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神奇巧解高考数学选择题专题 前 言 高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。 选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。 然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。 解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。 例题与题组 一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。 【例题】、（07江苏6）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有（ ）。 A、 B、 C、 D． 【解析】、当时，，的 图象关于直线对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出 的图象代替它也可以。由图知， 符合要求的选项是B， 【练习1】、若P（2，-1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A） 【练习2】、（07辽宁）已知变量、满足约束条件，则的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。） 【练习3】、曲线 与直线有两个公共点时， 的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：事实上不难看出，曲线方程的图象为，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）] 【练习4】、函数在区间 A上是增函数，则区间A是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：作出该函数的图象如右，知应该选B） 【练习5】、曲线与直线 有两个交点，则的取值范围是（ ） A、或 B、 C、或 D、 （提示：作出曲线的图象如右，因为直线 与其有两个交点，则或，选A） 【练习6】、（06湖南理8）设函数，集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：数形结合，先画出的图象。。当时，图象如左；当时图象如右。 由图象知，当时函数在上递增，，同时的解集为的真子集，选C） 【练习7】、（06湖南理10）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为 ，由题意知，圆心到直线 的距离应该满足，在已知圆中画一个半 径为的同心圆，则过原点的直线与小圆有公共点，∴选B。） 【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则（ ） A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b | C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b | （提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此 先把条件进行等价转换。|a-b|=| b ||a-b|2= | b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·（a-2b）=0 a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |， |2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图， ∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。 另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB， 再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。） 【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 （提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图， 由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C） 【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：若，则 成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立） 【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数是偶函数，且。若在区间[1，2]上是减函数，则（ ） A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 （提示：数形结合法，是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B） 【练习12】、（07山东文11改编）方程的解的取值区间是（ ） A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4） （提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数的图象，则立刻知选B，如上右图） 二、特值代验 包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。 【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A、12 B、10 C、8 D、 【解析】、思路一（小题大做）：由条件有从而 ， 所以原式=，选B。 思路二（小题小做）：由知原式=，选B。 思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列即可，选B。 【练习1】、（07江西文8）若，则下列命题中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：取验证即可，选B） 【练习2】、（06北京理7）设，则（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：思路一：f（n）是以2为首项，8为公比的等比数列的前项的和， 所以，选D。这属于直接法。 思路2：令，则，对照选项，只有D成立。） 【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3满足| bi|=2| ai |，且ai顺时针旋转以后与bi同向，其中i=1、2、3则（ ） A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0 （提示：因为a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则bi实际上是将三角形顺时针旋转后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D。） 【练习4】、若，则的图象是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：抓住特殊点2，，所以对数函数是减函数，图象往左移动一个单位得，必过原点，选A） 【练习5】、若函数是偶函数，则的对称轴是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：因为若函数是偶函数，作一个特殊函数，则变为，即知的对称轴是，选C） 【练习6】、已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，其前n和为Sn，那么 Cn1S1+ Cn2S2+…+ CnnSn=（ ） A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n （提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式an=2n-1求得和的公式Sn，再代入式子Cn1S1+ Cn2S2+…+ CnnSn，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B） 【练习7】、（06辽宁理10）直线与曲线（）的公共点的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 （提示：取，原方程变为，这是两个椭圆，与直线有4个公共点，选D） 【练习8】、如图左，若D、E、F分别是 三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点， 且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平 面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分 的体积之比为（ ） A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25 （提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，分别表示上下两部分的体积 则，，选C） 【练习9】、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则的取值是（ ） A、-1 B、1 C、-2 D、2 （提示：特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有，，选B。） 【练习10】、双曲线方程为，则的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、或 （提示：在选项中选一些特殊值例如代入验证即可，选D） 三、筛选判断 包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。 【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，选C。 【练习1】、（06安徽理6）将函数 的图象按向量a=平移以后的图象如图所示，则 平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：若选A或B，则周期为，与图象所示周期不符；若选D，则与 “按向量a=平移” 不符，选C。此题属于容易题） 【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中的 长度为，表示与弦AB所围成的弓形的面的 2倍，则函数的图象是（ ） 2 2 2 2 2 2 2 2 A、 B、 C、 D、 （提示：解法1 设，则， 则S弓形=S扇形- S△AOB= ，当时， ，则，其图象位于下方；当时，，，其图象位于上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。 解法2 结合直觉法逐一验证。显然，面积不是弧长的一次函数，排除A；当