线性代数自考考点分析与训练.pdf

高等教育数学课程改革创新系列教材 线性代数自考考点分析与训练 主 编 韩兆君 李高尚 刘 婧 副主编 郭立娜 徐玉国 李 奎 韩洪文 内 容 简 介本书以“倡导自学，鼓励自学，帮助自学，推动自学”为原则，依据全国高等教育自学考试线性代数（经管类）考试大纲编写。本书内容包括：行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、特征值与特征向量和二次型，特点在于将教材中的考核知识点分块总结，由浅入深；同时为方便自学选取典型例题，每个知识点的后面还配有同步练习和参考答案。另外，本书附带了 20122017 年的真题和参考答案。本书依据真题，考核知识点分题型总结到位，叙述清楚，习题丰富，针对性强，可作为线性代数（经管类）自考生的辅导教材或自学用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 线性代数自考考点分析与训练/韩兆君，李高尚，刘婧主编.北京：电子工业出版社，2018.3 ISBN 978-7-121-33064-3.线.韩 李 刘.线性代数成人高等教育自学参考资料.O151.2 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2017）第 286134 号 策划编辑：朱怀永 责任编辑：裴 杰 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：787980 1/16 印张：14.75 字数：377.6 千字 版 次：2018 年 3 月第 1 版 印 次：2018 年 3 月第 1 次印刷 定 价：38.80 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至，盗版侵权举报请发邮件至。本书咨询联系方式：（010）88254608，。线性代数（经管类）是高等教育自学考试所有科目中最难的课程之一，参加自学考试的学生由于缺乏必要的辅导，在学习与考试中遇到不少困难，甚至很多同学因这一门课程屡试不过而无法毕业。线性代数（经管类），除具有数学学科的严密性和逻辑性之外，又特别具有研究方法的特殊性。要学好这门课，必须对该课程理论有深刻的理解，同时还要理论联系实际，做好相应训练。因此，为帮助考生更有效地掌握好线性代数（经管类）这门课程，我们精心编写了这本书。本书的编排从“帮助考生”这一主导思想出发，旨在能让广大读者，形成自学能力，提高学习效率，顺利通过国家统一考试。在考点分析部分，按章排列，每章内按照知识点展开叙述。对每个知识点，由考核要求、考点内容、典型例题、同步练习和参考答案四部分构成，其中所有例题及练习题都来源于历年真题，代表性强，讲解清晰，步骤详细，便于读者把握知识重难点，掌握知识，进行针对性的学习。最后，本书还为广大自考生提供了 20122017 年真题和参考答案的详解过程，适合广大读者独立学习，也可作为自学考试的辅导教材和考试用书。本书是烟台南山学院数理部教师多年的教学经验总结，编写中，韩兆君老师主要负责本书的编写、策划和审定工作，李高尚老师负责编写第 1第 4 章，郭立娜老师负责编写第 5 和第 6 章，刘婧老师负责整理真题，教研室其余老师协助本书完成编写工作。由于时间紧张，本书在编写和整理过程中难免存在不完善之处，恳请各位读者在使用本书的过程中积极提出修改意见和建议，我们将不胜感激。祝每一位读者自学成功！韩兆君 前言 第一部分 考点分析与训练 1第 1 章 行列式 1考点 1 行列式的对角线法 1考点 2 余子式与代数余子式 2考点 3 行列式的展开法 4考点 4 行列式的性质与应用 6考点 5 行列式的计算 10考点 6 克拉默法则 14第 2 章 矩阵 17考点 1 矩阵的线性运算 17考点 2 矩阵乘法与方阵的相关运算 19考点 3 方阵的逆矩阵及相关运算 25考点 4 分块矩阵 33考点 5 矩阵的初等变换与初等方阵 35考点 6 矩阵的秩 46第 3 章 空间向量 51考点 1 向量的线性运算与线性组合 51考点 2 线性相关与线性无关 55考点 3 向量组的秩与极大无关组 65考点 4 向量空间 72第 4 章 线性方程组 76考点 1 线性方程组解的条件 76考点 2 齐次线性方程的基础解系 80考点 3 线性方程组解的性质及其通解 85第 5 章 特征值与特征向量 101目录 VI考点 1 特征值与特征向量的定义及求解 101考点 2 方阵的相似变换 109考点 3 向量内积和正交矩阵 118考点 4 实对称矩阵的相似标准形 124第 6 章 实二次型 127考点 1 实二次型及其标准形 127考点 2 正定二次型和正定矩阵 135第二部分 历年真题 140全国 2012 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 140全国 2012 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 143全国 2012 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 146全国 2012 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 149全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 152全国 2013 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 155全国 2013 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 158全国 2013 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 161全国 2014 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 164全国 2014 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 166全国 2014 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 169全国 2015 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 172全国 2015 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 174全国 2016 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 177全国 2016 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 