考研数学历年真题2017-2019(数一)（参考答案解析）.docx

目 录 2017年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题 1 2018年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题 8 2019年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题 15 2017年全国硕士研究生招生考试 数学（一）试题 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内.） 1.若函数，在处连续，则（　　） A. B. C. D. 2.设函数可导，且，则（　　） A. B. C. D. 3.函数在点处沿向量的方向导数为（　　） A. B. C. D. 4.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，右图中，实践表示甲的速度曲线（单位m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为.计时开始后乙追甲的时刻为（单位：s），则（　　）. A. B. C. D. 5.设为为单位列向量，为阶单位矩阵，则（　　） A. B. C. D. 6.已知矩阵则（　　） A. B. C. D. 7.设为随机事件，若，则的充分必要条件是（　　）. A. B. C. C. 8.设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中横线上.） 9.设，则 . 10.微分方程的通解为 . 11.若曲线积分在区域内与路径无关，则 . 12.幂级数 在区间 内的和函数 . 13.设矩阵为线性无关饿三维列向量组，则向量组的秩为 . 14.设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则 . 三、解答题（15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本题满分10分） 设函数具有二阶连续的偏导数， 16.（本题满分10分） 求 17.（本题满分10分） 已知函数有方程确定，求的极值. 18.（本题满分10分） 设函数在区间上具有二阶导数，且，. 证明： （Ⅰ）方程在区间内至少存在一个实根. （Ⅱ）方程在区间内至少存在两个不同实根. 19.设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为.记圆锥面与柱面的交线为. （Ⅰ）求在平面上的投影曲线的方程； （Ⅱ）求的质量. 20.（本题满分11分） 设3阶矩阵有3个不同的特征值，且. （Ⅰ）证明： （Ⅱ）若，求方程组. 21.（本题满分11分） 设二次型在正交变换下的标准形为，求的值及一个正交矩阵. 22.（本题满分11分） 设随机变量相互独立，且的概率分布为的概率密度为 （Ⅰ）求 （Ⅱ）求的概率密度. 23.（本题满分11分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的.设次测量结果相互独立且均服从正态分布，该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计. （Ⅰ）求的概率密度； （Ⅱ）利用一阶矩求的矩估计量； （Ⅲ）求的最大似然估计量 2018年全国硕士研究生招生考试 数学（一）试题 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内.） 1.下列函数中，在处不可导的是（　　）. A. B. C. D. 2.过点，且与曲面相切的平面为（　　）. A. B. C. D. 3.（　　）. A. B. C. D. 4.设则（　　）. A. B. C. D. 5.下列矩阵中，与矩阵相似的为（　　）. A. B. C. D. 6.设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（　　）. A. B. C. D. 7.设随机变量的概率密度满足且则（　　）. A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 8.设总体服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测：假设则（　　）. A.如果在检测水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝 B.如果在检测水平下拒绝，那么在检验水平下必接受 C.如果在检测水平下接受，那么在检验水平下必拒绝 D.如果在检测水平下接受，那么在检验水平下必接受 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中横线上.） 9.若，则 . 10.设函数具有2阶连续导数，若曲线过点且与曲线在点处相切，则 . 11.设，则 . 12.设为球面与平面的交线，则 . 13.设2阶矩阵有两个不同特征值，是的线性无关的特征向量，且满足 ，则 . 14.设随机事件与相互独立，与相互独立，，若则 . 三、解答题（15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本题满分10分） 求不定积分 16.（本题满分10分） 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值. 17.（本题满分10分） 设是曲面的前侧，计算曲面积积分 18.（本题满分10分） 已知微分方程其中是上的连续函数. （Ⅰ）若，求方程的通解. （Ⅱ）若是周期为的函数，证明：方程存在唯一的以为周期的解. 19.（本题满分11分） 设数列满足：证明收敛，并求 20.（本题满分11分） 设实二次型其中是参数. （1） 求的解； （2） 求的规范形. 21.（本题满分11分） 已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵 （1） 求； （2） 求满足的可逆矩阵 22.（本题满分11分） 设随机变量相互独立，的概率分布为服从参数为的泊松分布.令 （I）求 （Ⅱ）求的概率分布. 23.（本题满分11分） 设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.记的最大似然估计量为. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求 2019年全国硕士研究生招生考试 数学（一）试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 当时，若与是同阶无穷小，则k =（　　） A.1. B.2. C..3. D.4. 2. 设函数则x=0是f（x）的（　　） A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设｛un｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（　　） A. B. C. D. 4.设函数.如果对上半平面（y>0）内的任意有向光滑封闭曲线C都有，那么函数P（x，y）可取为（　　） A.. B. C. D. 5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若，且｜A｜=4，则二次型xTAx的规范形为（　　） A. B. C. D. 6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则（　　） A. B. C. D. 7.设A，B为随机事件，则的充分必要条件是（　　） A.. B.. C.. D.. 8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布，则（　　） A.与无关，而与有关 B.与有关，而与无关 C.与，都有关 D.与，都无关 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.设函数可导，，则 . 10.微分方程满足条件的特解 . 11.幂级数在内的和函数 . 12.设为曲面的上侧，则 . 13.设为3阶矩阵，若线性无关，且，则线性方程组的通解为 . 14.设随机变量X的概率密度为为X的分布函数，EX为X的数 . 三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 解答题（高等部分） 15.设函数是微分方程 满足条件的特解. （1）求； （2）求曲线的凹凸区间及拐点. 16.设a，b为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向的方向导数最大，最大值为10. （1）求a，b （2）求曲面的面积. 17. 求曲线与x轴之间图形的面积. 18.设 （1）证明：数列｛an｝单调减少，且 （2）求 19.设是由锥面与平面z=0围成的锥体，求的形心坐标. 20.设向量组=（1，2，1）T　=（1，3，2）T　=（1，a，3）T为R3的一个基，=（1，1，1）T在这个基下的坐标为（b，c，1）T. （1）求a，b，c （2）证明为R3的一个基.并求到的过渡矩阵. 21.已知矩阵相似. （1）求x、y （2）求可逆矩阵P，使得P-1AP=B. 22.设随机变量X与Y独立.X服从参数为1的指数分布.Y的概率分布为，令Z=XY （1）求Z的概率密度. （2）p为何值时，X与Y不相关？ （3）X与Z是否相互独立？ 23.（本题满分11分） 设总体的概率密度为 其中是已知参数，是未知参数，A是常数，是来自总体的简单随机样本. （1） 求A； （2） 求的最大似然估计量. 2017年考研数学（一）真题答案解析 一、 选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）【答案】A 【解析】 在处连续选A. （2）【答案】C 【解析】 或，只有C选项满足且满足，所以选C. （3）【答案】D 【解析】 由 得出选D. （4）【答案】C. 【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则 ，当时满足，故选C. （5）【答案】A 【解析】选项A,由得有非零解，故.即不可逆.选项B,由得的特征值为n-1个0，1.故的特征值为n-1个1，2.故可逆.其它选项类似理解. （6）【答案】B 【解析】由.可知A的特征值为2,2,1 因为，∴A可相似对角化，且 由可知B特征值为2,2,1. 因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴，且B不相似于C. （7）【答案】A 【解析】选特殊情况 则 所以时条件成立. 现在考虑在的条件下四个选项是否成立. 对于（A），故成立. 显然（B），不成立. 对于（C），故不成立. 显然（D），也不成立. 综上，（B）（C）（D）不可能是的充要条件. 答案必为（A）. （8）【答案】B 【解析】 由于找不正确的结论，故B符合题意. （9）【解析】 （10）【解析】 齐次特征方程为