数学竞赛辅导08 根式及其运算.doc

第八讲 根式及其运算 　　二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析． 　　二次根式的性质： 　　 　　　 　　二次根式的运算法则： 　　 　　　 　　设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅 　　　 　　当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式． 　　例1 化简： 　　　 　　法是配方去掉根号，所以 　　 　　因为x-2＜0，1-x＜0，所以 　　原式=2-x+x-1=1． 　　 　　　　　　＝a-b-a+b-a+b=b-a． 　　说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简． 　　例2 化简： 　　 　　分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简． 　　　 　　　　　　　 　　　 　　　　　　 　 　　　 　 　　解法1 配方法． 　　 　　配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则 　　　 　　解法2 待定系数法． 　　　 　　 　　　 　　例4 化简： 　　　 　　 　　　 　　(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简． 　　　 　　　 　　　 　　分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成 　　解 设 　　 　　两边平方得 　　 　　　 　　②×③×④得 　　(xyz)2=5×7×35=352． 　　因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以 xyz=35．⑤ 　　⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以 　　 　　　 　　解 设原式=x，则 　　　 　　　　　　　　 　　　 　　　 　　解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解． 　　 　　将方程左端因式分解有 　　(x-4)(x2＋4x＋10)＝0． 　　因为 　　x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0， 　　所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4． 　　解法2 　　 　　　 　　说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法． 　　例8 化简： 　　 　　解(1) 　　 　 　 　　 　　　　　 　　本小题也可用换元法来化简． 　　　 　　　 　　 　　解 用换元法． 　　　 　　　　　 　　　 　　解 直接代入较繁，观察x，y的特征有 　　 　　所以 　　3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy 　　　　　　　 ＝3(x＋y)2-11xy 　　 　　　　　＝3×102-11×1＝289． 　　例11 求 　　 　　分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算． 　　解 设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以 　　A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1 　　＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1 　　＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1 　　＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1 　　＝22×256-1＋1＝22×256， 　　　 　　　 　 　　的值． 　　分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循． 　　　 　　 　　　 　　　 　　解 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有 　　两边平方得 　　 　　两边再平方得 　　x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0． 　　观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有 　　(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0． 　　　 　　　 　　　 　　解 因为 　　 　　　 　　　 练习七 　　1．化简： 　　　 　　　 　　2．计算： 　　 　　　 　　3．计算：