第57卷第2期华中师范大学学报(自然科学版)Vol.57No.22023年4月JOURNALOFCENTRALCHINANORMALUNIVERSITY(Nat.Sci.)Apr.2023收稿日期:2022-01-05.基金项目:江苏省自然科学基金项目(BK20171318);云南省教育厅科学研究基金项目(2019J1182);泰州学院教博基金项目(TZXY2018JBJJ002).*通信联系人.E-mail:tzszgxg@126.com.DOI:10.19603/j.cnki.1000-1190.2023.02.004文章编号:1000-1190(2023)02-0208-05不定方程x2-k(k+1)y2=1与y2-Dz2=4的公解管训贵*(泰州学院数理学院,江苏泰州225300)摘要:设p1,…,pr是不同的奇素数,x1=2k+1,u,v均为正整数.该文证明了当D=2p1…pr(1≤r≤4)时,除开2(4x21-3)(4x21-1)(2x21-1)=Du2或2(2x21-1)=Dv2外,不定方程组x2-k(k+1)y2=1与y2-Dz2=4仅有平凡解(x,y,z)=(±(2k+1),±2,0).关键词:不定方程;整数解;公解;素因数中图分类号:O156文献标志码:A开放科学(资源服务)标志码(OSID):1引言及主要结论近40年来,不定方程组x2-D1y2=1与y2-D2z2=4(1)的求解问题一直受到人们的广泛关注.1998年,Bennett[1]证明了若D1、D2为相异的正整数,则(1)至多有3组正整数解(x,y,z);2004年,袁平之[2]证明了若m和D2均为正整数以及D1=4m(m+1),则(1)至多有1组正整数解(x,y,z).然而,在(1)有正整数解的情况下,如何给出具体的解,值得大家研究.文献[3-8]首先对一些具体的k,给出了(1)的全部正整数解.本文主要讨论D1=2k(k+1),D2为偶数的情况,获得以下一般性的结果.定理若p1,…,pr是不同的奇素数,k为正整数,x1=2k+1,xn+ynk(k+1)是Pell方程x2-k(k+1)y2=1的正整数解,则当D=2p1…pr(1≤r≤4)时,不定方程组x2-k(k+1)y2=1,y2-Dz2=4,{(2)除开2(4x21-3)(4x21-1)(2x21-1)=Du2(u为正整数)仅有非平凡解(x,y,z)=(±x5,±y5,±4(2k+1)u)或2(2x21-1)=Dv2(v为正整数)仅有非平凡解(x,y,z)=(±x3,±y3,±4(2k+1)v)外,均仅有平凡解(x,y,z)=(±(2k+1),±2,0).当k=1时,直接推得文献[3]的结论;当k=2时,直接推得文献[4]的结论;当k=5时,直接推得文献[5]的结论;当k=3时,直接推得文献[6]的结论;当k=4时,直接推得文献[7]的结论;当k=6时,直接推得文献[8]的结论.因此本文定理是文献[3-8]的推广.此外,当k=24时,还可获得以下推论.推论若p1,…,pr是不同的奇素数,k=24,则当D=2p1…pr(1≤r≤4)时,不定方程组(2)除开D=2×4801仅有非平凡解(x,y,z)=(±470449,±19206,±196)以及D=2×11×97×4801×9601仅有非平凡解(x,y,z)=(±4517251249,±184416010,±588)外,均仅有平凡解(x,y,z)=(±49,±2,0).2关键性...
