线性代数习题精解巧析.pdf

口袋题库考研数学“化繁为简”轻松学系列 线性代数习题精解巧析 邹 群 主 编 易福侠 孟旭东 丁兆明 副主编 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 内 容 简 介 本书是作者 20 年教学经验的结晶。作者在广泛收集、细致筛选习题素材的基础上，用 60 个知识点将线性代数课程“庖丁解牛”，并且设法将各个知识点根据知识体系及解题方法有机地联系起来，体现了作者独创的先以思想引出方法，再以方法指导解题的“化繁为简学习法”的总构思。本书分为 6 篇，分别是行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型，每篇均由知识网络图、章节综述、若干知识点、综合测试题及详解组成。知识网络图可使读者形成知识框架，是学习本课程及解题的思维导图；章节综述言简意赅，系统解释知识网络图，是连接各章节及各个知识点的枢纽；题目按难度系数分为 5 类，循序渐进；题目的解析，从宏观思想方法到微观的解题技巧两方面深入解剖，其中穿插的 8 大“招数”是作者在海量题目中提炼出的解题技巧的精华。本书每个章节及知识点中均穿插“书链”二维码，内含更多免费资源。本书适合考研复习和初学本课程的学生作为强化练习使用，也适合大学教师用于教学参考。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 线性代数习题精解巧析邹群主编北京：电子工业出版社，2016.5（口袋题库考研数学“化繁为简”轻松学系列）ISBN 978-7-121-28741-1.线 .邹 .线性代数研究生入学考试题解 .O151.2-44 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2016）第 095245 号 策划编辑：齐 岳 责任编辑：徐 静 特约编辑：刘 凡 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：20.75 字数：400 千字 版 次：2016 年 5 月第 1 版 印 次：2016 年 5 月第 1 次印刷 定 价：45.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254473、。前 言 高等数学习题精解巧析、线性代数习题精解巧析 及 概率论与数理统计习题精解巧析是我们编写的系列习题书写任务。由于此类书多而繁杂，我们深感若不能写出特色，则很难被读者认可。因此我们殚精竭虑，力图将多年教学之精华全倾注于这套书中。在写本套书之前，我们已经总结出了学习大学数学的“化繁为简学习法”。此方法立足于知识点的概括与联系，力图将千头万绪的知识点变得简单易懂。其特点是以“极限”等思想提炼方法，以方法指导繁杂的题型，以专题带动知识点。若运用此方法，将彻底打破数学学习枯燥刻板的印象，给学习者一种全新的体验。我们将“化繁为简学习法”贯彻到本习题书系列中，但是由于本习题书系列是按照知识点切分的，即需要和知识点串讲相结合，因此出现一个矛盾：若过分注重知识点的细分，则难免冲淡“化繁为简学习法”的思想；若要考虑知识点的联系，如何组织内容又是一个难题。若不解决这个矛盾，则难以将本习题书系列写出特色。就线性代数课程而言，其内容相对高等数学课程而言少很多，题型的变化也不如后者。但是本课程的特点在于其学习方法与高等数学相比有较大差异。高等数学再难学，它毕竟是中学数学的延续，其内容不过是在中学数学的内容加上“极限”的思想而已，学生们接受起来相对容易。线性代数则不同，它在中学基本上没有“根”，其思维方式与中学的数学也迥然不同：概念更加抽象，更偏重概念的联系及证明。因此，能否在较短的时间内掌握本课程的中心思想与主要解题方法，就成为摆在学生面前的一个重大问题。我们在多年教学实践的基础上，将“化繁为简学习法”的精髓加入书中，将线性代数的核心：“一个问题、两个工具”紧密地联系起来，让所有习题真正生动起来，我们不做习题的“搬运工”，不在题海中迷失，我们要引导学生在题海中畅游无阻。