180全国 2017 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 183全国 2012 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 186全国 2012 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 188全国 2012 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 190全国 2012 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 193全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 194全国 2013 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 197全国 2013 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 200全国 2013 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 202全国 2014 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 205全国 2014 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 208 目录 VII全国 2014 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 211全国 2015 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 214全国 2015 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 216全国 2016 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 218全国 2016 年 10 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 221全国 2017 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案 224 第一部分 考点分析与训练 第 1 章 行 列 式【考核要求】学习本章，要确切知道行列式的定义；理解行列式的性质；熟练掌握行列式的计算方法（特别是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式），会计算简单的行列式；理解克拉默法则在线性方程组求解理论中的重要性 本章的重点：行列式的性质与计算 难点：n 阶行列式的计算 考点 1 行列式的对角线法【考点内容】1二阶行列式的对角线法公式 1112112212212122aaa aa aaa.2三阶行列式的对角线法公式 111213212223112233122331132132132231112332122133313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa.【典型例题】【例 1-1】设21()31xf x，则方程()0f x 的根是_ 解：因为21=235031xxx，所以5x.2【例 1-2】3 阶行列式100225313=_ 解：由公式得，1002253136000051.【同步练习及参考答案】1行列式0112的值为_ 2若1012k，则 k=_ 3已知行列式011103212a，则数 a=_ 4若2101310,21kk则_ 53 阶行列式210121012=_ 参考答案 11 212 33 41 54 考点 2 余子式与代数余子式【考点内容】1n 阶行列式|ija中元素ija的余子式ijM 行列式 第 1 章 3 ijM 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa；2元素ija的代数余子式(1)ijijijAM，与余子式ijM只是一个符号区别,2,(1)(),21.ijijijijijMijkAMkNMijk.【典型例题】【例 1-3】阶行列式i ja=011101110中元素21a的余了式21M=_，代数余子式21A=_ 解：由公式2111110M，从而21A=2 121(1)1M.【同步练习及参考答案】1行列式111213212223313233aaaaaaaaa中22a的代数余子式为（）A22233233aaaa B11133133aaaa C11133133aaaa D21223132aaaa 2行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式 A32=_ 3行列式0111101111011110第二行第一列元素的代数余子式21A=_ 4已知 3 阶行列式ija=1320514xx中元素12a的代数余子式 A12=8，求元素21a的代数 4 余子式 A21的值 参考答案 1C 22 31 45 考点 3 行列式的展开法【考点内容】1定理定理 1.2.1 n 阶行列式 D=|aij|n等于它的任意一行（列）任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即 1122iiiiininDa Aa Aa A121122(1)(1)(1)iii niiiiinina Ma Ma M ，按第 i 行展开 或 ：代数余子式形式 ：余子式形式 1122jjjjnjnjDa Aa Aa A121122(1)(1)(1)jjnjjjjjnjnja Ma Ma M ，按第 j 列展开 其中,1,2,3,i jn.2三角行列式 上三角行列式 下三角行列式 对角行列式 1212*nnaaa aaa 1212*nnaaa aaa 1212nnaaa aaa 注意：注意：三角行列式考虑的是以主对角线为斜边，且由非零元素构成的等腰直角三角形在主对角线的上方还是下方，元素为 0 时可以省略不写若在上方是上三角，在下方是下三角其结果都等于主对角线上元素的乘积其结果都等于主对角线上元素的乘积（上三角行列式始终按第 1 列展开，下三角行列式始终按第 1 行展开）【典型例题】【例 1-4】按第 1 列展开得行列式 行列式 第 1 章 5 11011022(1)(1)!0110nnnnnnn 注意：注意：为了能快捷地求出行列式值，要按零最多的行或列来展开计算（因为只有这样求解的行列式个数才能最少，否则可能会成倍增加），同时尽量保证展开后的余子式为三角行列式要按零最多的行或列来展开计算（因为只有这样求解的行列式个数才能最少，否则可能会成倍