两种形式微积分基本定理之间的关系 9 1.3.4 微积分基本定理与其他定理之间的关系 10 1.4 微积分基本定理的应用11 1.4.1 求含有变限积分函数的导数11 1.4.2 求含有变限积分函数的极限 12 1.4.3 求含有变限积分的函数方程的解 14 1.4.4 讨论含变限积分函数的性质 16 1.4.5 构造变限积分辅助函数，证明等式与不等式 17 1.4.6 利用微积分基本定理证明数学分析中的重要定理 19 1.4.7 利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分 21 1.5 微积分基本定理的推广 24 1.5.1 原函数存在定理的推广 24 1.5.2 变限积分求导公式的推广 25 1.5.3 牛顿莱布尼茨公式的推广 25 参考文献 29 第 2 章 微分中值定理 31 2.1 微分中值定理的历史演变 31 2.1.1 对微分中值定理的初步认识 31 2.1.2 罗尔中值定理的演变 32 数学分析中的重要定理 VIII 2.1.3 拉格朗日中值定理的演变 32 2.1.4 柯西中值定理的演变 33 2.1.5 泰勒中值定理的演变 33 2.2 微分中值定理的内容与证明 34 2.2.1 罗尔中值定理及其证明 34 2.2.2 拉格朗日中值定理及其证明 35 2.2.3 柯西中值定理及其证明 36 2.2.4 泰勒中值定理及其证明 37 2.3 微分中值定理的相关内容分析 38 2.3.1 微分中值定理的背景 38 2.3.2 微分中值定理的条件与结论 40 2.3.3 微分中值定理的意义与作用 42 2.3.4 四个微分中值定理之间的关系 44 2.3.5 微分中值定理的中值点 44 2.4 微分中值定理的应用 56 2.4.1 罗尔中值定理的应用 56 2.4.2 拉格朗日中值定理的应用 69 2.4.3 柯西中值定理的应用 81 2.4.4 泰勒中值定理的应用 86 2.5 微分中值定理的推广 99 2.5.1 罗尔中值定理的推广 99 2.5.2 拉格朗日中值定理的推广 103 2.5.3 柯西中值定理的推广 109 参考文献 113 第 3 章 积分中值定理115 3.1 积分中值定理的历史演变115 3.2 积分中值定理的内容与证明116 3.2.1 积分第一中值定理及其证明116 3.2.2 推广的积分第一中值定理及其证明117 3.2.3 积分第二中值定理及其证明119 3.2.4 加强条件的积分第二中值定理及其证明 121 3.3 积分中值定理的相关内容分析 121 3.3.1 积分中值定理的几何意义 121 3.3.2 积分中值定理的条件与结论 123 3.3.3 微分中值定理与积分中值定理之间的关系 124 3.3.4 积分中值定理的中值点 132 目 录 IX 3.4 积分中值定理的应用 132 3.4.1 估计某些定积分的值 132 3.4.2 求含有积分的极限 134 3.4.3 证明含有积分的不等式 138 3.4.4 证明含有中值点的积分问题 140 3.4.5 讨论含积分函数的收敛性与单调性 142 3.5 积分中值定理的改进与推广 143 3.5.1 积分中值定理的改进 143 3.5.2 积分第一中值定理的推广 148 3.5.3 积分第二中值定理的推广 155 参考文献 157 第 4 章 积分关系定理 158 4.1 积分关系定理的历史演变 158 4.2 积分关系定理的内容与证明 159 4.2.1 格林公式及其证明 159 4.2.2 高斯公式及其证明 162 4.2.3 斯托克斯公式及其证明 164 4.3 积分关系定理的相关内容分析 167 4.3.1 各类积分的起源与几何意义 167 4.3.2 各类积分之间的关系 167 4.3.3 各类积分之间的转化 169 4.3.4 四个积分公式之间的关系 169 4.3.5 四个积分公式的统一形式 172 4.4 积分关系定理的应用 176 4.4.1 格林公式的应用 176 4.4.2 高斯公式的应用 181 4.4.3 斯托克斯公式的应用 185 4.5 积分关系定理的推广 187 4.5.1 格林公式的推广 187 4.5.2 高斯公式的推广 189 4.5.3 斯托克斯公式的推广 191 参考文献 192 第 5 章 极限关系定理 193 5.1 海涅定理的历史演变 193 数学分析中的重要定理 X 5.2 海涅定理的内容与证明 193 5.3 海涅定理的相关内容分析 197 5.3.1 海涅定理的条件与结论 197 5.3.2 海涅定理的意义与作用 198 5.4 海涅定理的应用 199 5.4.1 证明函数极限不存在 199 5.4.2 证明函数极限的性质 200 5.4.3 求数列的极限 203 5.4.4 判断级数的敛散性 206 5.4.5 判断函数的可导性 206 5.4.6 证明函数为常量函数 207 5.5 海涅定理的推广 208 5.5.1 把任意数列nx推广为单调数列 208 5.5.2 把()f x存在极限 A 推广为非正常极限 210 5.5.3 把函数极限存在推广为函数连续及单侧连续 212 5.5.4 把任意数列nx推广为有理（无理）数列 213 5.5.5 把函数极限存在推广为含参变量广义积分一致收敛 214 参考文献 214 第 6 章 闭区间上连续函数的性质定理 215 6.1 闭区间上连续函数性质定理的历史演变 215 6.2 闭区间上连续函数性质定理的内容与证明 216 6.2.1 有界性定理及其证明 216 6.2.2 最值性定理及其证明 217 6.2.3 零点存在定理及其证明 219 6.2.4 介值性定理及其证明 221 6.2.5 一致连续性定理及其证明 223 6.3 闭区间上连续函数性质定理的相关内容分析 225 6.3.1 闭区间上连续函数性质定理的理解 225 6.3.2 闭区间上连续函数性质定理的几何意义 227 6.3.3 闭区间上连续函数性质定理的条件与结论 230 6.3.4 闭区间上连续函数性质定理的统一表述