希望杯第八届初二年级二试试题.doc

希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 一、 选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．） 1.已知实数a,b满足条件:a2+4b2-a+4b+=0,那么-ab的平方根是[ ] A.2; B.2; C.; D.. 2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是［ ］ A．（x＋y＋3）（x－y－1）. B．（x＋y－1）（x－y＋3） C．（x＋y－3）（x－y＋1）. D．（x＋y＋1）（x－y－3） 3．下列图形中，不是轴对称图形的是 ［ ］ A．直角三角形ABC. B．角DOE. C．等边三角形FGH. D．线段MN 4. ΔABC的三边长为a,b,c,满足条件,则b边所对的角B的大小是[ ] A．锐角. B．直角. C．钝角. D．锐角、直角、钝角都有可能 5.设a>0>b>c,a+b+c=1,M=,N=,P=,则M,N,P之间的大小关系是[ ] A．M＞N＞P ; B．N＞P＞M. C．P＞M＞N D．M＞P＞N 6．已知：m2＋m－1＝0，那么代数式m3＋2m2－1997的值是［ ］ A．1997 B．－1997. C．1996 D．－1996 7．如图1，△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5的大小是［ ］ A．3°. B．5°. C．8° D．19.2° 8．如图2，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是 ［ ］ A．AB＞AD＋BC B．AB＝AD＋BC. C．AB＜AD＋BC D．无法确定 9．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是 ［ ］ A．165°. B．150°. C．135°. D．120° 10．有男女两个运动队，男队有队员m人，女队有队员n人（m＞10，n＞10），先从男队中调10人到女队帮助训练，训练后又从女队中调10人（这10人中可以有原来男队中的队员）去男队参加总结．这时，男队中有a个女队员，女队中有b个男队员，那么a、b的大小关系是［ ］ A．a＞b. B．a＜b. C．a＝b. D．当m≥n时，a≥b；当m＜n时，a＜b． 二、填空题 11．已知a是实数，且使a3＋3a2＋3a＋2＝0，那么（a＋1）1996＋（a＋1）1997＋（a＋1）1998的值是______． 12.式子的值是__. 13．如图3，△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于E，在BC上 取CD＝CA，连接AD，若AD＝DB，则∠DAE的大小是______． 14．如图4，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为______． 15.若的值是,则x=____. 16.若a,b,c为实数,且,那么的值为____. 17.若a=,则a5-2a4-1996a3的值为_______. 18．如图5，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于______． 19．如图6，直角△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连接AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是______． 20．如图7，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于______． 三、解答题 21．已知：a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能够被x2＋3x－4整除． （1）求4a＋c的值． （2）求2a－2b－c的值． （3）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的大小． 22．如图8，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy＋yz＋zx＝28，求xyz的大小． 答案·提示 一、选择题 题号：答案 1：C 2：D 3：A 4：A 5：D 6：D 7：A 8：B 9：B 10：C 提示： 2．x2－y2－2x－4y－3 ＝（x2－2x＋1）－（y2＋4y＋4） ＝（x－1）2－（y＋2）2 ＝［（x－1）＋（y＋2）］［（x－1）（y＋2）］ ＝（x＋y＋1）（x－y－3）， ∴ 选（D）． 3．