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普通高等学校工科类经管类数学深化训练与考研辅导丛书 考研首轮基础复习优选图书 线性代数 深化训练与考研指导 线性代数 深化训练与考研指导 （工科类经管类）刘 强 丛书主编 孙 阳 郭文英 刘 强 孙激流 编著 李 霞 孙晓梅 熊 萍 副主编 内 容 简 介 本书是作者在多年本科教学和考研辅导经验的基础上编写而成的 全书共分为 6 章，每章包括 5 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练本书编写的主要目的有两个：一是为了满足学生报考研究生的需要；二是帮助学有余力的在校学生更好地学习“线性代数”课程，开阔学习视野，拓展解题思路。本书编写紧扣“数学一”和“数学三”考研大纲，贴切考试实际，做到分门别类，详略得当，帮助考生在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提高综合分析问题、解决问题的能力，以达到融会贯通、举一反三的学习效果 本书既可以作为普通高等学校工科类、经管类本科生学习“线性代数”课程的深化训练用书，也可以作为全国硕士研究生统一入学考试的辅导用书 未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 线性代数深化训练与考研指导/孙阳等编著.北京：电子工业出版社，2017.4 ISBN 978-7-121-31150-5 I线 II孙 III线性代数高等学校教学参考资料 IVO151.2 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2017)第 057524 号 策划编辑：王二华 责任编辑：王二华 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871092 1/16 印张：12 字数：310 千字 版 次：2017 年 4 月第 1 版 印 次：2017 年 4 月第 1 次印刷 定 价：36.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：(010)88254532。前 言 为了更好地帮助普通高等学校工科类、经管类本科生学好大学数学，同时为了满足众多学生考研的需要，我们结合多年的考研辅导经验，编写了“高等学校工科类、经管类数学深化训练与考研辅导丛书”，该丛书包括微积分、高等数学、线性代数和概率论与数理统计四门数学课程的辅导用书，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编 本书为线性代数分册，内容涵盖了考研“数学一”和“数学三”的全部考点本书编写的主要目的有两个：一是帮助学有余力的在校学生更好地学习“线性代数”课程，以开阔学习视野，拓展解题思路；二是为了满足学生报考研究生的需要本书编写紧扣“数学一”和“数学三”考研大纲，贴切考试实际，做到分门别类、详略得当，使考生能在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，综合分析问题、解决问题的能力得到有效提升，达到融会贯通、举一反三的学习效果 全书共分为 6 章，每章包括 5 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练具体模块内容介绍如下 一、知识要点知识要点：本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容 二、典型例题分析二、典型例题分析：本模块是作者在多年来考研辅导经验的基础上，创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的考研真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧 三、深化训练：三、深化训练：本模块精心选编了部分具有代表性的习题及历年的考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通和举一反三 四、深化训练详解：四、深化训练详解：本模块对深化训练习题给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维 五、综合提高训练：五、综合提高训练：本模块的例题综合性较强，有较高的难度和较强的灵活性，通过本模块的学习，提升读者的综合能力和应变能力 为了便于读者阅读本书，书中的“数学一”要求、“数学三”不要求的内容将用“*”标出，有一定难度的结论、例题和综合练习题等将用“*”标出另外为了方便读者查阅，本书在考研真题后面加上了标志，例如【2010（1）】表示该题是 2010 年硕士研究生入学考试“数学一”考题，【2010（1，3）】表示该题是 2010 年“数学一”和“数学三”考题等 本丛书在编写过程中，得到了北京工商大学曹显兵教授，北京工业大学李高荣教授，北方工业大学刘喜波教授，昆明理工大学吴刘仓教授，北京化工大学李志强副教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授及同事们的大力支持，电子工业出版 IV社高等教育分社的谭海平社长和王二华编辑也为丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢 由于作者水平有限，书中仍可能存在不妥甚至错误之处，恳请读者和同行们不吝指正邮件地址为：.