数学竞赛辅导09 非负数.doc

第九讲 非负数 所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根． 　　1．实数的偶次幂是非负数 　　若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0． 　　2．实数的绝对值是非负数 　　若a是实数，则 　　性质 绝对值最小的实数是零．` 　　3．一个正实数的算术根是非负数 　　 　　4．非负数的其他性质 　　(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则 　　a1＋a2＋…＋an≥0． 　　(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0． 　　在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多． 　　(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数． 　　(5)最小非负数为零，没有最大的非负数． 　　(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数． 　　应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决． 　　 　　　 　　解得a=3，b=-2．代入代数式得 　　 　　　 　　解 因为(20x-3)2为非负数，所以 -(20x-3)2≤0． ① 　　 -(20x-3)2≥0． ② 　　由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以 　　原式=｜｜20±0｜＋20｜=40． 　　说明 本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质． 　　例3 已知x，y为实数，且 　　解 因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有 　　　 　　　 　　解 因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以 a2-4a+4+b2-2b+1=0， 　　即 (a-2)2+(b-1)2=0． 　　(a-2)2=0，且 (b-1)2=0． 　　所以a=2，b=1．所以 　　 　　例5 已知x，y为实数，求 　　u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值． 　　解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 　　　　=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2 　　　　=(x-y+1)2+(2x-y)2+2． 　　因为x，y为实数，所以 　　(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当 　　时，u有最小值2，此时x=1，y=2． 　　例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数． 　　解 将原方程化为 　　a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0， 　　即 　　(ax-1)2+x2+a2+3=0． 　　对于任意实数x，均有 　　(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故 　　(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根． 　　例7 求方程的实数根． 　　分析 本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题． 　　　 　　 　 　　解之得 　　经检验，均为原方程的解． 　　说明 应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件． 　　例8 已知方程组 　　求实数x1，x2，…，xn的值． 　　解 显然，x1=x2=…=xn=0是方程组的解． 　　由已知方程组可知，在x1，x2，…，xn 中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为 　　将上面n个方程相加得 　　又因为xi为实数，所以 　　 　　经检验，原方程组的解为 　　例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值． 　　解 由于a，b为非负整数，所以 　　解得 　　例10 当a，b为何值时，方程 　　x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？ 　　解 因为方程有实数根，所以△≥0，即 　　△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2) 　　　=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8 　　　=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0， 　　所以 　　2a2-4ab-4b2+2a-1≥0， 　　-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0， 　　-(a-1)2-(a+2b)2≥0． 　　因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以 　　　 　　例11 已知实数a，b，c，r，p满足 pr＞1，pc-2b+ra=0， 　　求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根． 　　证 由已知得2b=pc+ra，所以 　　△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac 　　　=p2c2+2pcra+r2a2-4ac 　　　=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac 　　　=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根． 　　例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小． 　　解 用比差法． 　　(3x2+2x-1)-(x2+5x-3) 　　=2x2-3x+2 　　 　　即 　　(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0， 　　所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3． 　　说明 比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决． 　　例13 已知a，b，c为实数，设 　　 　　证明：A，B，C中至少有一个值大于零． 　　证 由题设有 　　A+B+C 　　 　　=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3 　　=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)． 　　因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0． 　　若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零． 　　例14 已知a≥0，b≥0，求证： 　　 　　分析与证明 对要求证的不等式两边分别因式分解有 　　 　　由不等式的性质知道，只须证明 　　因为a≥0，b≥0，所以 　　 　　又因为 　　 　　　 　　所以原不等式成立． 　　例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd， 　　试判断四边形的形状． 　　解 由已知可得 　　a4+b4+c4+d4-4abcd=0， 　　所以 　　(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0， 　　即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0． 　　因为a，b，c，d都是实数，所以 　　(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0， 　　所以 　　由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有 a=b=c=d． 　　故此四边形为菱形． 练 习 八 　　1．求x，y的值： 　　　 　　　 　　　 　　4．若实数x，y，z满足条件 　　 　　5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz， 　　 　　6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．