针对上面两个问题，本书的解决方案是在结构上以细分知识点为主，运用“化繁为简”的思想，在本书前面将所有知识点联系起来引出整本书的“思维导图”，同时在每章前面也各有一个框图。这些图可反映出三个方面的内容：第一，反映知识点之间的联系，不让每个知识点成为“孤岛”，让学生在各个知识点之间能够通行无阻；第二，引导学生有目的地选择题目来练习，也就是说，不一定要按部就班地沿着知识点的顺序机械地去做题，而是通过这些图可以引导学生有选择性、有重点地做题，大大提高学习的效率；第三，通过这些图让大家明白综合题的出题思路，从而顺利拆解综合题。本书的结构是将线性代数课程精确地分为 60 个知识点，每个知识点均为一个最小的功能模块：知识点内容包含其涉及的定理、概念、结论与解题方法综述等，相关的习题按照 5 个等级的难点尽可能铺开，习题皆精心选择且比较全面，配有精细的解析，部分?线性代数习题精解巧析 IV 习题后面还附有精彩的点评，中间插上一些“小而精”的总结。总结中有不少原创的或归纳的“独门绝技”，我们将这些独门绝技总结成 8 大招数：妙招、怪招、险招、绝招、奇招、趣招、无招胜有招、比招，合起来就是“妙怪险绝，奇趣无比”。最具吸引力的是，书中每章及每个知识点均植入“口袋题库考研”开发的“书链”APP 学习平台的二维码，学习者可在手机上下载“书链”APP 应用，安装后扫二维码即可进入本书的资源库，资源库中将持续上传本书丰富的资源，如更多的对应知识点的习题、视频，以及化繁为简学习法思维导图、解题招数详解、精品教案等，作为本书的延伸服务。读者也可以下载“口袋题库考研”APP 应用进入“邹群考研数学课堂”，体验全新的学习模式：共享海量学习资源，吸取前人的学习经验，与学长、专家零距离互动等，最大限度地提高学习数学的效率。“口袋题库考研”APP 学习平台与本书联合，学习者与作者零距离互动，书中的不足将在第一时间内反馈到作者的面前，使得习题书的更新速度加快，习题书于是有了自我修复、自身造血的强大功能。最可喜的是，“口袋题库考研”作为线上平台可与书籍系列形成线上与线下互相补充、相得益彰的局面，这是其他同类书籍所不具备的优势。总之，本习题书系列与其他同类习题书不同的特色是：解决了习题书总结大同小异、大而散和中心不突出的问题，力求做到形散而神不散、简约而不简单，既有引导又有独特的解题招数。更重要的是在形式、结构与内容上均有所突破，令人耳目一新、一目了然。本书同时也适合初学的学生，不过初学者会感到题型略微偏难一些，它最适合中等以上基础的学生。当然对教师而言，它也是一个好的题库，因为题型十分丰富，可供教师教学研究和出卷参考使用。本书的关联平台除“口袋题库考研”外，主编邹群老师的个人网站瀚海网（http:/hanhai.org）中也将有与书对应的题库内容供大家试读，题库中的题量比书籍大一倍，可供学生补充使用。其他任何个人和机构未经同意不可发布本系列书籍与题库中的内容，若需合作，必须与“口袋题库考研”及瀚海网联系。最后，向为本书提供资料、提供建议及参与本书编辑修改工作的所有老师们致以深深的敬意和诚挚的谢意！由于水平及编写时间有限，书中错漏难免，欢迎读者批评指正！所有参与本书编写的师生列举如下。主 编：邹 群 南昌航空大学 副主编：易福侠 江西交通职业技术学院 孟旭东 南昌航空大学科技学院 丁兆明 江西理工大学（南昌校区）参编（排名不分先后）：陈艳君 南昌大学科学技术学院 李 曦 南昌航空大学 喻 璟 江西交通职业技术学院 刘 勇 南昌航空大学 陈 洁（研究生）南昌航空大学 主编 邹群 2016 年 3 月于南昌航空大学 目 录 0 总框图及全课程综述 1 0.1 线性代数知识网格结构及知识点关联图 1 0.2 全课程综述 2 第 1 篇 行列式 4 知识网格结构及知识点关联图 4 综述 5 知识点 1 行列式、逆序数 6 知识点 2 行列式的性质 9 知识点 3 余子式、代数余子式 13 知识点 4 行列式按行（列）展开公式 15 知识点 5 计算行列式的方法 18 知识点 6 克拉默法则 24 第 1 篇综合测试题 28 第 1 篇综合测试题详解 31 第 2 篇 矩阵 37 知识网格结构及知识点关联图 37 综述 38 知识点 7 矩阵的概念、线性运算及运算律 40 知识点 8 矩阵的乘法运算及运算律 43 知识点 9 计算方阵的幂 45 知识点 10 转置矩阵及运算律 48 知识点 11 伴随矩阵及其性质 50 知识点 12 逆矩阵及运算律 53 知识点 13 矩阵可逆的判断 57 知识点 14 方阵的行列式及特殊类型的矩阵的运算 59 知识点 15 矩阵方程的求解 62?