角DOE的对称轴是它的角平分线；等边三角形FGH的对称轴有三条，它们是三边的垂直平分线；线段MN的对称轴是MN的垂直平分线，只有直角三角形ABC不是轴对称图形． ∴ 选（A）． ∴b≤a ∴∠B≤∠A，∠B为锐角． 同理，若a≤c，可知b≤c， ∴∠B≤∠A，∠B为锐角， ∴选（A）． ∴ M＋1＞P＋1＞N＋1． ∴ M＞P＞N，选（D）． 6．∵ m2＋m－1＝0 ∴ m2＋m＝1 ∴ m3＋2m2－1997＝m（m2＋m）＋m2－1997＝m＋m2－1997＝1－1997＝－1996，选（D）． 7．设AC与A1B相交于O，在△ABO和△A1CO中，∠AOB＝∠A1OC， 又∵ ∠ACD－∠ABC＝∠A， 8．如图9在AB上取AF＝AD，连接EF． ∵∠DAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△ADE≌△AFE． ∴∠AFE＝∠D． ∵AD∥BC， ∴∠C＝180°－∠D＝∠BFE． 又∠FBE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△BEF≌△BEC． ∴BF＝BC． ∴AB＝AF＋FB＝AD＋BC．选（B）． 9．如图10，由A作AE⊥BC，垂足为E． 又 S菱形ABCD＝BC·AE， ∵ AC·BD＝AB2 ∴ ∠ABC＝30°，∠BAD＝150°，∴ 选（B）． 10．设训练后回男队的10人中有c个女队员，则男队中女队员的人数a＝c．此时，女队中应有男队员的人数为b＝10－（10－c）＝c（人）∴ a＝b，选（C）． 二、填空题 题号：答案 11：1 12：24 13：18° 17：0 18：7 19：26° 20：5.5 提示： 11．∵ a3＋3a2＋3a＋2＝0 ∴ （a＋1）3＋1＝0 ∴ （a＋1）3＝－1 ∴ a＋1＝－1 ∴ （a＋1）1996＋（a＋1）1997＋（a＋1）1998＝1＋（－1）＋1＝1． 13．如图3，设∠B＝x， ∵ AB＝AC， ∴ ∠C＝∠B＝x． ∵ AD＝DB ∴ ∠DAB＝∠B＝x． ∵ △CAD中，CA＝CD， △ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴ x＝36°， ∴ ∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝（90°－36°）－36°＝18°． 14．如图11，在AC上取AE＝AB，连接DE． ∵ ∠BAD＝∠EAD，AD＝AD， ∴ △ABD≌△AED． ∴ AE＝AB，BD＝DE． △ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝2∠C． ∴ ∠B＝60°，∠C＝30°． 又∵ ∠AED＝60°，∠C＝30°． ∴ ∠EDC＝30°，EC＝ED＝BD． 同理可得方程组 ∴ a5－2a4－1996a3＝a3（a2－2a＋1）－1997a3＝a3（a－1）2－1997a3 ＝1997a3－1997a3＝0． 18．如图12，自A作AD⊥BC，交BC于D． △ABD中，∠B＝60°，AB＝8， 则 CD＝1，ED＝1． 19．如图13，取FG的中点E，连接EC． ∵ FC∥AB ∴ ∠GCF＝90° 在直角三角形GCF中，EC是斜边FG的中线， ∴ ∠EAC＝∠AEC ＝∠F＋∠ECF＝2∠F． 设 ∠BAG＝x，则∠F＝x， ∴ x＋2x＝78°， ∴ x＝26°． 20．如图14，延长FM到N，使MN＝MF， 连接BN，延长MF交BA延长线于E． ∵ M是BC中点， ∴ BM＝CM，∠BMN＝∠CMF， ∴ △BMN≌△CMF， ∴ BN＝CF，∠N＝∠MFC． 又∵ ∠BAD＝∠CAD，MF∥AD， ∴ ∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CMF＝ ∠AFE＝∠N． ∴ AE＝AF，BN＝BE． ∴ AB＋AC＝AB＋AF＋FC ＝AB＋AE＋FC ＝BE＋FC ＝BN＋FC ＝2FC 三、解答题 21．(1) ∵ x2＋3x－4＝(x－1)(x＋4)， ∴ x－1，x＋4都能整除x3＋ax2＋bx＋c， ∵ (x－1)｜x3＋ax2＋bx＋c， ∴ 1＋a＋b＋c＝0， ∵ (x＋4)｜x3＋ax2＋bx＋c， ∴ －64＋16a－4b＋c＝0， 4×①＋②得 20a＋5c＝60， ∴ 4a＋c＝12． ③ 将④、⑤代入2a－2b－c中，得 ∴ 1＜a＜3，由a为整数知a＝2， 当a＝2时，代入③得c＝4， 再一起代入①，得b＝－7． 22．如图15，作PM⊥BC于M，AN⊥BC于N． ∵ S△ABC＝S△PBC＋S△PCA＋S△PAB， ∴ 3(yz＋zx＋xy)＋36(x＋y＋z)＋324 ＝xyz＋6(xy＋yz＋zx)＋36(x＋y＋z)＋216， ∵ xy＋yz＋zx＝28， ∴ xyz＝108－3(xy＋yz＋zx)＝24．