作 者 2017 年 3 月 V目 录 第 1 章 行列式 1 1.1 知识要点 1 1.1.1 排列 1 1.1.2 对换 1 1.1.3 n 阶行列式 1 1.1.4 行列式的性质 2 1.1.5 余子式、代数余子式 2 1.1.6 行列式展开定理 2 1.1.7 特殊的行列式的计算 3 1.2 典型例题分析 4 1.2.1 题型一、排列问题 4 1.2.2 题型二、利用定义计算行列式 4 1.2.3 题型三、利用性质计算行列式 5 1.2.4 题型四、行列式按行或列展开 8*1.2.5 题型五、行列式按拉普拉斯方法展开 13 1.3 深化训练 13 1.4 深化训练详解 17 1.5 综合提高训练 23 第 2 章 矩阵 28 2.1 知识要点 28 2.1.1 矩阵的概念 28 2.1.2 矩阵的运算 28 2.1.3 伴随矩阵 29 2.1.4 可逆矩阵 29 2.1.5 矩阵分块 30 2.1.6 分块矩阵的运算 31 2.1.7 线性方程组 31 2.2 典型例题分析 32 2.2.1 题型一、矩阵的乘法及乘法的运算规律 32 2.2.2 题型二、伴随矩阵的相关问题 35 2.2.3 题型三、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 36 2.2.4 题型四、矩阵的分块及分块运算 41 VI2.2.5 题型五、矩阵方程的求解 43 2.2.6 题型六、克莱姆法则的应用 44 2.3 深化训练 46 2.4 深化训练详解 48 2.5 综合提高训练 53 第 3 章 矩阵的初等变换与线性方程组 56 3.1 知识要点 56 3.1.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 56 3.1.2 矩阵的秩 56 3.1.3 用初等变换求逆矩阵及解矩阵方程 57 3.1.4 线性方程组解的判定定理 57 3.2 典型例题分析 58 3.2.1 题型一、矩阵的初等变换问题 58 3.2.2 题型二、矩阵的秩的求解 59 3.2.3 题型三、利用初等变换求矩阵的逆矩阵 60 3.2.4 题型四、线性方程组的求解 61 3.3 深化训练 63 3.4 深化训练详解 67 3.5 综合提高训练 73 第 4 章 向量组的线性相关性 76 4.1 知识要点 76 4.1.1 向量的线性组合（线性表示）76 4.1.2 向量组的线性相关性 76 4.1.3 向量组的极大线性无关组的定义与性质 77 4.1.4 线性方程组解的结构 77 4.1.5 向量空间的概念与性质 78 4.2 典型例题分析 79 4.2.1 题型一、向量线性表示的相关问题 79 4.2.2 题型二、向量组的线性相关性问题 80 4.2.3 题型三、极大线性无关组及秩的求解 82 4.2.4 题型四、线性方程组解的相关问题 84 4.2.5 题型五、向量空间的相关问题 92 4.3 深化训练 93 4.4 深化训练详解 100 4.5 综合提高训练 113 第 5 章 特征值与特征向量、相似矩阵 128 5.1 知识要点 128 VII5.1.1 向量的内积、长度及夹角 128 5.1.2 正交向量组 128 5.1.3 正交矩阵及正交变换 129 5.1.4 矩阵的迹 129 5.1.5 矩阵的特征值与特征向量 130 5.1.6 相似矩阵 130 5.1.7 一般矩阵的对角化 131 5.1.8 实对称矩阵的对角化 131 5.2 典型例题分析 132 5.2.1 题型一、向量的内积、长度及正交问题 132 5.2.2 题型二、正交矩阵问题 133 5.2.3 题型三、特征值与特征向量问题的计算 133 5.2.4 题型四、特征值与特征向量的证明问题 134 5.2.5 题型五、相似矩阵问题 135 5.2.6 题型六、对称矩阵的对角化问题 138 5.3 深化训练 141 5.4 深化训练详解 142 5.5 综合提高训练 146 第 6 章 二次型 151 6.1 知识要点 151 6.1.1 二次型及其矩阵表示 151 6.1.2 二次型的标准形与规范形 151 6.1.3 矩阵的合同 152 6.1.4 利用正交变换化二次型为标准形 152 6.1.5 用配方法化二次型成标准型 153 6.1.6 惯性定理 153 6.1.7 正定二次型与正定矩阵 154 6.1.8 顺序主子式 154 6.2 典型例题分析 154 6.2.1 题型一、二次型的基本概念问题 154 6.2.2 题型二、将二次型化为标准型 155 6.2.3 题型三、二次型的规范形的求解 157 6.2.4 题型四、矩阵的合同、相似问题 158 6.2.5 题型五、二次型（或二次型矩阵）正定性的判定 159 6.2.6 题型六、二次型的参数求解问题 159 6.2.7 题型七、二次型（二次型矩阵）的证明问题 160 6.3 深化训练 160 6.4 深化训练详解 162 VIII6.5 综合提高训练 165 2013 年考研试题线性代数考题 169 2014 年考研试题线性代数考题 172 2015 年考研试题线性代数考题 174 2016 年考研试题线性代数考题 178 2017 年考研试题线性代数考题 182 参考文献 184 第 1 章 行 列 式 1.1 知知 识识 要要 点点 1.1.1 排列排列 把n个不同的元素排成一排，叫做这n个元素的全排列全排列，简称排列排列，n个不同元素的所有的排列的种数为!n 对于n个不同的元素，先规定各元素之间有个标准次序（常用的标准是从小到大），于是n个不同元素的任一排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称它们构成一个逆序逆序，排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数，逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列 特别地，由n个自然数1,2,n组成的一个有序的数组称为一个n级排列级排列规定n级排列的标准次序为从小到大，也称为自然序自然序，n级排列1 2ni ii的逆序数记为1 2()nN i ii；n级排列的种数共有!n个，其中奇排列、偶排列各占一半 1.1.2 对换对换 将一个排列中的两个数对调，其余的数不动，就会得到一个新排列，称这样的一个变动为对换对换 对换的性质：（1）排列经一次对换奇偶性发生改变；（2）任意一个n级排列与排列1,2,n都可以经过有限次对换互变，并且所做对换的次数与这个排列有相同的奇偶性 1.1.3 n 阶行列式阶行列式 1 2121 21112121222()1212(1)nnnnnN j jjjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa，这里1 2nj jj表示对所有的n级排列1 2nj jj求和n阶行列式也可以简记为ijnDa或det()ija，其中ija(1,2,;1,2,)in jn称为行列式的元素元素显然二阶、三阶行列式是n阶行列式的特例 注注 规定一阶行列式等于行列式中元素，即|aa，注意不要与绝对值的记号混淆 n