线性代数习题精解巧析 VI 知识点 16 初等变换的概念及其应用 66 知识点 17 初等方阵的概念 70 知识点 18 初等变换与初等方阵的关系 72 知识点 19 等价矩阵的概念与判断 75 知识点 20 矩阵的子式与最高阶非零子式 77 知识点 21 矩阵的秩的概念与判断 78 知识点 22 矩阵的秩的性质与定理 80 知识点 23 分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算 84 知识点 24 矩阵分块在解题中的技巧举例 91 第 2 篇综合测试题 99 第 2 篇综合测试题详解 105 第 3 篇 向量 122 知识网格结构及知识点关联图 122 综述 123 知识点 25 向量的概念及运算 125 知识点 26 向量组的线性组合与线性表示 126 知识点 27 向量组之间的线性表示及等价 129 知识点 28 向量组线性相关与线性无关的概念 133 知识点 29 线性表示与线性相关性的关系 136 知识点 30 线性相关性的判别法 137 知识点 31 向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念 141 知识点 32 矩阵的秩与向量组的秩的关系 143 知识点 33 求向量组的最大无关组 145 知识点 34 有关向量组的定理的综合运用 149 知识点 35 内积的概念及性质 153 知识点 36 正交向量组、正交阵及其性质 156 知识点 37 向量组的规范正交化、施密特正交化方法 159 知识点 38 向量空间（数一）163 知识点 39 基变换与过渡矩阵（数一）166 知识点 40 基变换下的坐标变换（数一）169 第 3 篇综合测试题 173 第 3 篇综合测试题详解 178 第 4 篇 线性方程组 195 知识网格结构及知识点关联图 195 综述 196 知识点 41 齐次线性方程组解的性质及结构 198?第九章?目 录?VII 知识点 42 非齐次线性方程组解的性质及结构 202 知识点 43 非齐次线性方程组解的各种情形 205 知识点 44 用初等行变换求解线性方程组 209 知识点 45 线性方程组的公共解、同解 215 知识点 46 方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系 220 知识点 47 方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例 225 第 4 篇综合测试题 232 第 4 篇综合测试题详解 236 第 5 篇 矩阵的特征值与特征向量 247 知识网格结构及知识点关联图 247 综述 248 知识点 48 特征值与特征向量的概念与性质 250 知识点 49 特征值和特征向量的求解 253 知识点 50 相似矩阵的概念及性质 258 知识点 51 矩阵的相似对角化 261 知识点 52 实对称矩阵的相似对角化 266 知识点 53 利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂 271 第 5 篇综合测试题 277 第 5 篇综合测试题详解 280 第 6 篇 二次型 291 知识网格结构及知识点关联图 291 综述 292 知识点 54 二次型及其矩阵表示 293 知识点 55 矩阵的合同 295 知识点 56 矩阵的等价、相